Cours de Mathématiques
Sup MPSI PCSI PTSI TSI
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Document en cours de relecture
Alain Soyeur - François Capaces - Emmanuel Vieillard-Baron
Table des matières
1 Nombres complexes 19
1.1 Le corpsCdes nombres complexes . . . 20
1.1.1 Un peu de vocabulaire . . . 20
1.1.2 Construction deC . . . 20
1.1.3 Propriétés des opérations surC . . . 20
1.2 Parties réelle, imaginaire, Conjugaison . . . 22
1.2.1 Partie réelle, partie imaginaire d’un nombre complexe . . . 22
1.2.2 Conjugaison . . . 22
1.3 Représentation géométrique des complexes . . . 23
1.3.1 Représentation d’Argand . . . 23
1.3.2 Interprétation géométrique de quelques opérations . . . 23
1.4 Module d’un nombre complexe, inégalités triangulaires . . . 24
1.5 Nombres complexes de module1. . . 25
1.5.1 GroupeUdes nombres complexes de module1 . . . 25
1.5.2 Exponentielle imaginaire . . . 26
1.6 Argument, fonction exponentielle complexe . . . 31
1.6.1 Argument d’un nombre complexe . . . 31
1.6.2 Fonction exponentielle complexe . . . 32
1.7 Racinesn-ièmes de l’unité . . . 33
1.8 Équations du second degré . . . 35
1.8.1 Racines carrées . . . 35
1.8.2 Équations du second degré . . . 36
1.9 Nombres complexes et géométrie plane . . . 37
1.9.1 Distance . . . 37
1.9.2 Barycentre . . . 37
1.9.3 Angles . . . 38
1.10 Transformations remarquables du plan . . . 38
1.10.1 Translations, homothéties . . . 38
1.10.2 Rotation . . . 38
1.10.3 Similitudes directes . . . 39
1.11 Exercices . . . 42
1.11.1 Forme algébrique - Forme trigonométrique . . . 42
1.11.2 Polynômes, équations, racines de l’unité . . . 43
1.11.3 Application à la trigonométrie . . . 49
1.11.4 Application des nombres complexes à la géométrie . . . 53
1.11.5 Transformations du plan complexe . . . 60
2 Géométrie élémentaire du plan 62 2.1 Quelques notations et rappels . . . 62
2.1.1 Addition vectorielle . . . 63
2.1.2 Produit d’un vecteur et d’un réel . . . 63
2.1.3 Vecteurs colinéaires, unitaires . . . 64
2.1.4 Droites du plan . . . 64
2.2 Modes de repérage dans le plan . . . 64
2.2.1 Repères Cartésiens . . . 64
Équation cartésienne . . . 68
2.2.3 Repères polaires . . . 69
Équation polaire . . . 70
2.3 Produit scalaire . . . 70
2.3.1 Définition . . . 70
2.3.2 Interprétation en terme de projection . . . 70
2.3.3 Propriétés du produit scalaire . . . 71
2.3.4 Interprétation en termes de nombres complexes . . . 72
2.4 Déterminant . . . 72
2.4.1 Définition . . . 72
2.4.2 Interprétation en terme d’aire . . . 73
2.4.3 Propriétés du déterminant . . . 73
2.4.4 Interprétation en terme de nombres complexes . . . 74
2.4.5 Application du déterminant : résolution d’un système linéaire de Cramer de deux équations à deux inconnues . . . 74
2.5 Droites . . . 75
2.5.1 Préambule : Lignes de niveau . . . 75
2.5.2 Lignes de niveau deM 7→ ~u.−−→AM . . . 75
2.5.3 Lignes de niveau deM 7→ det³~u,−−→AM´. . . 76
2.5.4 Représentation paramétrique d’une droite . . . 76
2.5.5 Équation cartésienne d’une droite . . . 77
2.5.6 Droite définie par deux points distincts . . . 78
2.5.7 Droite définie par un point et un vecteur normal . . . 78
2.5.8 Distance d’un point à une droite . . . 78
2.5.9 Équation normale d’une droite . . . 79
2.5.10 Équation polaire d’une droite . . . 80
2.5.11 Intersection de deux droites, droites parallèles . . . 81
2.6 Cercles . . . 81
2.6.1 Définition . . . 81
2.6.2 Équation cartésienne d’un cercle . . . 81
2.6.3 Représentation paramétrique d’un cercle . . . 82
