Feuille d'exercices 11. Matrices
Exercice I.
On considère les matrices A= 1 3
2 5
,B= 2 2
0 4
etC= 2 0
7 −4
. 1. Calculer A+B,2A−B,AB,BA,t(AB), tBtA.
2. Calculer 3(A+ 2B) + 2(C−3B)−(2A+C).
3. Résoudre l'équation A−3X = 2B, d'inconnue X ∈ M2(R).
Exercice II.
Soit A, B∈ M2(R). Développer et simplier : 1. S= (3A)(2B)−(A+ 2B)2+ (A−B)(A+B) 2. T = (A+B)(2A2−2B)−2A2(A+B) + (−A+B)2
Exercice III.
Calculer, si possible, les produitsABet BAdans les cas suivants : 1. A=
4 1 0 3
et B =
7 1 2 3 1 2 4 1
2. A=
1 3 2 0 6 2
et B=
2 3 0 0 1 5
Exercice IV.
1. CalculerABet BAavecA=
1 −1 0 0
et B= 1 1
1 1
. Que remarquez-vous ? 2. Déterminer toutes les matrices C∈ M2(R) telles que
1 2 3 4
C=C
1 2 3 4
.
3. En discutant suivant les valeurs des paramètres réelsa,b etd, trouver toutes les matrices de M2(R) qui commutent avec D=
a b 0 d
Exercice V.
1. Montrer que ∀n∈N, An=
an 0 0 0 bn 0 0 0 cn
où A=
a 0 0 0 b 0 0 0 c
.
2. Montrer que ∀n∈N∗, Jn = 6n−1J oùJ =
2 2 2 2 2 2 2 2 2
.
Exercice VI.
1. SoitAetB deux matrices non nulles telles queAB= 0. Montrer qu'aucune des deux matricesAetB n'est inversible.
2. Les matrices
−1 −2 3
2 0 2
5 2 1
et
−1 2 −1 2 −4 2 1 −2 1
sont-elles inversibles ?
Exercice VII.
On considère les matrices
A=
1 −2 2
−1 0 1 1 −1 2
P =
1 1 0 1 0 1 0 1 1
Q=
1 1 −1
1 −1 1
−1 1 1
D=
−1 0 0
0 3 0
0 0 1
.
1. CalculerP Q. Que peut-on en déduire ? 2. Vérier que A= 1
2P DQ, montrer que ∀n∈N, An= 1
2P DnQ, et expliciterAn. 3. On considère trois suitesa, b etc telles que
a0= 2 b0= 0 c0=−2
et ∀n∈N,
an+1=an−2bn+ 2cn bn+1=−an+cn cn+1=an−bn+ 2cn
On introduit la matrice Xn=
an bn cn
.
a. Vérier que ∀n∈N, Xn+1=AXn puis que ∀n∈N, Xn=AnX0.
b. En déduire l'expression des suites (an)n∈N,(bn)n∈Net (cn)n∈N en fonction den.
Exercice VIII.
On donne la matrice A=
1 −3 6 6 −8 12 3 −3 4
.
1. CalculerA2 et déterminer deux réelsaetb tels que A2=aA+bI3. 2. Montrer que ∀n∈N, ∃an∈R / An=
1 3−an
A+
2 3 +an
I3. 3. Vérier que la suite(an)n∈Nest géométrique.
4. En déduire les expressions dean puis deAn en fonction den.
Exercice IX.
On considère la matrice A=
2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2
.
1. CalculerA2. Expliciterαet β tels que A2=αA+βI.
2. Montrer par récurrence qu'il existean etbn tels que An=anA+bnI. 3. Expliciteran+1 etbn+1 en fonction dean et bn. Que valenta0, b0, a1 etb1?
4. Montrer queaest une suite récurrente linéaire d'ordre2puis expliciteran en fonction den. 5. En déduire l'expression debn et déterminer tous les coecients de la matrice An
Exercice X.
Soit A=
6 4 0
−4 −2 0
0 0 2
etB la matrice telle que A=B+ 2I. 1. CalculerB etB2 puis, montrer que ∀n∈N, An = 2nI+n2n−1B.
2. Retrouver la formule précédente à l'aide de la formule du binôme de Newton.
Exercice XI.
Un feu bicolore, lorsqu'il est rouge, passe au vert l'instant d'après (ou "risque de passer au vert la seconde suivante") avec la probabilité p∈]0; 1[.
Lorsqu'il est vert, il passe au rouge avec la probabilité q∈]0; 1[. On suppose que le feu est initialement au rouge.
On notern (resp.vn) la probabilité que le feu soit au rouge (resp. au vert) à l'instantt=n. 1. En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que :
∀n∈N, rn+1= (1−p)rn+qvn et vn+1=prn+ (1−q)vn. 2. Donner alors la matrice carréeA telle que ∀n∈N,
rn+1 vn+1
=A rn
vn
. 3. Montrer par récurrence que ∀n∈N,
rn
vn
=An r0
v0
. 4. Déterminer deux matricesB etC telles que
B+C=I
B+ (1−p−q)C=A . 5. CalculerBC etCB et vérier que B2=B et C2=C.
