Parametrix du Problème de Cauchy C-infinity Hyperbolique Muni d'un Système d'Ordres de Leray-Volevîc

(1)

Volume 24 (2005), No. 3, 581–592

Parametrix du Probl`

eme de Cauchy C

∞

Hyperbolique Muni d’un Syst`

eme d’Ordres

de Leray–Volevˆıc

Bekkai Messirdi et Abderrahmane Senoussaoui

Abstract. Using algebrically conditions of localization and strict hyperbolicity, we construct a matrix of Fourier integral operators. The symbols of these operators and their traces allow to deduce the parametrix of C∞ associated Cauchy problem with order system of Leray-Volecˆıc type. We obtain the explicit expression of the solution of this problem.

Résumé. A partir de conditions algébriques de localisation et de stricte hyperbolicité, on construit des opérateurs matriciels intégraux de Fourier. Les symboles de ces opérateurs et leurs traces permettent d’en déduire la parametrix du problème de Cauchy C∞ muni d’un système d’ordres de Leray-Volevˆıc et l’expression explicite de la solution convenable.

Keywords: Parametrix du problème de Cauchy C∞, stricte hyperbolicité, ordres de Leray-Volevˆıc, opérateurs matriciels intégraux de Fourier

MSC 2000: Primary 35S30, 35S05, secondary 47A10, 35P05

1. Introduction

La résolution des équations différentielles elliptiques repose essentiellement sur la théorie des opérateurs pseudo-différentiels (cf. [11, 17]). Cependant, cette théorie ne peut être adaptée dans le cas des équations de type hyperbolique (cf. [15, 19]), une nouvelle classe d’opérateurs intégraux appelés opérateurs intégraux de Fourier est alors introduite à ce propos (cf. [2, 7, 8]).

Cet article est consacré à l’application des résultats de Berzin-Messirdi [2] concernant les opérateurs intégraux de Fourier. On construit la parametrix du

Bekkai Messirdi: Université d’Oran Es-sénia, Département de Mathématiques, Faculté des Sciences, B.P. 1524 El-Mnaouer, Oran, Algerie ; bmessirdi@univ-oran.dz Abderrahmane Senoussaoui: Université Libre de Bruxelles, Boulevard du Triomphe, Campus Plaine CP 214, B1050 Bruxelles, Belgique ; asenouss@ulb.ac.be

(2)

problème de Cauchy C∞(cf. [16]), pour un opérateur matriciel (m, m) fortement hyperbolique muni d’un système d’ordres de Leray–Volevˆıc {nA, mB} (cf. [10]):

(C)    hu = f u = (uB)1≤B≤m, f = (fA)1≤A≤m ∂hfB 0 u e B _{= g}( eB, fhB) _∂ 0 = ∂ ∂x0 , x = (x0, x1. . . , xn) ,

o`u les r-couples ( eB, fhB) sont choisis parmis les couples (B, hB), 1 ≤ B ≤ m,

0 ≤ fhB ≤ hB ≤ N − mB− 1, avec N = maxAnA et r =

P

AnA−

P

BmB.

On utilise les résultats de Delcambre [5], mais au lieu de s’appuyer sur les techniques des inégalités d’énergie, on se propose de construire les noyaux des opérateurs intégraux qui resolvent le problème de Cauchy C∞. Cette construc-tion de la parametrix est faite au moyen des opérateurs intégraux de Fourier suivant la méthode adaptée par Berzin [1], Berzin–Vaillant [3] et Chazarin [4].

Les hypothèses de localisation par rapport aux facteurs irréductibles du déterminant de la matrice caractéristique de h et celles de stricte hyperbolicité données au second paragraphe assurent respectivement la construction au para-graphe trois des relations canoniques homogènes et des opérateurs intégraux de Fourier associés (cf. [2, 7]). Leurs symboles et leurs traces sont complètement déterminés, ils permettent d’en déduire au dernier paragraphe la parametrix du problème de Cauchy (C) et la solution de classe C∞ convenable.

2. Hypoth`

eses et r´

esultats

Soit X0 une variété réelle C∞, connexe , compacte sans bord, de dimension n, X = R × X0 la variété produit. On considère h un opérateur différentiel linéaire matriciel de classe C∞ sur X, h = (hA_B)1≤A,B≤m:

hA_B(x, D) = X

|α|≤δA B

aA_B,α(x)Dα.

