M´ecanique des ﬂuides

(1)

M´ ecanique des fluides

Mahdi Ben Jelloul

Laboratoire de Physique des Oc´eans Universit´e de Bretagne Occidentale

Licence de Sciences Physiques. Second semestre 2003–2004

(2)

Plan

1. Introduction 2. Cin´ematique

3. Ecoulements incompressibles´ 4. Dynamique

5. Hydrostatique 6. Fluide parfait 7. Fluide visqueux

(3)

Plan

1 Fonction courant

Ecoulements bidimensionnels´

2 Ecoulements irrotationnels´

(4)

Plan

1 Fonction courant

Ecoulements bidimensionnels´

2 Ecoulements irrotationnels´

(5)

Plan

Quelques d´efinitions :

Écoulement bidimensionnel Un écoulement tridimensionnel invariant par translation selon un axe (loin des frontières)peut être considéré comme bidimensionnel.

´Ecoulement bidimensionnel incompressible Ecoulement´ bidimensionnel v´erifiant∇·u= ^∂u_∂x +^∂v_∂y = 0.

Quelques exemples :

Ecoulement dans des conduites ou canaux loin des fronti`´ eres transverses (canaux, conduites),

Ecoulement autour d’une aile d’avion,´

Ecoulements contraints `´ a rester dans un plan horizontal (océan, atmosphère, écoulement dans une cellule de Hele-Shaw) du fait de leur géométrie.

(6)

Fonction courant (d´ efinition)

Un résultat d’analyse différentielle énonce :

∃ ψ(x,y) /. dψ(x,y) =P(x,y)dx+Q(x,y)dy =⇒ ∂P

∂y = ∂Q

∂x.

Pouru =P etv =−Q il vient ∂P

∂y −∂Q

∂x =∇·u= 0 donc il nous est possible de d´efinir lafonction courantd’un

´ecoulement bidimensionnel incompressible

ψ(x,y,t) /. dψ=−v dx+u dy

et v´erifiant :

u = +∂ψ

∂y, v=−∂ψ

∂x.

(7)

Fonction courant (d´ efinition)

∂y = ∂Q

∂x.

∂y −∂Q

ψ(x,y,t) /. dψ=−v dx+u dy

et v´erifiant :

u = +∂ψ

∂y, v=−∂ψ

∂x.

(8)

Fonction courant (d´ efinition)

∂y = ∂Q

∂x.

∂y −∂Q

ψ(x,y,t) /. dψ=−v dx+u dy et v´erifiant :

u = +∂ψ

∂y, v=−∂ψ

∂x.

(9)

Fonction courant (propri´ et´ es)

Les lignes de courant, i.e. les courbes ψ=constante sont tangentes en tout point au vecteur u. En effet, u⊥∇ψ soit u·∇ψ= 0. Pourdr=udt,dψ=∇ψ·dr=∇ψ·udt = 0.

Les lignes de courant ψ=constante sont les courbes int´egrales du champu .

|∇ψ|=|u| =⇒ plus les lignes de courant sont serr´ees plus le fluide s’´ecoule rapidement.

Calcul du flux : ψ(r1)−ψ(r0) =

Z r1

r0

∇ψ·dr= Z r1

r0

−v dx+u dy = Z

C

dsu·n

où s est l’abscisse curviligne le long de la courbe C et vérifie ds =|dr|et nds= (−dy,dx). La quantitéψ(r₁)−ψ(r₀) est donc le flux volumique à travers la sectionC (ne dépend de la section qu’a travers ses extrémités) .

(10)

Fonction courant (propri´ et´ es)

Z r1

r0

∇ψ·dr= Z r1

r0

−v dx+u dy = Z

C

dsu·n

où s est l’abscisse curviligne le long de la courbe C et vérifie ds =|dr|et nds= (−dy,dx). La quantitéψ(r₁)−ψ(r₀) est donc le flux volumique à travers la sectionC (ne dépend de la section qu’a travers ses extrémités) .

