Espaces préhilbertiens _________

(1)

Espaces préhilbertiens _________

1. Produits scalaires.

2. Espaces préhilbertiens et hilbertiens.

3. Normes dérivant d’un produit scalaire.

4. Théorie élémentaire de la projection orthogonale.

5. Théorème de projection convexe de F. Riesz.

6. Familles orthonormées, orthogonalisation.

à Vidal Agniel, poète et mycologue hilbertien du Chambon-sur-Lignon

Pierre-Jean Hormière ___________

« Wir müssen wissen, wir werden wissen ! In der Mathematik, gibt es kein ignorabimus. »

David Hilbert (1862-1943)

Les espaces préhilbertiens réels et complexes sont, avec les espaces de fonctions bornées munis des normes uniformes, les principaux exemples d’espaces vectoriels normés. On les rencontre aussi bien en analyse qu’en algèbre. Ils jouissent de propriétés géométriques simples et naturelles, correspondant à ce que l’intuition nous laisse entrevoir de l’espace qui nous environne. Cependant, l’émergence des géométries non-eucli- diennes au cours du XIX^e siècle, puis de la théorie de la relativité, a montré qu’il s’agissait là d’une identification abusive, et qu’il existait des espaces normés ou métriques, possédant des propriétés géométriques et topologiques bien différentes, et tout aussi liés au monde physique. Cela a conduit les mathématiciens à axiomatiser la géométrie euclidienne à l’aide d’outils modernes, mais sans lui faire perdre la place qui est la sienne : les espaces euclidiens fournissent en effet des modèles susceptibles de rendre intelligibles les espaces non-euclidiens.

Ajoutons que le formalisme mathématique de la mécanique quantique fait grand usage des espaces de Hilbert et de leurs opérateurs : toute grandeur observable est en effet représentée par un opérateur autoadjoint défini sur l’espace de Hilbert des vecteurs d’état du système physique. Les valeurs propres de l’opérateur sont les résultats des mesures physiques de l’observable, deux grandeurs observables peuvent être mesurées simul-tanément ssi les opérateurs associés commutent.

Dans ce chapitre, K désigne l’un des corps R ou C ; a → a désigne l’identité si K = R, la conjugaison si K = C. Il existe, certes, de légères différences entre les espaces préhilbertiens réels et complexes ; ces différences seront signalées au passage, mais l’on peut sans dommage présenter de manière simultanée les espaces préhilbertiens réels et complexes.

(2)

1. Produits scalaires.

1.1. Formes bilinéaires symétriques et sesquilinéaires hermitiennes.

Définition 1 : Soit E un K-espace vectoriel. Une application Φ : E×E → K est appelée forme bili- néaire symétrique si K = R, forme sesquilinéaire hermitienne si K = C, si elle vérifie les trois axiomes :

(B_g) ∀(λ₁, λ₂) ∈ K² ∀(x₁, x₂, y) ∈ E³Φ(λ₁x1 + λ₂x₂, y) =

λ

₁Φ(x₁, y) +

λ

₂Φ(x₂ , y) (B_d) ∀(µ₁, µ₂) ∈ K² ∀(x, y₁, y₂) ∈ E³Φ(x , µ₁y₁ + µ₂y₂) = µ₁Φ(x , y₁) + µ₂Φ(x , y₂) (S) ∀(x, y) ∈ E² Φ(y , x) = Φ( yx, ).

En vérité l’axiome (B_g) découle des axiomes (B_d) et (S). Il n’y a donc que deux axiomes à vérifier.

Lorsque K = C, Φ est semi-linéaire à gauche et linéaire à droite.

En vieux français, le préfixe « sesqui- » signifie « une fois et demie » ¹.

NB : Dans les exposés anciens, on supposait Φ linéaire à gauche, et semi-linéaire à droite ; cette convention a été abandonnée car elle rend moins naturels certains calculs.

Définition 2 : Si Φ est une f. b. s. ou une f. s. h. sur E, l’application q : E → K définie par q(x) = Φ(x , x) est dite forme quadratique associée à Φ.

Conséquences des axiomes :

1) (∀x ∈ E) Φ(x, x) ∈ R ; si K = R, c’est évident, si K = C, cela découle de (S).

2) Φ(

∑

= n

i i ix

1

λ. ^,

∑

= p

j j jy

1

µ

. ^{) =}

∑∑

= = n

i p

j i

1 1

λ

^.Φ(x_i, y_j).µ_j = ^tΛ.A.M ,

où A = (Φ(x_i, y_j)) ∈ M_K(n, p), Λ est le vecteur-colonne des λ_iet M celui des µ_j. 3) Si (∀x ∈ E) Φ(x, x) = 0 , alors Φ = 0.

Cela s’établit par dédoublement des variables, en écrivant Φ(x + λy, x + λy) = 0 pour tous x, y et λ, et en développant. Mais cela découle aussi des identités suivantes :

4) identités de polarisation : Si K = R , Φ(x, y) =

2

1_[_Φ(x+y, x+y) −Φ(x, x) −Φ(y, y) ] = 4

1_[_Φ(x+y, x+y) −Φ(x−y, x−y) ] Si K = C , Φ(x, y) =

4

1_[_Φ(x+y , x+y) − i.Φ(x+iy , x+iy) −Φ(x−y , x−y) + i.Φ(x− iy , x−iy) ]. Vérifications faciles dans le cas K = R.