On suppose qu’il est associé à h un système d’ordres de 2m entiers {nA, mB}

tels que δA_B ≤ nA − mB , dans ce cas on d´efinit la matrice caract´eristique

H(x, ξ) = (HA B(x, ξ)) de h par H_BA(x, ξ) ( est le symbole de hA_B si δ_BA= nA− mB = 0 sinon,

det(H_BA(x, ξ)) est une fonction C∞en x, polynˆomiale en ξ de degr´e r =P

AnA−

P

BmB. Dans une carte locale de X, l’op´erateur h s’´ecrit

h(x, ∂) = H(x, ∂) + H∗(x, ∂) + . . . + H∗(j)(x, ∂) + . . . + H∗(r)(x, ∂), o`u H∗(j)(x, ∂) = (H_B∗(j)A(x, ∂))1≤A,B≤m est la partie d’ordre (r − j) de hAB(x, ∂),

(3)

Remarque 1. Si a et b sont deux opérateurs différentiels matriciels d’ordres respectifs p et q, on note dans une carte locale quelconque de X, la partie d’ordre (p + q − 1) de (a ◦ b)(x, ∂) par (a ◦ b)∗(x, ∂). Alors (a ◦ b)∗(x, ∂) est donnée par

(a ◦ b)∗(x, ∂) = [AB∗+ ∂αA∂αB + A∗B](x, ∂)

o`u A et B sont les matrices caract´eristiques respectives de a et b, avec la conven-tion d’Einstein ∂αA∂αB = n X α=0 ∂αA∂αB

qu’on utilisera par la suite sauf mention contraire. Le terme d’ordre (p + q − 2) de (a ◦ b) est

(a ◦ b)∗∗(x, ∂) = hAB∗∗+ ∂αA∂αB∗+ 1 2∂ αβ_A∂ αβB + ∂αA∗∂αB + A∗B∗ i (x, ∂). On note (x0, x0) un point de X dans une carte locale, un point du fibr´e cotangent

T∗(X) est exprim´e par (x, ξ), ξ = (ξ0, ξ0) = (ξ0, ξ1, . . . , ξn), ∂α = _∂x∂_α et ∂α = ∂

∂ξα, 0 ≤ α ≤ n.

Le déterminant caractéristique de h est décomposé en facteurs irréductibles dans l’anneau des polynômes en ξ, H est ensuite localisé par rapport à l’ideal engendré par chacun de ces facteurs, h est finalement supposé hyperbolique par rapport à un champs de vecteur donné. Ces conditions expriment le comporte-ment de h et permettent de caracteriser le problème de Cauchy dans la classe des fonctions indéfiniment différentiables.

(H1) On suppose qu’il existe des entiers strictement positifs ν0, . . . , νσ et

des fonctions C∞ en x, polynˆomiales en ξ, H0, . . . , Hσ telles que en chaque point

x de X, H se d´ecompose en facteurs irr´eductibles:

det(H) =

σ

Y

δ=0

[Hδ]νδ

o`u pour tout δ = 0, . . . , σ, le degr´e τδ de Hδ est constant. On pose τ =

Pσ

δ=0τδ,

on a alors r =Pσ

δ=0τδνδ.

(H2) Pour tout x dans X et pour tout δ = 0, . . . , σ, on d´esigne par Φδ

l’anneau localis´e de l’anneau des polynˆomes `_{a (n+1) variables R[ξ}α], 0 ≤ α ≤ n,

par rapport à l’idéal engendré par Hδ(cf. [18]). Pour tout δ = 0, . . . , σ, la matrice

(4)

diagonale de la forme (H_BA) ∼             Hδ 0 . . . 0 0 . . . . . . Hδ . . 1 . . . . . . 0 0 . . . 1                νδ m − νδ

(H3) Qσ_δ=0Hδ est strictement hyperbolique par rapport `a la direction

N = (1, 0, . . . 0); c’est `a dire: (i) [Qσ

δ=0Hδ](x, N ) 6= 0

(ii) pour tout (x, ξ), ξ = (ξ0, ξ0), ξ0 6= 0, l’´equation

Qσ

δ=0Hδ(x, ξ0, ξ0) = 0

en ξ0 admet τ racines r´eelles distinctes ξ ρ

0(x, ξ0), 1 ≤ ρ ≤ τ. On ordonne

ces racines comme dans [18], de la mani`ere suivante: pour 1 ≤ ρ ≤ τ1; les τ1 racines proviennent de H1

pour τ1+ 1 ≤ ρ ≤ τ1+ τ2; les τ2 racines proviennent de H2

. . . .