(11)

Fonction courant (propri´ et´ es)

Z r1

r0

∇ψ·dr= Z r1

r0

−v dx+u dy = Z

C

dsu·n où s est l’abscisse curviligne le long de la courbe C et vérifie ds =|dr|et nds= (−dy,dx). La quantitéψ(r₁)−ψ(r₀) est donc le flux volumique à travers la sectionC (ne dépend de la section qu’a travers ses extrémités) .

(12)

Fonction courant (propri´ et´ es)

Calcul du flux : ψ(r1)−ψ(r0)=

Z r1

r0

∇ψ·dr= Z r1

r0

−v dx+u dy = Z

C

dsu·n où s est l’abscisse curviligne le long de la courbe C et vérifie ds =|dr|et nds= (−dy,dx). La quantitéψ(r₁)−ψ(r₀) est donc le flux volumique à travers la sectionC (ne dépend de la section qu’a travers ses extrémités) .

(13)

Fonction courant et vorticit´ e

La vorticit´e vaut ω=ζk ζ =−∇²ψ

Si l’´ecoulement est irrotationnel :∇²ψ= 0

(14)

Fonction courant et vorticit´ e

(15)

Fonction courant et vorticit´ e

(16)

Ecoulements potentiels ´

Pour ´ecoulementirrotationnel (∇∧u= 0), le champ de vitesse d´erive d’unpotentiel des vitesses :

u=∇φ

Si, de plus, l’écoulement est incompressible ∇·u= 0 alors le potentiel satisfait à l’équation de Laplace :

∇²φ= 0.

(17)

Ecoulements potentiels ´

Pour ´ecoulement irrotationnel (∇∧u= 0), le champ de vitesse d´erive d’unpotentiel des vitesses :

u=∇φ

Si, de plus, l’écoulement est incompressible ∇·u= 0 alors le potentiel satisfait à l’équation de Laplace :

∇²φ= 0.

(18)

Ecoulements potentiels ´

u=∇φ

Si, de plus, l’écoulement estincompressible ∇·u= 0 alors le potentiel satisfait à l’équation de Laplace :

∇²φ= 0.

(19)

Ecoulements potentiels ´

u=∇φ

Si, de plus, l’écoulement est incompressible ∇·u= 0 alors le potentiel satisfait àl’équation de Laplace :

∇²φ= 0.

(20)

Equation de Laplace ´

Il existe un théorème d’existence et d’unicité de la solution de l’équation de Laplace, pour des conditions aux limites

donn´ees.

Il est possible de montrer que les solutions de l’équation de Laplace sont à valeurs uniques dans un domaine simplement connexe. En fait, si l’existence est toujours garantie, il n’en est pas de même de l’unicité (espace est simplement connexe par corollaire du théorème de Stokes-Kelvin pour un fluide irrotationnel).

Si la condition n’est pas satisfaite, il existe une infinité de solutions à l’équation de Laplace pour les mêmes conditions aux limites.

(21)

Equation de Laplace ´

donn´ees.

(22)

Equation de Laplace ´

donn´ees.

Il est possible de montrer que les solutions de l’équation de Laplace sont à valeurs uniquesdans un domainesimplement connexe. En fait, si l’existence est toujours garantie, il n’en est pas de même de l’unicité (espace est simplement connexe par corollaire du théorème de Stokes-Kelvin pour un fluide irrotationnel).

(23)

Equation de Laplace ´

donn´ees.

(24)

Equation de Laplace ´

donn´ees.

Il est possible de montrer que les solutions de l’équation de Laplace sont à valeurs uniques dans un domaine simplement connexe. En fait, si l’existence est toujours garantie, il n’en est pas de même de l’unicité (espace estsimplement connexe par corollaire duthéorème de Stokes-Kelvin pour un fluide irrotationnel).

(25)

Equation de Laplace ´

donn´ees.