Si K = C, mieux vaut établir d’abord : Φ(x + y , x + y) −Φ(x − y , x − y) = 4.Re Φ(x, y).

La formule se retient sous la forme Φ(x, y) = 4

1

∑

= 3

0 k

i⁻^k.q(x + i^k.y) .

Proposition : L’ensemble des formes bilinéaires symétriques, resp. sesquilinéaires hermitiennes sur E est un R-espace vectoriel.

Preuve : C’est un sous-R-espace vectoriel de

F F F F

_(E_×E, K) considéré comme R-espace vectoriel.

Attention, si Φ est une forme sesquilinéaire hermitienne, Ψ = iΦ n’en est pas une ; c’est une forme sesquilinéaire antihermitienne, en ce sens que Ψ(y, x) = − Ψ( yx, )^.

1 L’un des plus jolis mots contenant ce préfixe est “ hippopotomonstrosesquipédaliophobie ».

(3)

Cas de la dimension finie :

1) Soit E un R-espace vectoriel de dimension n rapporté à une base BBBB_{= (e}₁_{, ..., e}_n), Φ une forme bilinéaire symétrique sur E.

On appelle matrice de ΦΦΦΦ relativement à la base BBBB la matrice A = (Φ(e_i, e_j)).

C’est une matrice symétrique réelle, et l’on a aussitôt : Φ(x, y) = ^tX.A.Y, en notant X le vecteur- colonne des coordonnées de x, et Y celui des coordonnées de y dans la base BBBB_.

L’application Φ→ A qui à une fbs associe sa matrice est un isomorphisme de l’espace des fbs sur E sur l’espace S_n(R) des matrices symétriques réelles. Il en résulte aussitôt que FBS(E) est de dimension n(n+1)/2.

Formules de changement de base : Si BBBB' est une autre base de E, P la matrice de passage de BBBB_àBBBB_', et A' la matrice de Φ dans cette nouvelle base, alors on a A' = ^tP.A.P.

On dit que les matrices symétriques A et A' sont congruentes.

2) Soit E un C-espace vectoriel de dimension n rapporté à une base BBBB_{= (e}₁_{, ..., e}_n_),_Φ une forme sesquilinéaire hermitienne sur E.

On appelle matrice de ΦΦΦΦ relativement à la base BBBB la matrice A = (Φ(e_i, e_j)).

C’est une matrice hermitienne complexe, c’est-à-dire telle que ^tA = A, et l’on a aussitôt :

Φ(x, y) = ^tX .A.Y, en notant X le vecteur-colonne des coordonnées de x, et Y celui des coordon- nées de y dans la base BBBB_.

L’application Φ → A qui à une fsh associe sa matrice est un isomorphisme de l’espace vectoriel réel des fsh sur E, sur l’espace vectoriel réel H_n(C) des matrices hermitiennes complexes. Il en résulte aussitôt que FSH(E) est de R-dimension n².

Formules de changement de base : Si BBBB' est une autre base de E, P la matrice de passage de BBBB_àBBBB_', et A' la matrice de Φ dans cette nouvelle base, alors on a A' = ^tP.A.P. On dit que les matrices A et A' sont congruentes.

Autres exemples, en dimension infinie :

− Soit E = C([a, b], R), N : [a, b]² → R une fonction continue telle que N(s, t) ≡ N(t, s). Alors : Φ : ( f, g) →

∫∫

_[a,b]² f(s).N(s, t).g(t).ds.dt est une forme bilinéaire symétrique sur E.

− Soit E = C([a, b], C), N : [a, b]²→ C une fonction continue telle que N(s, t) ≡N( st, ). Alors : Φ : ( f, g) →

∫∫

_[a,b]² _f_(s₎.N(s, t).g(t).ds.dt est une forme sesquilinéaire hermitienne sur E.

1.2. Formes positives.

Définition 2 : La forme bilinéaire symétrique ou sesquilinéaire hermitienne Φ est dite positive si : (∀x ∈ E) Φ(x, x) ≥ 0 .

Proposition : inégalité de Cauchy-Schwarz.² Si Φ est une forme positive, on a :

∀(x, y) ∈ E²

|

Φ(x, y)

|

² ≤ Φ(x, x).Φ(y, y) . Preuve :

• Supposons d’abord K = R, et posons, pour tout λ ∈ R : T(λ) = Φ(x + λ.y , x + λ.y).

On a : T(λ) = λ².Φ(y, y) + 2λ.Φ(x, y) + Φ(x, x).

Si Φ(y, y) > 0, T est un trinôme à valeurs ≥ 0 . Mettons-le sous forme canonique : T(λ) = Φ(y, y).

[

λ +

) , (

y y

y Φ x

Φ

]

² + Φ(x, x) −

) , (

)² , (

y y

y Φx Φ .

2 Inégalité énoncée par Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) en 1821 dans le cas du produit scalaire euclidien standard sur Rⁿ. Le russe Viktor Iakovlevitch Buniakovski (1804-1889) en 1859, et l’allemand Hermann Amandus Schwarz (1843-1921) en 1885 l’ont généralisée aux intégrales.

(4)

T(λ) est minimum pour λ₀ = −

) , (

y y

x ΦΦ y _{: T(λ}

0) ≥ 0 est C-S.

Si Φ(y, y) = 0 , T est une forme affine réelle à valeurs ≥ 0 ; cela n’est possible que si Φ(x, y) = 0.