pour τ1+ . . . + τδ−1+ 1 ≤ ρ ≤ τ1+ . . . + τδ; les τδ racines issues de Hδ

. . . . on pose qρ(x, ξ0, ξ0) = ξ0− ξ

ρ

0(x, ξ0), 1 ≤ ρ ≤ τ.

Pour t0 ∈ R, ξ0 6= 0, x0 ∈ R, et x0 ∈ X0, consid´erons la fonction de phase

ψξ0(t₀, x0) = hx0, ξ0i =Pn

j=1xjξj not´ee ψξ0(x

0_{) . D’apr`}_{es la th´}_{eorie d’int´}_egration

des ´equations caract´eristiques [9], il existe τ fonctions ϕρde classe C∞ solutions

du probl`eme      qρ(x, grad ϕρ(x)) = 0 ϕρ|x0=t0 = ψξ0 ∂0ϕρ(x) = ξ0ρ(x, grad ψξ0(x0)) sur x₀ = t₀

alors pour ρ = 1, . . . , τ ; ϕρ est solution de Qσ_δ=0Hδ(x, grad ϕρ(x)) = 0. On

notera Xt0 = {x ∈ X ; x0 = t0} une hypersurface non caract´eristque pour h.

On sait (cf. [5], Théorème 1, page 30) que sous ces hypothèses, il existe un choix de r couples ( eB, fhB) pris parmi les (B, hB) où 1 ≤ B ≤ m, 0 ≤ hB ≤

n − mB− 1, n = supAnA, tels que le syst`eme

(5)

ait localement une solution formelle et une seule sous forme de somme d’ondes asymptotiques formelles, v´erifiant les r donn´ees de Cauchy ∂hfB

0 u

e B_(t

0, x0) =

g( eB, fhB)_(x0_{), x}0 _{∈ X}0_{, les fonctions g}( eB, fhB) _{sont donn´}_{ees de classe C}∞ _{sur X}0

et index´ees par les r couples ( eB, fhB), les fonctions fA sont C∞(X).

3. Construction des relations canoniques homog`

enes et

des op´

erateurs int´

egraux de Fourier associ´

es

Nos hypothèses permettent la construction d’opérateurs intégraux de Fourier nécessaires à la résolution du problème de Cauchy C∞ associé à h.

Ces opérateurs sont définits par des variétés Lagrangiennes coniques du fibré cotangents T∗X\ {0}×T∗X0\ {0} appelées relations canoniques homogènes que nous rappelons ici d’après [1, 2, 4, 7]. Leur fonction de phase est obtenue d’après la structure locale des relations canoniques, les symboles associés sont les solutions d’un système d’équations différentielles du premier ordre en imposant des conditions de traces sur X0.

Nous d´efinissons une relation canonique homog`ene Cρ(t0) de la fa¸con

suivante: Cρ(t0) =

(x, ξ, y0, η0) : (x, ξ) appartient `a la bande caract´eristique de qρ issue de (t0, y0, η0, η0) avec η0 = ξρ0(t0, y0, η0)

. Par cons´equent, si on d´efinit la fonction de phase φρpar φρ(x, y0, η0) = ϕρ(x, η0)−

hy0_{, η}0_{i, alors la variété Lagrangienne définie par φ}

ρ est localement le graphe de

Cρ(t0), de plus C(t0) = Sτ_ρ=1Cρ(t0) r´eunion disjointe de relations canoniques

homog`enes est aussi une relation canonique homog`ene dans T∗_{(X){0} ×} T∗(X0_{){0} (cf. [7]).}

Iλ_{(X, X}0_{, C}

ρ(t0)) désigne l’espace des opérateurs intégraux de Fourier de X

dans X0_{, d’ordre λ ∈ R, et de relation canonique homog`ene C}ρ(t0). Lλ(X0) est

l’espace des op´erateurs pseudo-diff´erentiels d’ordre λ sur X0, I−∞ = T

λ∈RI λ_,

et L−∞ =T

λ∈RLλ.

