TRANSFORMATION DE FOURIER. APPLICATIONS.

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�� TRANSFORMATION DE FOURIER. APPLICATIONS.

I. Transformée de F�� sur L

¹

( R

^d

)

[BP��, Ch��, p��] [Rud��, Ch�, p��]

D��. Pourf œL¹(R^d), on définit sa transformée deF��par :

F(f) :’‘≠æf(’) =ˆ ⁄

R^df(x) e^≠ⁱ^È^x^|^’^Í^dx

D��. Pourf œL¹(R^d), on notefˇl’applicationx‘≠æf(≠x).

P��. Fest linéaire et pourf œL¹(R^d),fˆest uniformément continue et bornée.

T��. [�� R��-L��]

Sif œL¹(R^d)alorsfˆœC0(R^d).

P��. Soientf, gœL¹(R^d).

(i) fˆˇ= ˆf = ˇˆf,

(ii) F(f ıg) =F(f)F(g),

(iii) Si·hest l’opérateur de translation parhœR^dalorsF(·hf)(’) = e^≠ⁱ^È^h^|^’^ÍF(f)(’).

(iv) Pour⁄>0,F(f(./⁄)) =⁄fˆ(⁄.)

Exemple de convolution :f =1_[≠1,1]ı1_[≠1,1]donnefˆ= 4 sinc²

A��. La transformée deF��d’une gaussienne est une gaussienne. On aGˆ‡ :

’‘≠æe^≠^‡²²^’².

Convolution, approximation de l’unité

P��. F:L¹(R^d)≠æC0(R^d)est injective et continue.

Inversion deF��L¹

E��. On aF(e^≠|^x^|) :’‘≠æ _1+’²². On en déduit queF(_1+x¹2) :’‘≠æﬁe^≠|^’^|. Inversion ponctuelle

II. Régularité de la transformée de F��, prolongement à

L

²

( R

^d

)

[BP��, Ch��, p��] [Rud��, Ch�, p��]

D��. [�� S��]

On définit la classe deS��surR^d, notéeS(R^d), comme l’ensemble des fonctionsf œ C^Œ(R^d)telles que :

’pœN, Np(f) = sup

|–|Æp,|—|Æp xœRsup^d

--x^—ˆ^–f(x)--<+Œ

On munit cet espace de la famille dénombrable de semi-normes(Np)pœN, il est donc métri- sable (espace deF��).

E��. Cc^Œ(R^d)µS(R^d)etG‡œS(R^d).

P��. Pourf œS(R^d), on afˆœS(R^d).

P��. S(R^d)est complet et s’injecte continument dans lesL^p(R^d), dans lesquels il est dense pourp <+Œ.

P��. S(R^d)est stable par dérivation, multiplication interne, multiplication par un polynôme (ces opérations étant continues).

P��. Pour–,—œNⁿetf œS(R^d), on a :

’’œ R^d, F(ˆ^–f)(’) =i^|^–^|’^–F(f)(’) et F(.^—f)(’) =i^|^—^|ˆ^—F(f)(’)

C��. [�� F�� S(R^d)]

F:S(R^d)≠æS(R^d)est un automorphisme continu et on aF^≠1:f ‘≠æ _(2ﬁ)¹^dF( ˇf).

P��. Sif, gœS(R^d)alors

⁄

R^df(x)ˆg(x)dx=⁄

R^d

fˆ(x)g(x)dx

ÉNS Paris-Saclay –��/�� AntoineB��–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur��

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Agrégation – Leçons ��– Transformation deF��. Applications.

T��. [�� F��-P��]

F se prolonge en un unique opérateur linéaire (toujours notéF) deL²(R^d)dans lui-même vérifiant :

• F¶F= (2ﬁ)^dId,ˇ

• Pourf œL²(R)^d,ÎfÎ²L² =_(2ﬁ)¹d

.. .fˆ...²_L₂,

• Pourf, gœL²(R^d),s

R^df(x)g(x)dx=_(2ﬁ)¹d

s

R^dfˆ(x)ˆg(x)dx.