• Supposons K = C, et posons, pour tout λ∈ C : T(λ) = Φ(x + λ.y , x + λ.y).

On a : T(λ) = λ

λ

Φ(y, y) + λ.Φ(x, y) +

λ

^.Φ^{( y}^x^, ⁾ + Φ(x, x).

Si Φ(y, y) > 0, mettons T(λ) sous « forme canonique » : T(λ) = Φ(y, y).

[

λ +

) , (

y y

y Φ x

Φ

]

^.

[ λ

⁺

) , (

y y

y Φ x

Φ

]

+ Φ(x, x) −

) , (

² ) , (

y y

y x Φ

Φ .

T(λ) est minimum pour λ₀ = −

) , (

y y

y Φ x

Φ : T(λ0) ≥ 0 est C-S.

Si Φ(y, y) = 0 , en prenant λ = α.Φ(y, x), α ∈ R, il vient : (∀α ∈ R) 2α.| Φ(x, y) |² + Φ(x, x) ≥ 0.

Cette forme affine réelle n’est positive que ssi sa pente est nulle ; on a Φ(x, y) = 0 . cqfd.

Deux remarques, l’une algébrique, l’autre géométrique.

1) La notion de trinôme réel T(λ) = aλ² + 2bλ + c peut s’étendre de deux manières au domaine complexe : soit en un trinôme complexe T(λ) = aλ² + 2bλ + c, soit en une fonction de la forme T(λ) = a λ

λ

^{+ b}λ + b

λ

^{+ c.}

2) Si K = R, la courbe y = T(λ) est une parabole ou une droite, si K = C, la surface z = f(α, β), où λ

= α + iβ, est un paraboloïde de révolution ou un plan. Dans les deux premiers cas, on obtient C-S en se plaçant au minimum. Dans les deux cas particuliers, il suffit d’observer qu’une droite affine du plan ou un plan affine de l’espace ne peuvent être au-dessus de l’axe x'Ox, resp. du plan xOy, que s’ils sont horizontaux. cqfd.

Corollaire 1 : Si Φ est une forme positive, on a : Φ(x, x) = 0 ⇒ (∀y ∈ E) Φ(x, y) = 0.

Corollaire 2 : Si Φ est une forme positive, x → || x || = Φ( xx, ) est une semi-norme sur E.

Changement de notation : nous noterons désormais Φ(x, y) ≡ (x | y).

Cauchy-Schwarz s’écrit alors : ∀(x, y) ∈ E² | (x | y) |² ≤ (x | x). (y | y) . Théorème « de Pythagore » ³ : (x | y) = 0 ⇒ || x + y ||² = || x ||² + || y ||² . Remarque : Relevons une légère différence entre les cas K = R et K = C : 1) si K = R, on a l’équivalence : (x | y) = 0 ⇔ || x + y ||² = || x ||² + || y ||². 2) si K = C, ce n’est qu’une implication. Plus précisément on a l’équivalence :

|| x + y ||² = || x ||² + || y ||² ⇔ (x | y) est imaginaire pur.

Ainsi, par exemple, x et y = ix vérifient l’égalité dans Pythagore sans être orthogonaux.

1.3. Produits scalaires.

Définition 3 : Une forme bilinéaire symétrique ou sesquilinéaire hermitienne est appelée produit scalaire si elle est positive et définie (ou anisotrope), en ce sens que : (x | x) = 0 ⇒ x = 0.

On dit que le produit scalaire est euclidien si K = R, hermitien si K = C.

Propriétés particulières aux produits scalaires :

1) Il y a égalité dans Cauchy-Schwarz ssi les vecteurs x et y sont liés.

2) x → ||x|| = ( xx ) est une norme sur E, vérifiant :

|| x + y || = || x || + || y || ⇒ x et y sont positivement liés.

3 Pour des preuves géométriques élémentaires de ce théorème, voir chap. Géométrie du triangle

(5)

3) Toute famille orthogonale formée de vecteurs non nuls est libre.

Définition 4 : Si (x | y) est un produit scalaire euclidien, on appelle angle (non orienté) des deux vecteurs non nuls x et y : θ =

y x

y x Arc

. ) ,

cos( ∈ [0, π].

Remarque 1 : Signalons derechef une petite différence entre les cas K = R et K = C, à vrai dire valable dans tous les K-espaces vectoriels normés.

1) si K = R, toute droite vectorielle R.x perce la sphère unité en exactement deux points diamé- tralement opposés, ± x / ||x||.

2) si K = C, toute droite vectorielle C.x perce la sphère unité en une infinité de points, à savoir

θ

ei .x / ||x||.

Remarque 2 : Mentionnons une autre petite différence entre les cas K = R et K = C.

1) Si K = R, les points équidistants de a et b (si a ≠ b) forment un hyperplan affine H de E, l'hyperplan médiateur de [a, b], perpendiculaire au segment [a, b] en son milieu. Cela découle aussitôt des formules : || x − a ||² − || x − b ||² = 2 ( b − a | x − c ) , où c =

2 a+b_.

2) Si K = C, les points équidistants de a et b ne forment pas un hyperplan affine de E, mais un hyperplan affine H du R-espace vectoriel sous-jacent à E. En effet :

|| x − a ||² = || x − b ||² ⇔ 2 Re( b − a | x) = || b ||² − || a ||² ,

équation de la forme f(x) = constante, où f est une forme R-linéaire. Si E est de C-dimension n, H est donc un sous-espace affine de R-dimension 2n − 1.