2.6.4 Équation polaire d’un cercle passant par l’origine d’un repère . . . 83
2.6.5 Caractérisation d’un cercle par l’équation−−→MA.−−→MB = 0 . . . 83
2.6.6 Intersection d’un cercle et d’une droite . . . 84
2.7 Exercices . . . 87
2.7.1 Produit scalaire et déterminant . . . 87
2.7.2 Coordonnées cartésiennes dans le plan . . . 88
2.7.3 Géométrie du triangle . . . 95
2.7.4 Cercle . . . 99
2.7.5 Coordonnées polaires . . . 109
2.7.6 Lignes de niveaux . . . 111
3 Géométrie élémentaire de l’espace 113 3.1 Préambule . . . 113
3.1.1 Combinaisons linéaires de vecteurs, droites et plans dans l’espace . . . 113
3.1.2 Vecteurs coplanaires, bases . . . 114
3.1.3 Orientation de l’espace, base orthonormale directe . . . 115
3.2 Mode de repérage dans l’espace . . . 116
3.2.1 Coordonnées cartésiennes . . . 116
Définitions . . . 116
Calcul algébrique avec les coordonnées . . . 116
Norme d’un vecteur, distance entre deux points dans un repère orthonormé . . . 117
3.2.2 Coordonnées cylindriques et sphériques . . . 118
3.3 Produit scalaire . . . 119
3.3.1 Définition . . . 119
3.3.2 Expression dans une base orthonormale . . . 120
3.3.3 Propriétés du produit scalaire . . . 120
3.4 Produit vectoriel . . . 121
3.4.1 Définition du produit vectoriel . . . 121
3.4.3 Propriétés du produit vectoriel . . . 122
Interlude . . . 122
Quelques exemples d’applications linéaires fort utiles pour ce qui vient... . . 123
3.4.4 Expression dans une base orthonormale directe . . . 123
3.5 Déterminant ou produit mixte . . . 124
3.5.1 Définition . . . 124
3.5.2 Expression dans une base orthonormale directe . . . 124
3.5.3 Propriétés du produit mixte . . . 125
3.5.4 Interprétation géométrique . . . 126
3.6 Plans dans l’espace . . . 127
3.6.1 Représentation paramétrique des plans . . . 127
3.6.2 Représentation cartésienne . . . 127
Interprétation géométrique de l’équation normale . . . 128
Position relative de deux plans . . . 129
3.6.3 Distance d’un point à un plan . . . 129
Deux méthodes de calcul de la distance d’un point à un plan . . . 130
3.7 Droites dans l’espace . . . 131
3.7.1 Représentation paramétrique . . . 131
3.7.2 Représentation cartésienne . . . 131
3.7.3 Distance d’un point à une droite . . . 132
3.7.4 Perpendiculaire commune à deux droites . . . 132
3.8 Sphères . . . 134
3.8.1 Généralités . . . 134
3.8.2 Sphères et plans . . . 135
3.8.3 Sphères et droite . . . 135
3.9 Exercices . . . 136
3.9.1 Produits scalaire, vectoriel et mixte . . . 136
3.9.2 Coordonnées cartésiennes dans l’espace . . . 138
3.9.3 Sphères . . . 147
4 Fonctions usuelles 151 4.1 Fonctions logarithmes, exponentielles et puissances . . . 152
4.1.1 Logarithme népérien . . . 152
4.1.2 Exponentielle népérienne . . . 154
4.1.3 Logarithme de base quelconque . . . 156
4.1.4 Exponentielle de basea . . . 157
4.1.5 Fonctions puissances . . . 158
4.1.6 Comparaison des fonctions logarithmes, puissances et exponentielles . . . 159
4.2 Fonctions circulaires réciproques . . . 160
4.2.1 Rappels succincts sur les fonctions trigonométriques . . . 160
4.2.2 Fonction Arcsinus . . . 162
4.2.3 Fonction Arccosinus . . . 163
4.2.4 Fonction Arctangente . . . 165
4.3 Fonctions hyperboliques . . . 166
4.3.1 Définitions et premières propriétés . . . 166
Sinus et Cosinus hyperboliques . . . 166
Tangente hyperbolique . . . 168
4.3.2 Formulaire de trigonométrie hyperbolique . . . 169
4.3.3 Fonctions hyperboliques inverses . . . 169
Fonction argument sinus hyperboliqueargsh . . . 169
Fonction Argument cosinus hyperboliqueargch. . . 170