Théorème 1. Soit n = maxAnA. Il existe un choix de r couples notés ( eB1, eh1),

. . . , ( eBr, ehr), pris parmi les couples (B, hB) o`u 1 ≤ B ≤ m, 0 ≤ hB ≤ n−mB−1

et eh1 < eh2 < . . . < ehr, tels que pour tout l = 1, . . . , r, il existe τ op´erateurs

matriciels int´egraux de Fourier F_h_e

l,ρ(t0) = Fl,ρ(t0) = (F B l,ρ,C(t0))1≤B,C≤m dans I− ehl−1₄_{(X, X}0_{, C} ρ(t0)), ρ = 1, . . . , τ, tels que hFl,ρ(t0) ≡ 0

modulo un opérateur à noyau C∞ de X0 dans X vérifiant les r données de Cauchy:

(6)

γs h τ P ρ=1 Fl,ρ(t0) i ≡ (i)fhs−1 e δs,lI (1 ≤ s ≤ r)

modulo un op´erateur `a noyau C∞ de X0 dans X0.

Les Fl,ρ(t0) sont cherch´es sous la forme d’un d´eveloppement asymptotique

Fl,ρ(t0) ∼

P∞

j=0F j

l,ρ(t0) , Fl,ρj (t0) = (Fl,ρ,Bj,A (t0))1≤A,B≤m, en imposant les deux

conditions suivantes: (i) hA_BhP j<k F_l,ρ,Cj,B (t0) i ∈ ItA− ehl−41−k(X, X0, C_ρ(t₀)) k ∈ N∗; ρ = 1, . . . , τ ; 1 ≤ A, B, C ≤ m; tA= maxB(nA− mB) (ii) γs h τ P ρ=1 P j<k+1 F_l,ρj (t0) i − (i)fhs−1 e δs,lI ∈ L f hs−fhl−1−k (X0) o`u Fl,ρ(t0) ∼ ∞ X j=0 F_l,ρj (t0) si Fl,ρ(t0) − X j<k F_l,ρj (t0) ∈ I−hfl−1₄−k _{X, X}0_{, C} ρ(t0)

ayant la même propriété par rapport à n’importe quel réarrangement de la série. γs est l’opérateur de trace ∂

f hs

0 sur l’hypersurface non caract´eristique Xt0, eδs,l est

le symbole de Kr¨onecker δ

f

hs, ehl et I est la matrice identit´e (m, m).

Construction des op´erateurs F_l,ρ,Cj,B (t0) :

F_l,ρj (t0) ∈ I− ehl−

1

4−j(X, X0, C_ρ(t₀)), alors il existe un unique op´erateur

matriciel int´egral de Fourier Fl,ρ(t0) ∈ I− ehl−

1 4(X, X0, C_ρ(t₀)) tel que Fl,ρ(t0) ∼ P∞ j=0F j

l,ρ(t0), et on peut ´ecrire d’apr`es [2]

F_l,ρ,Cj,B (t0)U(x) = (−i)j Z X0 Z X0 eiφρ(x,y0,η0)_Yj,B l,ρ,C(t0)(x, η 0 )U (y0) dy0dη0, U ∈ C₀∞(X0), Y_l,ρ,Cj,B (t0) ´etant le symbole de Fl,ρ,Cj,B (t0), qu’on doit d´eterminer pour

tout j entier. Y_l,ρ,Cj,B (t0) est un symbole d’ordre (− ehl− j). En effet, d’apr`es [2] il

est d’ordre (− ehl−1₄ − j) + (2n+1−2n₄ ) = (− ehl− j).

En utilisant ensuite la transform´ee de Fourier cU de U , on a F_l,ρ,Cj,B (t0)U(x) = (2π)−n(−i)j Z X0 eiϕρ(x,η0)_Yj,B l,ρ,C(t0)(x, η 0 ) bU (η0) dη0. Pour tout A, il existe au moins un B, tel que hA

B soit d’ordre ´egal `a (nA− mB),

ainsi la somme hA BF

j,B

l,ρ,C(t0) est un op´erateur int´egral de Fourier d’ordre tA+

(− ehl− 1₄ − j), son symbole est d’ordre tA− ehl− j et est d´efini par

e−iϕρ_hA

B(−i)

j_eiϕρ_Yj,B

(7)

ici hA BF

j,B

l,ρ,C(t0) d´esigne la somme d’Einstein

Pm B=1h A BF j,B l,ρ,C(t0). D’apr`es [2, 6] on a aussi hA_B(−i)jeiϕρ_Yj,B l,ρ,C(t0) = eiϕρ tA X q=0