1.4. Exemples de formes positives et de produits scalaires.

1) Les produits scalaires standard sur Rⁿ et Cⁿ. Il s’agit respectivement de (x | y) =

∑

= n

i i i y x

1

. et de (x | y) =

∑

= n

_a^b^f⁽^t⁾^.^g⁽^t^).^dt est une forme positive, dont la restriction à CCCC([a, b], K) est un produit scalaire.

Plus galt si p est fonction réglée [a, b] → R⁺, (f | g) =

∫

_a^b^f⁽^t⁾^.^g⁽^t^).^p⁽^t^).^dt est une forme positive.

1.5. Remarque vintage.

Soit E un espace vectoriel muni d’une forme positive ( | ) et de la semi-norme associée || ||.

(6)

L’ensemble N = { x ∈ E ; ||x|| = 0 } est un sous-espace vectoriel de E. Considérons l’espace vectoriel quotient E/N. On vérifie facilement que x ≡ x’ et y ≡ y’ (mod N) ⇒ (x | y) = (x’ | y’).

Par conséquent, (x | y) ne dépend que des classes x et y de x et y resp..

Si l’on pose (x|y) = (x | y), on définit un produit scalaire sur E/N.

Par exemple si E est l’espace des fonctions continues par morceaux de [a, b] dans R muni de la forme ( f | g) =

∫

_a^b^fg, N est le sous-espace des fonctions nulles sauf en un nombre fini de points, et ( f | g) ne dépend que des classes de f et g modulo N.

Exercices

Exercice 1 : On suppose K = C. Montrer qu’une forme sesquilinéaire vérifiant ∀x ∈ E Φ(x, x) ∈ R est hermitienne.

Exercice 2 : On suppose K = C.

1) Montrer, pour tout n ≥ 3, l’identité suivante : Φ(x, y) = n 1

∑

⁻

= 1

0 n

k

e⁻^2ik^π^/nq(x + e^2ik^π^/n.y) , qui généralise l’identité de polarisation.

2) Montrer ∀(x, y) ∈ E² Φ(x, y) = ²¹

π ∫

₀²^π^e⁻ⁱ^θ ^{q(x + e}^iθ^.y).d^θ^.

Exercice 3 : Dans M_n(C), on appelle adjointe de la matrice A, et on note A* = ^tA, sa transcon- juguée. 1) Étudier l’application A → A* .

2) On dit que A est hermitienne si A* = A, antihermitienne si A* = −A. On note resp. H_n(C) et A_n(C) ces ensembles de matrices. Montrer qu’on a la somme directe de R-espaces vectoriels : M_n(C) = H_n(C) ⊕ A_n(C) , et que A_n(C) = i.H_n(C).

Quelles sont les R-dimensions de H_n(C) et A_n(C) ?

Exercice 4 : autre preuve de Cauchy-Schwarz, si K = R. Soit (x | y) une forme positive.

1) Montrer que x → (x | x) est convexe, et strictement convexe si (x | y) est un produit scalaire.

2) En déduire (x | y) ≤ 2

1₍_||x||²_{+ ||y||}²₎ , puis (x | y) ≤ 2

1₍_α²_||x||²₊

²

α^y ⁾ pour tout α≠ 0.

3) Conclure par un choix convenable de α ; cas d’égalité, lorsque (x | y) est un produit scalaire ? Exercice 5 : Soient E un R-espace vectoriel muni d’un produit scalaire, a et b deux points de E.

Trouver l’ensemble des x tels que || x − a || = k.|| x − b || .

Exercice 6 : Montrer ∀(a, b, c) ∈ R³ ab + bc + ca ≤ a² + b² + c² ; cas d’égalité ? Exercice 7 : Montrer ∀(x₁, ..., x_n) ∈ Rⁿ

n x x1+...+ n ≤

n x

x1²+...+ n² ; cas d’égalité ?

Exercice 8 : Montrer ∀f ∈ C([a, b], R)

b−1a

∫

_a^b^f ^≤

^[

_b−¹_a

∫

_a^b^f²

^]

. + +j i

y xi j

est un produit scalaire sur Rⁿ⁺¹ .

(7)

[ Indication : à x associer le polynôme u(x)(t) =

∑

= n

i i ti

x

0

3 1_,

3

2

]

f(x)²≤ 2 f(y)² + 3

4

∫

₀¹^f^'(^t^)².^dt^.

4) Conclure que

∫

₀¹^f⁽^t^)².^dt^{≤ 6}

∫

₁²_/₃^/³^f⁽^t^)².^dt⁺₃⁴

∫

₀¹^f^'(^t^)².^dt . Cas d’égalité ? 2. Espaces préhilbertiens et hilbertiens.

2.1. Définitions.

Définition 1 : On appelle :

• espace préhilbertien un K-espace vectoriel muni d’une forme positive et de la semi-norme associée ;

• espace préhilbertien séparé un K-espace vectoriel muni d’un produit scalaire et de la norme associée ;

• espace hilbertien ou espace de Hilbert un K-espace préhilbertien séparé et complet ;

• espace euclidien un R-espace vectoriel de dimension finie muni d’un produit scalaire euclidien ; • espace hermitien un C-espace vectoriel de dim. finie muni d’un produit scalaire hermitien.