Fonction Argument tangente hyperboliqueargth . . . 172
4.4 Deux exemples . . . 173
4.5 Fonction exponentielle complexe . . . 176
4.6 Exercices . . . 178
4.6.1 Fonctions exponentielles, logarithmes et puissances . . . 178
4.6.2 Fonctions circulaires . . . 184
5 Equations différentielles linéaires 198
5.1 Quelques rappels . . . 198
5.2 Deux caractérisations de la fonction exponentielle . . . 198
5.2.1 Caractérisation par une équation différentielle . . . 198
5.2.2 Caractérisation par une équation fonctionnelle . . . 199
5.3 Équation différentielle linéaire du premier ordre . . . 199
5.3.1 Vocabulaire . . . 199
5.3.2 Résolution de l’équation différentielle homogène normalisée . . . 200
5.3.3 Résolution de l’équation différentielle normalisée avec second membre . . . 202
5.3.4 Détermination de solutions particulières . . . 203
Superposition des solutions . . . 203
Trois cas particuliers . . . 203
Méthode de variation de la constante . . . 205
5.3.5 Cas général . . . 206
5.3.6 Méthode d’Euler . . . 209
5.4 Équations différentielles linéaires du second ordre . . . 209
5.4.1 Vocabulaire . . . 209
5.4.2 Résolution de l’équation différentielle homogène du second ordre dansC . . . 210
5.4.3 Résolution de l’équation différentielle homogène du second ordre dansR . . . 212
5.4.4 Équation différentielle du second ordre avec second membre . . . 213
5.5 Exercices . . . 217
5.5.1 Équations différentielles linéaires du premier ordre . . . 217
5.5.2 Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants . . . 221
5.5.3 Résolution par changement de fonction inconnue . . . 222
5.5.4 Résolution d’équations différentielles par changement de variable . . . 224
5.5.5 Application aux équations différentielles linéaires du premier ordre avec problèmes de raccord des solutions . . . 225
5.5.6 Divers . . . 227
6 Étude des courbes planes 230 6.1 Fonctions à valeurs dansR2 . . . 230
6.1.1 Définitions . . . 230
6.1.2 Dérivation du produit scalaire et du déterminant . . . 232
6.2 Arcs paramétrés . . . 233
6.2.1 Définitions . . . 233
6.2.2 Étude locale d’un arc paramétrée . . . 233
Étude d’un point stationnaire avec des outils de terminale, première période . . . 234
Étude d’un point stationnaire avec les développements limités, seconde période . . . 234
Branches infinies des courbes paramétrées . . . 237
6.2.3 Étude complète et tracé d’une courbe paramétrée . . . 240
6.3 Etude d’une courbe polaireρ = f (θ). . . 244
6.3.1 Notations . . . 244
6.3.2 Etude d’une courbeρ = f (θ). . . 245
6.3.3 La cardioïde . . . 246
6.3.4 La strophoïde droite . . . 247
6.4 Exercices . . . 248
6.4.1 Fonctions vectorielles . . . 248
6.4.2 Courbes en coordonnées cartésiennes . . . 248
6.4.3 Courbes polaires . . . 263
7 Coniques 271 7.1 Définitions et premières propriétés . . . 272
7.1.1 Définition monofocale . . . 272
7.1.2 Équation cartésienne d’une conique . . . 272
7.1.3 Équation polaire d’une conique . . . 273
7.2 Étude de la parabole :e = 1 . . . 273
7.3 Étude de l’ellipse :0 < e < 1. . . 275
7.4 Étude de l’hyperbole :1 < e . . . 278
7.5 Définition bifocale de l’ellipse et de l’hyperbole . . . 281
7.6 Courbes algébriques dans le plan . . . 282
7.7.1 En général . . . 286
7.7.2 Paraboles . . . 286
7.7.3 Ellipses . . . 288
7.7.4 Hyperboles . . . 291
7.7.5 Coniques et coordonnées polaires . . . 294
7.7.6 Courbes du second degré . . . 295
8 Nombres entiers naturels, ensembles finis, dénombrements 304 8.1 Ensemble des entiers naturels - Récurrence . . . 304
8.1.1 Ensemble des entiers naturels . . . 304