(−i)j(i)tA−q_hA,q

B (ϕρ)Y j,B l,ρ,C(t0) ,

où (hA,q_B (ϕρ))q,A,B est la famille d’opérateurs matriciels associée sur la variété X

`

a l’opérateur matriciel h et à la fonction réelle ϕρ de classe C∞ sur X. Donc,

e−iϕρ_hA B(−i)jeiϕρY j,B l,ρ,C(t0) = (−i)j(i)tAh A,0 B (ϕρ)Y j,B l,ρ,C(t0) + . . . (∗)j

les pointill´es designent des symboles PtA

q=0(−i)

j_(i)tA−q_hA,q

B (ϕρ)Y_l,ρ,Cj,B (t0)

d’ordre inférieur ou égal à (tA− j − 1).

R´ealisons les conditions (i):

pour k = 1 : hA_BF_l,ρ,C0,B (t0) ∈ ItA− ehl−

1

4−1(X, X0, C_ρ(t₀)), cet op´erateur est

d´efini par un symbole d’ordre (tA− ehl− 1). (∗)0 donne alors

hA,0_B (ϕρ)Y_l,ρ,C0,B (t0) = 0 ou bien HBA x, grad ϕρ(x)Y_l,ρ,C0,B(t0) = 0

d’o`u, Y_l,ρ,C0,B(t0) = U D(ρ) l,ρ,Cd B ρ,D(ρ), o`u (d B

ρ,D(ρ)(x, grad ϕρ(x)))D(ρ) est une base du

noyau de HA B(x, grad ϕρ(x)), 1 ≤ D(ρ) ≤ νδ si τ1 + . . . + τδ−1 + 1 ≤ ρ ≤ τ1+ . . . + τδ. pour k = 2 : hA_B[F_l,ρ,C0,B (t0)+Fl,ρ,C1,B (t0)] ∈ ItA− ehl− 1 4−2(X, X0, C_ρ(t₀)). En vertu de (∗)0 et (∗)1, on a (−i)(i)tA_hA,0 B (ϕρ)[Y 1,B l,ρ,C(t0)] + (i)tA−1h A,1 B (ϕρ)[Y 0,B l,ρ,C(t0)] = 0. Donc en notant HA B(x, grad ϕρ(x)) = HBA(ϕρ), on obtient H_BA(ϕρ)Y 1,B l,ρ,C(t0) + ∂αHBA(ϕρ)∂αY 0,B l,ρ,C(t0) + HB∗A(ϕρ)Y 0,B l,ρ,C(t0) = 0

pour k = 3 : En procédant de la même manière, on a d’après (∗)0, (∗)1, (∗)2

H_BA(ϕρ)Y 2,B l,ρ,C(t0) + ∂αHBA(ϕρ)∂αY 1,B l,ρ,C(t0) + H_B∗A(ϕρ)Y 1,B l,ρ,C(t0) + 1 2∂ αβ H_BA(ϕρ)∂αβY 0,B l,ρ,C(t0) + ∂αH_B∗A(ϕρ)∂αY 0,B l,ρ,C(t0) + HB∗∗A(ϕρ)Y 0,B l,ρ,C(t0) = 0 ,

les symboles (Y_l,ρ,Cj,B (t0)) vérifient les mêmes équations que celles trouvées dans [5]

pour la résolution du problème de Cauchy C∞ asymptotique. On détermine alors les (Y_l,ρ,C0,B (t0)) par la résolution d’un système d’équations différentielles du

premier ordre en imposant les traces des U_l,ρ,CD(ρ) sur X0, ces traces sont données par les conditions (ii) ; puis par récurrence on détermine tous les Y_l,ρ,Cj,B (t0).

(8)

Remarque 2. Fl,ρ(t0) ∼P ∞ j=0F

j

l,ρ(t0), donc pour tout k ∈ N ∗          Fl,ρ(t0) − X j<k F_l,ρj (t0) ∈ I− ehl−k− 1 4 X, X0, C ρ(t0) h Fl,ρ(t0) − X j<k F_l,ρj (t0) ∈ Ir− ehl−k− 1 4 X, X0, C_ρ(t₀) .