Les espaces de Hilbert sont des espaces de Banach particuliers ; les espaces euclidiens et hermitiens sont complets en tant qu’espaces normés de dimension finie ; ce sont donc des espaces de Hilbert.

Remarque : La terminologie adoptée ici est celle de Bourbaki. Il peut arriver, dans certains livres ou problèmes, qu’elle soit légèrement modifiée, et qu’on appelle espace préhilbertien ce qu’on nomme ici un espace préhilbertien séparé, et espace euclidien un R-espace vectoriel muni d’un produit scalaire sans exiger qu’il soit de dimension finie... Soyez attentifs aux en-têtes des problèmes.

Définition 2 : Par morphisme d’espaces préhilbertiens on entend une application linéaire u : E → F vérifiant : ∀(x, y) ∈ E² (u(x) | u(y)) = (x | y), ou, ce qui est équivalent : ∀x ∈ E ||u(x)|| = ||x||.

Si E est séparé, u est nécessairement injective.

Proposition 1 : Soit E un espace préhilbertien. L’application (x, y) → (x | y) est continue.

Pour tout a∈E, ϕ(a) : x → (a | x) est une forme linéaire continue sur E de norme triple |||ϕ(a)||| = ||a||.

L’application ϕ : a → ϕ(a) est semi-linéaire de E dans son dual topologique, et injective si E est séparé.

Corollaire : Pour toute partie A de E, son orthogonal A^⊥= { x ∈ E ; (∀y ∈ A) (x | y) = 0 } est un sous-espace vectoriel fermé de E.

2.2. Exemples d’espaces préhilbertiens.

1) L’espace RRRR([a, b], K) des fonctions réglées de I = [a, b] dans K est un espace préhilbertien pour la forme positive ( f | g ) = ^bf t g t dt

a (). ().

∫

. Le sous-espace C([a, b], K) des fonctions continues est préhilbertien séparé.

Exercice : Démontrer qu’il n’est pas complet.

[ Indication : considérer par exemple la suite f_n(t) = sin t

π

_si

n

1 ≤ t ≤ 1 , 0 si 0 ≤ t ≤ n 1_{. ]}

(8)

2) L’espace RRRR_2π(R, C) des fonctions réglées 2π-périodiques de R dans C est un espace préhil- bertien pour la forme positive ( f | g ) = ²¹

π

^f⁽^t⁾^.^g⁽^t^).^dt

2

∫

0^π . Le sous-espace CCCC_2π(R, C) des fonctions continues 2π-périodiques de R dans C est préhilbertien séparé. Lui non plus n’est pas complet.

²( dx

x x

f < +∞.

Montrer que E est un espace vectoriel et que ( f | g ) =

∫

₋⁺₁¹ ₋ ^.

² 1

) ( ).

( dx

x x g x

f est un produit scalaire euclidien sur E. Montrer que E contient l’espace P des fonctions polynomiales sur ]−1, 1[, et que les polynômes de Tchebychev, caractérisés par T_n(cos θ) = cos(nθ), forment une base orthogonale de P, totale dans E.

6) Plus généralement, soit p : I → R₊ une fonction poids continue à valeurs positives sur l’intervalle I. L’ensemble LLLL²(I, p, K) des fonctions réglées f telles que t → | f(t)|².p(t) soit intégrable, est un sous-espace vectoriel de RRRR(I, E). L’application ( f, g) → ( f | g) ≡ f t g t p t dt

I (). (). ().

∫

^{est une}

forme bilinéaire symétrique positive sur LLLL²(I, p, R), et une forme sesquilinéaire hermitienne positive sur LLLL²(I, p, C). L’application : f ∈LLLL²(I, p, R) → N₂( f ) = || f ||₂ =

∫

_I ^f⁽^t⁾^².^p⁽^t^).^dt est une semi- norme, etc.

À chaque fonction poids p est donc associé un espace préhilbertien. Le plus souvent, les fonctions polynômiales sont éléments de LLLL²(I, p, K), et, si l’on applique le procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt à la famille (xⁿ)_n∈N relativement à ces différents poids, on obtient les grandes familles de polynômes orthogonaux classiques.

• I = [−1, +1] , p(x) = 1 : polynômes de Legendre ;

(9)

• I = ]−1, +1[ , p(x) =

² 1

1

−x : polynômes de Tchebychev ; • I = [0, +∞[ , p(x) = exp(−x) : polynômes de Laguerre ; • I = R , p(x) = exp(−x²) : polynômes d’Hermite , etc.

Ces exemples montrent que les espaces de fonctions continues ne sont jamais complets pour la norme de la convergence en moyenne quadratique. Certes, on peut toujours compléter un espace préhilbertien séparé au moyen d’une méthode abstraite analogue à celle indiquée dans le chap. sur les espaces métriques (§ D.2 ; voir aussi 3.4 ci-après). Mais si l’on voulait un complété naturel de ces espaces, il faudrait recourir au théorème de Riesz-Fischer, affirmant qu’il s’agit de l’espace des (classes d’équivalence de) fonctions de carré Lebesgue-intégrable définies presque partout.

2.3. L’espace de Hilbert l²(K) des suites de carré sommable.

L’espace l² des suites de carré sommable est le seul exemple d’espace de Hilbert de dimension infinie qui soit au programme de taupe.