8.1.2 Principe de récurrence . . . 305
8.1.3 Suite définie par récurrence . . . 306
8.1.4 NotationsPetQ . . . 306
8.1.5 Suites arithmétiques et géométriques . . . 307
8.2 Ensembles finis . . . 308
8.2.1 Définitions . . . 308
8.2.2 Propriétés des cardinaux . . . 308
8.2.3 Applications entre ensembles finis . . . 310
8.3 Opérations sur les ensembles finis . . . 310
8.4 Dénombrement . . . 312
8.4.1 Nombre dep-listes d’un ensemble fini . . . 312
8.4.2 Nombre d’applications d’un ensemble fini dans un ensemble fini . . . 312
8.4.3 Arrangement . . . 313 8.4.4 Combinaison . . . 313 8.5 Exercices . . . 318 8.5.1 Principe de récurrence . . . 318 8.5.2 Sommes . . . 323 8.5.3 Produit . . . 325 8.5.4 Factorielles . . . 326
8.5.5 Coefficients binomiaux, calculs de somme . . . 326
8.5.6 Dénombrement . . . 332
9 CorpsRdes nombres réels 339 9.1 Introduction . . . 339
9.2 Le corps des réels . . . 340
9.3 Valeur absolue . . . 341
9.4 Majorant, minorant, borne supérieure . . . 342
9.5 Droite numérique achevéeR . . . 343
9.6 Intervalles deR . . . 344 9.7 Propriété d’Archimède . . . 344 9.8 Partie entière . . . 345 9.9 Densité deQdansR . . . 345 9.10 Exercices . . . 347 9.10.1 Inégalités . . . 347 9.10.2 Borne supérieure . . . 348
9.10.3 Rationnels, irrationnels, densité . . . 350
9.10.4 Partie entière . . . 353
10 Suites de nombres réels 354 10.1 Définitions . . . 354
10.1.1 Vocabulaire . . . 354
10.1.2 Opérations sur les suites . . . 354
10.2 Convergence d’une suite . . . 356
10.2.1 Suites convergentes, divergentes . . . 356
10.3 Opérations sur les limites . . . 358
10.3.1 Opérations algébriques sur les limites . . . 358
10.3.2 Limites et relations d’ordre . . . 360
10.3.3 Limites infinies . . . 361
10.4 Suite extraite d’une suite . . . 362
10.5 Suites monotones . . . 363
10.5.2 Suites adjacentes . . . 364
10.5.3 Approximation décimale des réels . . . 365
10.5.4 Segments emboités et théorème de Bolzano-Weierstrass . . . 366
10.6 Suites géométriques . . . 367
10.7 Relations de comparaison . . . 368
10.7.1 Introduction . . . 368
10.7.2 Suite dominée par une autre . . . 368
10.7.3 Suite négligeable devant une autre . . . 369
10.7.4 Suites équivalentes . . . 370
10.8 Comparaison des suites de référence . . . 371
10.9 Exercices . . . 374
10.9.1 Avec les définitions . . . 374
10.9.2 Convergence, divergence de suites . . . 376
10.9.3 Relations de comparaison . . . 380
10.9.4 Suites monotones et bornées . . . 384
10.9.5 Sommes géométriques . . . 389
10.9.6 Suites adjacentes . . . 390
10.9.7 Suites extraites . . . 394
10.9.8 Suites équivalentes . . . 395
10.9.9 Étude de suites données par une relation de récurrence . . . 407
10.9.10 Étude de suites définies implicitement . . . 410
11 Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles 414 11.1 Vocabulaire . . . 414 11.1.1 L’ensemble F(I, R) . . . 414 11.1.2 Fonctions bornées . . . 415 11.1.3 Monotonie . . . 416 11.1.4 Parité périodicité . . . 416 11.1.5 Fonctions Lipschitziennes . . . 417
11.2 Limite et continuité en un point . . . 418
11.2.1 Voisinage . . . 418
11.2.2 Notion de limite . . . 418
11.2.3 Opérations algébriques sur les limites . . . 421
11.2.4 Continuité . . . 423
11.2.5 Limite à gauche, à droite, continuité à gauche, à droite . . . 423
11.2.6 Limites et relation d’ordre . . . 424
11.2.7 Théorème de composition des limites . . . 425
11.2.8 Image d’une suite par une fonction . . . 426
11.2.9 Théorème de la limite monotone . . . 427
11.3 Étude locale d’une fonction . . . 429