6. Montrer que ∀n∈N, An=B+ (1−p−q)nC.
7. Pour tout entier natureln, déterminer l'expression dern etvn en fonction der0 etv0. 8. Calculer les limites des suites(rn)n∈Net (vn)n∈N. Que pouvez-vous en conclure ?
Exercice XII.
On considère les matrices suivantesA. Vérier que l'on a bien l'égalité demandée et en déduire, si cela est possible, l'inversibilité deA. Donner alors son inverse.
a. A=
−1 2 2 2 −1 2
2 2 −1
et A2= 9I b. A=
1 0 0
6 −5 6 3 −3 4
et A2+A−2I= 0
c. A=
1 1 1
1 −1 1
−1 1 1
et A3−A2−2A+ 4I= 0 d. A=
1 1 0 1 1 0
−1 1 2
et A2−2A= 0
e. A=
0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
et A2−2A−3I= 0 f. A=
1 · · · 1 ... ... ...
1 · · · 1
∈ M10(R) et A2= 10A
Exercice XIII.
On considère la matrice J =
0 0 1 −1
−2 1 2 −1
2 −1 −1 0
3 −2 −2 0
.
1. Calculer J2, J3 et J4. Que peut-on en déduire pourJk, pour k≥4? 2. Développer algébriquement l'expression (I+J)(I−J+J2−J3). 3. En déduire que la matrice(I+J)est inversible et expliciter son inverse.
Exercice XIV.
Résoudre par rapport àx, y, zle système (S) :
x−y+z=a x+ 2y+z=b x+y+ 2z=c
.
En déduire que la matrice A=
1 −1 1
1 2 1
1 1 2
est inversible et donnerA−1.
Exercice XV.
Pour tout réela, on dénit la matriceN(a)par N(a) =
a+ 1 −a −a a −a+ 1 −a
0 0 1
. 1. Soientaetb deux réels. Déterminer le réelctel que N(a)N(b) =N(c). 2. A quelle condition surc a-t-onN(c) =I3?
3. En déduire les conditions surapour queN(a)soit inversible et expliciter le cas échéant[N(a)]−1
Exercice XVI.
1. Calculer, si possible, les inverses des matrices suivantes.
M =
2 −5
−6 14
N=
3 −4 6 −8
A=
−1 0 2
0 0 1
0 −1 1
B=
1 −1 0
1 2 1
1 1 0
C=
3 −2 0
1 0 0
0 1 0
D=
2 2 3
1 −1 0
−1 2 1
E=
4 2 1
−1 1 −1
−2 −2 1
F=
1 −1 2 −2 0 0 1 −1 1 −1 1 0 1 −1 1 0
G=
1 1 1 0
−1 1 0 1
−1 0 1 1 0 −1 −1 1
H =
2 1 3
1 3 −1 3 −1 7
2. Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre réelλles matrices suviantes sont-elles inversibles ?
A=
3−λ −2 2
3 −2−λ 3
2 −2 3−λ
B=
2−λ 1 −7
2 3−λ −8
2 2 −7−λ
Exercice XVII.
En utilisant les résultats de l'exercice précédent, résoudre les systèmes linéaires suivants : 1. (A)
x−y= 3 x+ 2y+z=−1
x+y= 4
2. (B)
2x+ 2y+ 3z= 1 x−y= 2
−x+ 2y+z= 0
3. (C)
x+y+z=−2
−x+y+t=−1
−x+z+t= 3
−y−z+t= 0
Exercice XVIII.
Résoudre les systèmes suivants enX. 1. SoitX∈ M3,1(R), i.e.X =
a b c
.
a. A=
−1 2 2 2 −1 2
2 2 −1
. RésoudreAX= 3X, puisAX=−3X.
b. A=
1 0 0
6 −5 6 3 −3 4
. RésoudreAX=−2X, puisAX=X.
2. a. A=
1 −1 2 −2 0 0 1 −1 1 −1 1 0 1 −1 1 0
. RésoudreAX= 04, puisAX=X, pour X∈ M4,1(R).
b. A=
1 1 1 0
−1 1 0 1
−1
. RésoudreAX=X, pour X∈ M4,1(R).
Exercice XIX.
Soit M =
1 −2 −2
−2 1 −2
−2 −2 1
et J=
1 1 1 1 1 1 1 1 1
. On noteI=I3la matrice identité.
1. CalculerJ2, et en déduireJk, pourk∈N∗. 2. ExprimerM en fonction deI etJ.
3. A l'aide de la formule du binôme de Newton, montrer que ∀n∈N, Mn= 3nI+ (−1)n−1 3n−1J.
Exercice XX.
Soit les suites(un)n∈N et(vn)n∈N dénies par récurrence par u0= 3, v0=−2 et, pourn∈N,
( un+1 = 2un+vn vn+1 =un+ 2vn
. 1. Trouver une matriceM carrée d'ordre2telle que ∀n∈N,
un+1
vn+1
=M un
vn
. 2. Vérier que ∀n∈N,
un
vn
=Mn u0
v0
. SoitM =
2 1 1 2
, J =
1 1 1 1
et I=I2. 1. CalculerJ2, et pourk∈N∗, calculerJk. 2. Trouveraetb réels tels queM =aI+bJ. 3. Vérier que Mn= 1
2(3n−1)J+I. (On pourra raisonner par récurrence, où utiliser la formule du binôme.) 4. En déduireun et vn en fonction den.