Théorème : 1) L’ensemble l²(K) = { u = (u_n)_n∈N∈ K^N;

∑

≥0

²

n

un < +∞ } des suites de carré sommable est un espace vectoriel, et un espace de Hilbert pour le produit scalaire (u | v) =

∑

≥0

.

n n nv u . 2) Le sous-espace c₀₀ des suites nulles à partir d’un certain rang est dense dans l²(K). Les suites canoniques e_n = (δ_n,m)_m forment une base orthonormale de c₀₀ et donc une famille orthonormale totale dans l²(K).

3) Les formes linéaires continues sur l²(K) ne sont autres que les ϕ(u) : v → (u | v) , où u décrit l²(K). Autrement dit, l²(K) s’identifie canoniquement à son dual topologique.

Preuve : 1) Montrons que l²(K) est un sous-espace vectoriel de l’espace des suites. La suite (0) est élément de l²(K) ; l²(K) est stable par addition car | u_n + v_n|² ≤ 2

[

| u_n|² + | v_n|²

]

etbien sûr, u ∈ l²(K) ⇒ α.u ∈ l²(K)

Si u et v sont éléments de l2(K), la série n n

nv u .

0

∑

^+∞

= est absolument convergente en vertu de 2.|u .nvn| ≤ | u_n|2 + | v_n|2 . Il est facile d’établir que n

n nv u .

0

∑

^+∞

=

est un produit scalaire.

Reste à montrer que l2(K) est complet pour la norme associée.

Soit donc (u^p) = (un^p) une suite de Cauchy d’éléments de l2(K). Comme il s’agit d’une suite de suites, on note l’indice de la suite en exposant. Par hypothèse, on a :

∀ε > 0 ∃n₀ ∀p, q ≥ n₀ || u^p – u^q|| ≤ ε , c’est à dire ²

0

∑

^+∞

=

−

n

nq np u

u _≤_ε² .

• Fixons n. On a |un^p₋ un^q| ≤ε pour p et q ≥ n₀. La suite (un^p)_p est de Cauchy dans K, donc elle converge vers un scalaire noté a_n.

• Pour tout N, on a

∑

= −

N

n

nq np u u

0

² _≤_ε² . Fixons un instant N et faisons tendre q vers l’infini dans cette inégalité ; il vient ²

0

∑

= N −

n p n

n a

u _≤_ε² . La suite N → ²

0

∑

= N −

n p n

n a

u est croissante majorée par ε², donc la

série ²

0

∑

^+∞

=

−

n p n

n a

u converge et a une somme ≤ε². Cela montre :

− d’une part, que la suite (u^p− a) est de carré sommable, donc que a est de carré sommable, − d’autre part, que : ∀ε > 0 ∃n0 ∀p ≥ n0 || u^p – a|| ≤ ε .

(10)

La suite (u^p) tend vers a dans l2(K). CQFD.

2) Soit u = (u_n) une suite de carré sommable. Pour tout p, notons u^p = (u₀, u₁, …, u_p, 0, 0, … ).

u^p est élément de c₀₀, et || u − up ||² =

∑

^+∞

+

= 1

²

p n

un → 0 quand p tend vers l’infini.

= N

i i i a a

0

. , croissante majorée, donc convergente.

Par linéarité ϕ(u) = (a | u) pour toute u ∈ c₀₀ . Par densité ϕ(u) = (a | u) pour toute u ∈ l2(K).

Remarques : 1) Le résultat de 3) sera généralisé au § 5.4)

2) Tout ceci s’étend sans peine aux suites de carré sommable indexées par Z, ou par un ensemble dénombrable I quelconque ; on notera l²(Z, K), resp. l²(I, K), ces espaces.

Problème 1 : propriétés de l’espace l²(K).

1) Soit E un espace de Banach, X une partie ≠∅ de E. Montrer l’équivalence des propriétés : i) X est compact ;

ii) X est fermée, bornée, et pour tout ε > 0, il existe un sous-espace vectoriel F_ε de dimension finie, tel que : (∀x ∈ X) d(x, F_ε) ≤ ε .

[ Indication : utiliser la précompacité. ]

2) Montrer directement que la boule unité fermée de l²(K) n’est pas compacte.

3) Montrer que l²(K) est séparable, i.e. admet une partie dénombrable dense.

[ Indication : Considérer les suites nulles à partir d’un certain rang et rationnelles. ]

4) Montrer qu’une partie X de l²(K) est compacte si et seulement si elle est fermée, bornée et équisommable, en ce sens que : (∀ε > 0) (∃N > 0) (∀x ∈ X)

∑

_n≥N+1 |x_n|²≤ε .

5) Exemple : Soit b = (b_n)_n∈N un élément donné de l²(K).

Démontrer que X_b= { x = (x_n)_n∈N ; (∀n) |x_n| ≤ |b_n| } est une partie compacte de l²(K), et que dans X_b, la topologie de la convergence simple coïncide avec la topologie induite par celle de l²(K).

