Groupes d’ordre pq
Florian BOUGUET
Références :
– PERRIN: Cours d’algèbre (un peu)
Un développement pas trop compliqué sur la structure des groupes d’ordrepq. Il fait cependant appel à la notion de produit semi-direct, qu’il est bon d’avoir revue avant le jour J.
Theorème 1
ConsidéronsGun groupe d’ordrepq, oùpetqsont premiers distincts AlorsGn’a que deux structures possibles.
Preuve :
Mon énoncé n’étant peut-être pas le plus clair du monde, prenons le temps de bien le reformuler. En d’autres termes, tous les groupes d’ordrepq non-isomorphes àZ/(pq)Z(qui est un groupe évident d’ordrepq) sont iso- morphes entre eux.
Soient doncpetqdeux nombres premiers distincts ; on peut supposer quep < q. PosonsGd’élément neutreeun groupe d’ordre (i.e. de cardinal)
|G|=pq
D’après le théorème de CAUCHY, il existeHetNdeux sous-groupes deGd’ordres respectifspetq(les notations ne sont pas choisies au hasard, on ne va pas tarder à démontrer queNest distingué). Ces sous-groupes sont donc respectivement isomorphes àZ/pZetZ/qZ.
Intéressons-nous auxq-Sylow deG. D’après le théorème de SYLOW, en notantnq le nombre deq-Sylow deGon a
nq ≡1[q]
nq divisep
Puisquep≤q, la seule possibilité estnq = 1. D’autre part, toujours d’après le théorème de SYLOW, lesq-Sylow sont d’ordreqet conjugués entre eux. En mettant bout à bout tous les arguments, l’uniqueq-Sylow deGestN et il est distingué. Enfin|G| =|N||H|et par primalitéN∩H =e. On a donc on a un produit semi-direct via le morphismeϕ:H→Aut(N):
NoϕH ≈G
On rappelle que la loi d’un tel produit semi-direct est (n, h)·ϕ(n0, h0) = nϕ(h)(n0), hh0
pourn, n0 ∈Neth, h0 ∈H Remarquons d’abord que
Aut(N)≈Aut(Z/qZ)≈(Z/qZ)∗≈Z/(q−1)Z (voir par exemple PERRIN)
Soitxun élément deHdistinct dee. ord(x) =pcarHest d’ordrep. Donc(ϕ(x))p= 1. On en arrive donc aux deux cas suivants :
1
I1er cas : sipne divise pas(q−1)
Ce cas est le plus facile, car ord(ϕ(x)) = 1oupetpne divise pas(q−1). Donc ord(ϕ(x)) = 1pour toutx∈H, doncϕest le morphisme trivial. Autrement dit, notre produit semi-direct est direct et
G≈ Z pZ× Z
qZ ≈ Z
(pq)Z par le lemme chinois I1er cas : sipdivise(q−1)
Les choses se compliquent un peu. On peut désormais construire des morphismes non-triviaux réalisant un "vrai"
produit semi-directN oϕH. Attention, cela dépend quand même de la structure du groupe et ne veut pas dire que tous les morphismes sont non-triviaux (pour preuve,Z/6Zexiste). Terminons alors la preuve du théorème en montrant que siϕetψsont non-triviaux, alors ils réalisent le même produit semi-direct.
kerϕest un sous-groupe deHetkerϕ6=H (carϕn’est pas trivial). Donckerϕ={e}, et doncϕ(H) =Gp, où Gpest l’unique sous-groupe deNd’ordrep. Le raisonnement s’applique aussi àψce qui nous donne le diagramme commutatif suivant :
H ϕ //
α
G
H
ψ
>>
αétant un isomorphisme, on a la bijection suivante : θ: NoϕH → NoψH
(n, h) 7→ (n, α(h))
Nous arrivons à la dernière partie de la preuve, où il reste à montrer queθest bien un morphisme : θ (n, h)·ϕ(n0, h0)
= θ (nϕ(h)(n0), hh0)
= (nϕ(h)(n0), α(hh0)) θ (n, h)
·ψθ (n0, h0)
= n, α(h)
·ψ n0, α(h0)
= (nψ(α(h))(n0), α(h)α(h0))
On a égalité, carϕ=ψ◦αetαest un morphisme.
Remarques :
On a donc conclut que deux groupes d’ordrepqsont isomorphes si ils ne sont pas isomorphes àZ/(pq)Z. Un tel résultat peut alors permettre d’affirmer sans autre forme de procès queD3etS3sont isomorphes, car ni l’un ni l’autre ne possède d’élément d’ordre 6.
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