D’apr`es (i), on en d´eduit que hFl,ρ(t0) ∈ Ir− ehl−k−

1

4(X, X0, C_ρ(t₀)), pour tout

k ∈ N∗, et alors hFl,ρ(t0) ∈ I−∞, il constitu un op´erateur `a noyau C∞ de X0

dans X.

Réalisons les conditions de traces (ii): pour k = 1: γs Pτ ρ=1F 0 l,ρ(t0)+ Pτ ρ=1F 1 l,ρ(t0)−(i)hfs−1eδ_s,lI ∈ L f hs−^1−hl−1 (X0), cet opérateur est défini par le symbole d’ordre ( ehs− ehl− 2), donné par

e−ihx0,η0i∂hfs 0 h_Xτ ρ=1 Y_l,ρ,C0,B(t0) + (−i)1 τ X ρ=1 Y_l,ρ,C1,B (t0)eiϕρ i {x0=t0} − (i)hfs−1 e δs,lI

car ϕρ|X_t0 = ψη0(x0) = hx0, η0i. On obtient alors en notant par Aq,ρ

f

hs la famille

d’opérateurs associés à l’opérateur différentiel ∂hfs

0 et `a la phase ϕρ: τ X ρ=1 f hs X q=0 Aq,ρ f hsY 0,B l,ρ,C(t0)(t0, x0, η0)(i) f hs−q + τ X ρ=1 f hs X q=0 Aq,ρ f hsY 1,B l,ρ,C(t0)(t0, x0, η0)(−i)(i) f hs−q_{− (i)}fhs−1 e δs,lI = τ X ρ=1 A0,ρ f hsY 0,B l,ρ,C(t0)(t0, x0, η0)(i) f hs ₊ τ X ρ=1 A1,ρ f hsY 0,B l,ρ,C(t0)(t0, x0, η0)(i) f hs−1 + τ X ρ=1 A0,ρ f hsY 1,B l,ρ,C(t0)(t0, x0, η0)(−i)(i) f hs _{+ . . .}

les pointill´es designent des symboles

τ X ρ=1 f hs X q=2 Aq,ρ f hsY 0,B l,ρ,C(t0)(t0, x0, η0)(i) f hs−q₊ τ X ρ=1 f hs X q=1 Aq,ρ f hsY 0,B l,ρ,C(t0)(t0, x0, η0)(i) f hs−q

d’ordre inférieur ou égal à ( ehs− ehl− 2), à l’ordre ( ehs− ehl) : τ X ρ=1 A0,ρ f hs Y0,B l,ρ,C(t0)(t0, x0, η0) = 0 ,

(9)

` a l’ordre ( ehs− ehl− 1) : τ X ρ=1 A1,ρ f hsY 0,B l,ρ,C(t0)(t0, x0, η0)(i) f hs−1₊ τ X ρ=1 A0,ρ f hsY 1,B l,ρ,C(t0)(t0, x0, η0) = (i) f hs−1 e δs,lI,

d’o`u en prenant les r =P

AnA−

P

BmBcouples ( eBs, ehs), on a les deux syst`emes

suivants (s, l = 1, . . . , r; 1 ≤ B, C ≤ m):            τ X ρ=1 (ξ₀ρ)fhsY0,B l,ρ,C(t0) = 0 τ X ρ=1 (ξρ₀)hfsY1,B l,ρ,C(t0) + τ X ρ=1 A1,ρ f hsY 0,B l,ρ,C(t0) =eδs,lI;

ces syst`emes sont r´esolus dans [5], ils fournissent les symboles Y_l,ρ,C0,B(t0) , puis

par r´ecurrence tous les symboles Y_l,ρ,Cj,B (t0).

Remarque 3. On en déduit comme précédemment γs hXτ ρ=1 Fl,ρ(t0) i − (i)fhs−1 e δs,lI ∈ L −∞ (X0) .