Problème 2 : opérateurs de Hilbert-Schmidt. ⁴

4 Erhard SCHMIDT (Derpt 1876 - Berlin 1959) fit ses études universitaires à Derpt (ou Dorpat, l’actuelle Tartu, en Estonie), à Berlin sous Schwarz, et à Göttingen sous Hilbert. Il soutint sa thèse en 1905. Après un court séjour à Bonn où il reçut son habilitation en 1906, il eut des postes à Zürich, Erlangen et Breslau, avant d’être nommé en 1917 à l’Université de Berlin. Bien qu’il occupât des positions de pouvoir à l’Université de Berlin, il ne semble pas s’être compromis avec les nazis. L’un des assistants de Bieberbach déclara en 1938 :

«Je pense que Schmidt ne comprend pas du tout la question juive.» Il était un des fondateurs des Mathema- tische Nachrichten (1948). Schmidt travailla sur les équations intégrales et les espaces de Hilbert. Il introduisit les opérateurs autoadjoints dans les espaces de Hilbert, et le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt d’une famille de vecteurs d’un espace préhilbertien réel ou complexe indexée par [1, n] ou N. Ce procédé avait cependant déjà été introduit par Laplace. En 1908, Schmidt étudia les systèmes linéaires ayant une infinité d’équations et d’inconnues, annonçant l’analyse fonctionnelle moderne.

(11)

Soit A = (a_mn)_(m,n)∈N² une suite double de carré sommable dans K, c’est-à-dire telle que :

∑

∈N×N n m

n

am ) , (

, ² < +∞ .

1) Montrer que l’application f_A : x = (x_n) → y = (y_m) définie par (∀m) y_m =

∑

≥0

.

n n mnx

a , définit un endomorphisme continu de l²(K), limite en norme d’une suite d’endomorphismes de rang fini.

2) En déduire que l’opérateur f_A est compact, en ce sens que, si B est la boule unité fermée de l²(K), f_A(B) a une adhérence compacte.

3) Application à des systèmes linéaires infinis. On suppose

∑

×

∈N N n m

n

am ) , (

, ² < 1 ; montrer que, pour toute y ∈ l²(K), il existe une unique x ∈ l²(K) telle que x − f_A(x) = y.⁵

Exercice 3 : lemme de Schur.

Soit A = (a_mn)_(m,n)∈N² une suite double de réels ≥ 0. On suppose qu’existent un réel C > 0 et une suite (ωn) de réels > 0 tels que :

∀m ≥ 0

∑

≥0

.

n

amn

ω

≤ C.ωm et ∀n ≥ 0

∑

≥0

.

n

m

amn

ω

≤ C.ωn .

1) Montrer que si la suite x = (x_n) est de carré sommable, la suite y = (y_m) définie par : (∀m) y_m =

∑

≥0

.

n n mnx

a est aussi de carré sommable et vérifie ||y|| ≤ C.||x||.

Ainsi, l’opérateur de " matrice " A est linéaire continu de norme ≤ C.

2) Application : traiter le cas a_mn=

1 1+ +n

m ^[ Indication : poser ωn = 1 1+ n ^.^] Problème 4 : inégalité de Hardy.

Soit (a_n)_n≥1 une suite réelle de carré sommable. On se propose de démontrer que sa transformée de Cesàro (b_n)_n≥1 définie par b_n =

n 1₍_a

1+ ... + a_n) est de carré sommable, et vérifie :

∑

^+∞

=1

)² (

n

bn ≤ 4

∑

^+∞

=1

)² (

n

an , cette majoration étant la meilleure possible.

1) Vérifier qu’avec la convention b₀ = 0, on a : 2 a_nb_n ≥ ( n + 1 ) b_n² − ( n − 1 ) b_n₋₁² . En déduire : 2

∑

= N

n n nb a

1

. ≥

∑

= N

n

bn 1

)²

( , et conclure.

2) Montrer qu’on ne peut avoir égalité que pour la suite nulle, mais qu’on ne peut améliorer la constante 4 (Considérer la suite a_n = 1/n^α, avec 1/2 < α < 1.)

En d’autres termes, l’opérateur de Cesàro laisse stable l’espace l²(R) des suites de carré sommable, et y induit un opérateur continu de norme 2. Ce résultat a un analogue intégral.

Exercice 5 : encore Fibonacci…

Soit (u_n) la suite de Fibonacci, définie par : u₀ = 0, u₁ = 1, u_n+2 = u_n + u_n+1 . 1) Montrer que ∀n ≥ 1 (u₁)² + … + (u_n)² + (u_n)² = u_n.u_n+2 .

2) En déduire que la matrice A ∈ Mn+1(R) définie ci-dessous est orthogonale :

5 Pour des compléments, cf. Kantorovitch-Akilov, Analyse fonctionnelle (éd. de Moscou), p. 214-217.

(12)

A =













−

+ +

+ + +

+ +

2 1

1 2

1 2 2 1 1

2 2

2 2 2

1

4 2

2 4

2 2 4

2 1

3 1

1 3

1 1

...

0 ...

...

0

0 ...

...

0

n n

n n n

n n n n n

n n n

n n

u u

u u u

u u

u u u

u u

u u u

u u

3) Soit l2(N*) l’espace de Hilbert des suites réelles x = (x_n)_n_≥₁ de carré sommable.

A la suite x = (x_n)_n_≥₁ on associe la suite y = (y_n)_n_≥₁ définie par ∀n ≥ 1 yn =

2 1 1

1 ...

+

− +

+ +

n n n n n n

u u

x u x u x

u .

A l’aide de 2), montrer que y est de carré sommable et que

∑

≥1

)² (

n

xn =

∑

≥1

)² (

n

yn .

