ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Maison 8 26 mai 2014
Travail demandé :
trois exercices imposés personnels (points doublés : sur 5 pts) deux exercices au choix (sur 2.5 pts)
dernier exercice : facultatif
Exercice I. (principale : T, secondaire : C)
Soit la variable aléatoire X dont la loi est donnée par le tableau suivant :
xi −2 −1 1 2 4 pi
1 4
1 6
1 12
1 3
1 6
1. Vérier qu'il s'agit bien d'une loi de probabilité.
2. Après en avoir justié l'existence, calculer E(X).
Exercice II. (principales : I,M, secondaires : R,C,T)
Dans une agence immobilière, une étude statistique a montré que le nombre X de clients quotidiens achetant un bien immobilier suit une loi de Poisson de paramètre2.
Sur une semaine (5 jours ouvrés) :
1. Quel est le nombre moyen de biens achetés ?
2. Quelle est la probabilité qu'aucun bien ne soit acheté ?
Exercice III. (principales : T,C, secondaire : A) Soit la fonctionf dénie par f(x) =
2, six≤0
−2x3+ 1, si0< x≤2 0, six >2 1. Justier que f est continue par morceaux sur[−3; 4]. 2. Calculer l'intégrale I =
Z −3 4
f(x)dx.
Exercice IV. (principale : T)
Créer un programme informatique comportant la fonction f de l'exercice précédent, et traçant son graphe sur [−10; 10].
Exercice V. (principale : A, secondaires : T,R,C) 1. L'application
f : R2 −→ R2 x
y
7−→
3y−4x 5x2+y
est-elle linéaire ? Justier.
2. Montrer que l'application f : R[X] −→ R[X]
P 7−→ X2P(X) est linéaire.
Exercice VI. (principales : A,R, secondaire : C)
Quelle est la dimension du s.e.v. de R3 engendré par les vecteurs :
u=
2
−1 3
, v=
−1 4 2
, w=
1 3 5
et z=
−8 11
−5
? Justier.
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