4. R´

esolution du probl`

eme de Cauchy C

∞

Dans ce dernier paragraphe on exprime explicitement la solution du problème de Cauchy C∞ associé à h à l’aide des données intiales et des opérateurs intégraux de Fourier déja construits. Posons pour cela El(t0) =

Pτ ρ=1Fl,ρ(t0) , l = 1, . . . , r. Alors, 1. El(t0) ∈ I− ehl− 1 4 X, X0, C(t₀)

2. hEl(t0) = Rl(t0) = Rhe_l(t0) est un op´erateur `a noyau C

∞ _{de X}0 _{dans X}

3. γsEl(t0) = (i)fhs−1δe_s,lI + R_s,l(t₀), R_s,l(t₀) = R

f

hs, ehl(t0) est un op´erateur `a

noyau C∞ de X0 dans X0; s, l = 1, . . . , r.

Consid´erons aussi les op´erateurs, corrections des El(t0) en t0,

E_l0(t0) = El(t0) − r X s=1 (x0− t0) f hs f hs! Rs,l(t0) , on a            hE_l0(t0) = Rl(t0) − r X s=1 hh(x0− t0) f hs f hs_! Rs,l(t0) i = R_l0(t0) = R0_h_e l(t0)

R0_l(t0) est un op´erateur `a noyau C∞ de X0 dans X

(10)

D´efinissons `a partir de E_r0(t0) = E0 f hr

(t0) un op´erateur matriciel G par m M 1 C∞(X) 3 w 7→ (Gw)(x) = x0 Z t0 E_r0(y0)w(y0, x0)dy0 (x = (x0, x0) ∈ X) on obtient alors ( hGw = (I − V )w γsGw = 0 (s = 1, . . . , r)

où V est l’opérateur définit sur Lm

1 C ∞_{(X) par} (V w)(x) = − Z x0 t0 R0_r(y0)w(y0, x0)dy0.

Sachant que le noyau de R0_r(y0), not´e −R(y0, x0, y0), est de classe C∞ de X0

dans X, alors

(−R0_r(y0))w(y0, x0) =

Z

X0

R(y0, x0, y0)w(y0, y0)dy0

d’o`u, (V w)(x0, x0) = x0 Z t0 Z X0

R(y0, x0, y0)w(y0, y0)dy0dy0 (x = (x0, x0) ∈ X).

D’autre part, puisque X0 est compacte alors l’espace Lm

1 C

0_(X0_{) des fonctions}

vectorielles continues sur X0 est un espace de Banach, et l’application

R 3 t 7→ (V (t)v)(x0) = Z X0 R(t, x0, y0)v(y0)dy0, v ∈ m M 1 C0(X0)

est continue `a valeurs dans L Lm

1 C 0_(X0_),Lm 1 C 0_(X0_{). Soit l’op´erateur} C0_R, m M 1 C0(X0)→ C0 R, m M 1 C0(X0) w 7→ V w (V w)(t)(x0) = t Z t0 V (y0)w(y0, x0)dy0 = t Z t0 Z X0

R(y0, x0, y0)w(y0, x0)dy0dy0.

On en déduit alors d’après le lemme de Volterra (cf. [4]) que l’opérateur (I − V ) est inversible dans Lm

1 C

(11)

Soit l’op´erateur G0 = G◦(I −V )−1, ainsi pour tout w ∈ C0

R,Lm1 C

0_(X0_{) :}

_{(h ◦ G}0_{)(w) = w}

(γs◦ G0)(w) = 0 (s = 1, . . . , r)

on obtient par conséquent le résultat de représentation suivant: Théorème 2. La solution du problème de Cauchy C∞

(

hu = f

γsu = g( eBs,ehs) = gs (s = 1, . . . , r)

avec les hypothèses précédentes est donnée par

u = l=r X l=1 E_l0(t0)gl+ G0 f − r X l=1 R0_l(t0)gl .

L’unicité de la solution u se démontre par un procédé classique en remar-quant que l’opérateur adjoint bh de h vérifie aussi les propriétés de h.

Notre travail peut également se completer en montrant que le problème de Cauchy C∞ est bien posé (cf. [14]). L’étude des propriétés spectrales des opérateurs intégraux de Fourier sur les espaces de Sobolev de type L2 _apparaˆıt

aussi nécessaire pour la résolution des équations aux dérivées partielles dans la classe C∞ (cf. [8, 12, 13]).

R´

ef´

erences

[1] Berzin, R.: Le problème de Cauchy pour un système hyperbolique d’équations linéaires avec une caractéristique double. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A, 280 (1975), 443 – 445.

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(12)

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