[ Indication : introduire le vecteur ^t(y₁, …, y_n, z_n) = A.^t(x₁, …, x_n, x_n+1), et montrer que : (z_n)² ≤

2 1 1)² ... ( )² (

+ +

n n

p

u u

u

∑

≥1

)² (

n

xn +

∑

+

≥ 1

)² (

p n

xn . ]

En déduire que l’opérateur f : x → y est linéaire isométrique. Quel est son inverse ?

Exercice 6 : Soit f ∈ C([0, 1], R). Montrer que la suite µn(f) =

∫

₀¹^xⁿ^.^f⁽^x^).^dx de ses moments est de carré sommable, et que f → (µn(f)) est linéaire injective de C([0, 1], R) dans l²(R).

Exercice 7 : Soit f une fonction réglée 2π-périodique R → C ; montrer que la suite (cn(f))_n_∈_Z de ses coefficients de Fourier est de carré sommable. Comment se traduit la formule de Parseval ?

3. Propriétés particulières aux normes dérivées d’un produit scalaire.

Les normes dérivant d’un produit scalaire forment une classe particulière de normes, aisément reconnaissables, et possédant des propriétés géométriques spécifiques, parfois caractéristiques.

3.1. Comment montrer qu’une norme sur E dérive d’un produit scalaire?

Il suffit d’exhiber un produit scalaire (x | y) sur E tel que l’on ait (∀x ∈ E) ||x|| = ( xx ).

Ce produit scalaire peut souvent se deviner ; dans les cas moins évidents, on notera qu’il est nécessairement donné :

− si K = R, par (x | y) = 2

1₍ || x + y ||² − || x ||² − || y ||²) ; − si K = C, par (x | y) =

4

1₍ || x + y ||² − || x − y ||² − i.|| x + i.y ||² + i.|| x − i.y ||²) .

Tout revient alors à définir (x | y) par ces formules, et à démontrer que c’est un produit scalaire ; comme la symétrie (hermitienne si K = C) est évidente, ainsi que la formule : (∀x∈E) ||x|| = ( xx ), il suffit de montrer la bilinéarité à droite : ce n’est pas toujours facile !

Cependant, les normes dérivant d’un produit scalaire possèdent des propriétés géométriques que n’ont pas toutes les normes, et cela suffit souvent à répondre négativement à la question posée.

3.2. Une norme dérivant d’un produit scalaire est "stricte".

Définition 1 : Une norme x → ||x|| est dite stricte si ||x + y|| = ||x|| + ||y|| ⇒ x et y sont liés.

(13)

A noter qu’alors x et y sont positivement liés, en ce sens que x = 0 ou y = α.x, α≥ 0.

Propriétés des normes strictes :

• Si a et b sont deux points de E, le segment [a, b] est [a, b] = { x ; ||a − b|| = ||a − x|| + ||x − b|| } et la droite réelle (a b) est la réunion :

(a b) = [a, b] ∪{ x ; ||a − x|| = ||a − b|| + ||b − x|| } ∪ { x ; ||b − x|| = ||b − a|| + ||a − x|| } • Tous les points de la sphère unité sont des points extrêmaux de la boule unité fermée.

Proposition : Toute norme dérivant d’un produit scalaire est stricte.

Remarque : la réciproque est fausse, comme le montrent les normes ||x||_p pour 1 < p < ∞. Exercice 1 : 1) Les normes ||x||₁ et ||x||_∞sur Rⁿ dérivent-elles d’un produit scalaire ? 2) Mêmes questions pour les normes || f ||₁ et || f ||_∞ sur C([a, b], R) ?

Exercice 2 : Soit E = C_b(R, R) (fonctions continues bornées), F le sous-espace engendré par sin et cos. La norme || f ||_∞ est-elle euclidienne sur E ? sur F ?

Exercice 3 : Soient E un espace euclidien de dim n , L(E) l’espace des endomorphismes de E.

La norme u → ||| u ||| est-elle euclidienne ? Même question pour la norme u → tr(u*ou). 3.3. Une norme dérivant d’un produit scalaire est "lisse".

Cela signifie que l’application N : x → || x || est R-différentiable en tout point x de E−{O}.

En effet, un calcul de développement limité vectoriel montre que : || x + h || = (x+hx+h) = ||x|| +

x

1 Re(x | h) + O( ||h||²) quand || h || → 0 , de sorte que, si K = R, grad N(x) =

x x _.

Ce résultat est évident si l’on est en dim finie et si l’on passe par les dérivées partielles. On choisit une base orthornormée, de sorte que N(x) =

∑

= n

i

xi 1

2 et xi

∂N

∂ ₌ ) (x N

xi .

3.4. L’identité de la médiane.

Proposition : Soit E un espace préhilbertien.

∀(u, v) ∈ E² || u + v ||² + || u − v ||² = 2 ( || u ||² + || v ||²) (identité du parallélogramme) ∀(u, v) ∈ E²

||

2

u+v

||

² +

||

2 u−v

||

² =

2

1_{( ||u||}²_{+ ||v||}²) (identité de la médiane).

AD² + BC² = 2 ( AB² + AC²) 4.AI² + BC² = 2 ( AB² + AC²)

Corollaire : Soit E un espace préhilbertien réel. Un triangle est isocèle si et seulement si une médiane est en même temps hauteur.

Remarque : il n’en est pas de même si K = C : pourquoi ?