Je note O1, O2

Enonc´e D138 (Diophante)

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Sur le cercle circonscrit au triangle ABC, de centre O, je note les points D, E, F milieux des arcs BC, CA, AB. Je prendrai le rayon de ce cercle comme unit´e de longueur. Les angles du triangle sont :

Aˆ= (AB, AC) = (OB, OD) = (OD, OC) Bˆ = (BC, BA) = (OC, OE) = (OE, OA) Cˆ = (CA, CB) = (OA, OF) = (OF, OCB)

(angles orient´es, positifs si le triangle est de sens direct).

Je note O₁, O₂, . . . les centres du premier cercle de l’´enonc´e, du deuxi`eme, etc. Le premier cercle passant par A et B, O₁ est sur OF de mˆeme que O4, O7, etc. De mˆeme,O2, O5, etc. sont surOE etO3, O6, etc. sont surOD.

Le premier et le deuxi`eme cercle ´etant tangents en A, les points O₁, O₂ et A sont align´es. La somme alg´ebrique des aires des triangles OO₁A, OAO₂ etOO2O1 est nulle (de mˆeme que celle de leurs doubles) :

OO₁sin(OF, OA) +OO₂sin(OA, OE) +OO₂·OO₁sin(OE, OF) = 0, ce qui donne

−sinC OO2

+−sinB OO1

+ sin(B+C) = 0

Cette relation reste valable en prenantOO1 n´egatif s’il est de sens contraire

`

aOF, et de mˆeme pourOO₂,OO₃, etc. Je l’´ecris plus simplement sinB

OO₁ +sinC

OO₂ = sinA

Pour les cercles suivant le deuxi`eme, on a les alignementsO₂CO₃, O₃BO₄, etc., avec les relations

sinA OO2

+sinB OO3

= sinC sinC

OO3

+sinA OO4

= sinB

J’ajoute ces trois relations membre `a membre, en les pond´erant respective- ment par sinA,−sinC,sinB, ce qui ´elimineOO₂ etOO₃. Il reste

sinAsinB

1

OO₁ + 1 OO₄

= sin²A−sin²C+ sin²B expression qui vaut 2 sinAsinBcosC, carA+B+C=π. On a donc

1

OO₁ + 1 OO₄

= 2 cosC

Poursuivant l’analyse sur les cercles de centresO5, O6, O7on trouve ´evidemment

1

1

OO₄ + 1 OO₇

= 2 cosC

ce qui entraˆıneOO₇=OO₁. Le 7e cercle est confondu avec le premier, le 8e sera confondu avec le 2e, etc. : la suite des cercles est p´eriodique de p´eriode 6.

2