R��. La définition deFci-dessus coïncide avec celle surL¹, il n’y a donc pas d’ambiguïté.

E��. On calcule1\_[≠1,1]:’‘≠æ2 sinc(’). Les deux fonctions étantL²(R), on en déduit quesinc =‰ ﬁ1_[≠1,1].

III. Applications

III. A. Fonction caractéristique en probabilités

[Ouv��, §��.�, p��] [BL��, §III.�, p��]

SoitXune variable aléatoire à valeurs dansR^d. D��. [�� ]

On définit„Xla fonction caractéristique deXpar„X(⁄) =E#e^iÈ⁄|XÍ$pour⁄œR^d. E��. Fonctions caractéristiques deB(n, p),E(⁄)... [�� ]

E��. „_N(0,‡²₎:’‘≠æe^≠^‡²²^’².

P��. „XcaractériseP^X.

A��. [�� ]

Soient(pj)1ÆjÆddes réels positifs tels queq

1ÆjÆdpj = 1. Soient(Y^k)kØ1des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées telles queP(Y^k =j) =pj. SoitN indépendante des(Y^k)kØ1de loiP(⁄)pour un⁄>0.

En posantX^k= (1_Yk=1, . . . ,1_Yk=d), la loi deS=qN

k=1X^kestP(⁄p1)¢· · ·¢P(⁄pd).

P��. SiXest réelle et admet un moment d’ordrep, alors„Xestpfois dérivable et on a„^(p)_X (⁄) =i^pE[X^pe^i⁄X]. En particulier,„^(p)(0) =i^pE[X^p].

R��. Réciproquement, sipest pair est„Xestpfois dérivable en0, alorsXadmet un moment d’ordrep. On peut construireXn’admettant pas d’espérance mais telle que„X

soit dérivable en�(admis).

Caractérisation de l’indépendance de variables aléatoires, exemple Théorème deL��

T��. [�� ]

Si les(Xi)_iœN^úsont i.i.d. de carré intégrable, alors :

Ô1n

qn

i=1(Xi≠E[X1]) _næ+Œ≠æ^L Z ≥N(0,Var(X1))

A��. [�� ] [RS��, §�.�, p��]

Soient(Xi)iœN^ú des réalisations i.i.d. deB(p)pour unp œ [0,1]inconnu. Le théorème central limite donne un intervalle de confiance asymptotique de niveau–pourpen fonction de la moyenne empiriquepˆn = ¹_nqn

k=1Xi:IC–(p) = Ë ˆ

pn±^q^1≠₂^–/2^Ô¹n

È, oùqtest le quantile d’ordretdeN(0,1).

Théorème central limite poissonien

III. B. Vers la résolution d’EDP

[Bon��, §�.�, p��]

Transformée deF��partielle.

A��. [�� ’EDP]

• On considère l’équation de la chaleurˆtu=ˆ_x²uavec condition initialef œS(R^d). Alors il existe une unique solutionuœC²(R◊R^d)telle queu(t, .)œS(R^d)uniformément ent sur tout compact etu(t, .) ≠æ_t_æ0 fdansL¹. Cette solution est donnée par :

’t >0,’xœR^d, u(t, x) = 1 (4ﬁt)^d/2

⁄

R^df(y) e^≠^|^x^≠^4t^y^|² dy=fıkt(x) oùkt= 1

(4ﬁt)^d/2e^≠^|^.^4t^|²

• On considère l’équation deS��ˆtu = iˆ_x²uavec condition initialef œ S(R).

Cette équation possède une unique solutionuœC²(R◊R)telle que pour toutt,u(t, .)œ S(R)uniformément entsur tout compact. On a :

’t >0,’xœR^d, u(t, x) = 1 2ﬁ

⁄

R

fˆ(’) e^≠^i’²^te^ix’d’

III. C. Polynômes orthogonaux

[BMP��, §�.�, p��]

(3)

Agrégation – Leçons ��– Transformation deF��. Applications.

T��. [�� ]

Soitﬂune fonction de poids. S’il existe–>0tel ques

Ie^–|x|ﬂ(x)dx <+Œ, alors la famille (Pn)nœNest une base hilbertienne deL²(I,ﬂ).

E��. Sans l’hypothèse on a le contre-exemple suivant : soit la fonction de poids w:x‘≠æx^≠^ln(x)surI=R+. Alors(Pn)nœNne forme pas une base deL²(I, w).

��

Quelques fonctions et leur transformée deF��

Fonctions caractéristiques usuelles

��

Les points forts de la transformée deF��:

• son injectivité sur les espaces sur lesquels elle est définie,

• la formule d’inversion sous certaines hypothèses,

• la simplification des calculs dans le domaine de F�� (typiquement, permutations des propriétés de convolution et de produit, équations dérivées partielles deviennent des équations di�érentielles ordinaires, ...).

L’intérêt de la transformée deF��est donc de simplifier des calculs, via le troisième point, mais pour que cela soit un minimum intéressant, les deux premiers points sont nécessaires, on ne pourrait pas faire grand chose d’autre sinon!

Le théorème d’échantillonnage deS��utilise a priori plutôt la transformée deF��

mais on peut le voir comme une utilisation des séries deF��. On montre que la suite des translatées du sinus cardinal est une base hilbertienne de l’espace considéré. Les calculs faits reviennent à développer en série deF��la fonctionx‘≠æe^≠2iﬁax, oùaœR.

��

Q Théorème d’inversion ponctuelle, exemple?

R Voir [BP��,Far��]. L’intérêt du théorème est surtout de faire l’analogie avec les séries de F��.

Q Donner une fonction dans la classe deS��? Pourquoi a-t-on densité deS(R^d)dans L²?

R Une gaussienne.S(R^d)contient les fonctionsCK^Œ, donc est dense dansL². Q Avez-vous un exemple de fonctionsCK^Œ?

R Voir l’exemple de suite régularisante.

Q Expliquer le principe de la marche aléatoire.

Q SoitPune probabilité surR. On considèreT :S≠æR,Ï‘≠æs

ÏdP. Cette application est- elle une distribution? Peut-on calculer sa transformée deF��? Quelle est le lien avec la fonction caractéristique?

R L’application est linéaire et continue puisque|ÈT |ÏÍ|Æ ÎÏÎ_ŒÆN0(Ï).

On calculeTˆ=T_≠„X.

Q Soitfq :t‘≠æe^≠|^t^|^qpour un entierqœN. Est-ce la transformée deF��d’une certaine fonction?

R La transformée deF��de1‘≠æ1 +x²estf₁(à une constante près).

SiqØ3, montrons que ce n’est pas une transformée deF��. On a quefqestq≠1fois dérivable en0, elle a donc un moment d’ordre2égal àf_q^ÕÕ(0) = 0, par ailleursf_q^Õ(0) = 0, donc siX est une variable aléatoire de fonction caractéristiquefq, alorsXest constante presque sûrement, égale à0, et on vérifie queÏX = 1, ce qui est absurde.

��

[BL��] P.B��et M.L��:Probabilité. EDP Sciences,��.

[BMP��] V.B��, J.M��et G.P��:Objectif Agrégation. H&K,�^èmeédition,��.

[Bon��] J.-M.B��: Théorie des distributions et analyse deF��. Les éditions de l’École Polytechnique,��.

[BP��] M.B��et G.P��:Théorie de l’intégration. Vuibert,�^èmeédition,��.

[Far��] J.F��:Calcul intégral. Belin,��.

[Ouv��] J.-Y.O��:Probabilités : Tome�. Cassini,�^èmeédition,��.

[RS��] V.R��et G.S��:Statistique mathématique en action. Vuibert,�^èmeédition,

��.

[Rud��] W.R��:Analyse réelle et complexe. Dunod,�^èmeédition,��.

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