11.3.1 Domination, prépondérance . . . 429
Définitions . . . 429
Propriétés . . . 429
Opérations sur les relations de comparaison . . . 430
Exemples fondamentaux . . . 430
11.3.2 Fonctions équivalentes . . . 430
Définitions . . . 430
Propriétés . . . 431
11.4 Propriétés globales des fonctions continues . . . 433
11.4.1 Définitions et propriétés de base . . . 433
Définitions . . . 433
Opérations sur les fonctions continues . . . 434
11.4.2 Les théorèmes fondamentaux . . . 434
Le théorème des valeurs intermédiaires . . . 434
Fonction continue sur un segment . . . 436
Fonctions uniformément continues . . . 438
Théorème de la bijection . . . 438
11.5 Exercices . . . 440
11.5.1 Avec les définitions . . . 440
11.5.2 Limites d’une fonction à valeurs réelles . . . 440
11.5.4 Continuité des fonctions numériques . . . 453
11.5.5 Théorème des valeurs intermédiaires . . . 457
11.5.6 Continuité sur un segment . . . 461
11.5.7 Fonctions Lipschitziennes . . . 462
11.5.8 Continuité uniforme . . . 464
11.5.9 Equations fonctionnelles . . . 465
11.5.10 Bijection continue . . . 467
12 Dérivation des fonctions à valeurs réelles 469 12.1 Dérivée en un point, fonction dérivée . . . 469
12.1.1 Définitions . . . 469 12.1.2 Interprétations de la dérivée . . . 470 Interprétation géométrique . . . 470 Interprétation cinématique . . . 471 Interprétation analytique . . . 471 12.1.3 Dérivabilité et continuité . . . 471 12.1.4 Fonction dérivée . . . 472
12.2 Opérations sur les dérivées . . . 472
12.3 Étude globale des fonctions dérivables . . . 475
12.3.1 Extremum d’une fonction dérivable . . . 475
12.3.2 Théorème de Rolle . . . 475
Interprétation graphique . . . 476
Interprétation cinématique . . . 476
12.3.3 Égalité des accroissements finis . . . 476
12.3.4 Inégalité des accroissements finis . . . 477
12.3.5 Application : Variations d’une fonction . . . 478
12.3.6 Condition suffisante de dérivabilité en un point . . . 478
12.4 Dérivées successives . . . 479 12.4.1 Dérivée seconde . . . 479 12.4.2 Dérivée d’ordren . . . 479 12.4.3 Fonctions de classeCn . . . 480 12.5 Fonctions convexes . . . 481 12.6 Exercices . . . 486 12.6.1 Dérivabilité . . . 486
12.6.2 Dérivées d’ordren, formule de Leibniz . . . 494
12.6.3 Applications de la dérivation . . . 498
12.6.4 Recherche d’extrémums . . . 501
12.6.5 Théorème de Rolle . . . 501
12.6.6 Théorème des accroissements finis . . . 506
12.6.7 Application aux équations différentielles linéaires du premier ordre avec problèmes de raccord des solutions . . . 508
12.6.8 Études de suites réelles . . . 509
12.6.9 Convexité . . . 512
12.6.10 Équations fonctionnelles . . . 515
13 Intégration sur un segment des fonctions à valeurs réelles 517 13.1 Fonctions en escaliers . . . 518
13.1.1 Subdivision d’un segment . . . 518
13.1.2 Fonctions en escaliers . . . 518
13.1.3 Intégrale d’une fonction en escaliers . . . 519
13.1.4 Propriétés de l’intégrale d’une fonction en escaliers . . . 520
13.2 Fonctions continues par morceaux . . . 521
13.2.1 Définition et propriétés . . . 521
13.2.2 Approximation des fonctions continues par morceaux par les fonctions en escalier . . . 522
13.2.3 Intégrale d’une fonction continue par morceaux . . . 523
13.2.4 Propriétés de l’intégrale . . . 524
13.2.5 Fonctions continues par morceaux sur un intervalle . . . 526
13.2.6 Nullité de l’intégrale d’une fonction continue . . . 526
13.2.7 Majorations fondamentales . . . 527
13.2.8 Valeur moyenne d’une fonction . . . 529
13.3 Primitive et intégrale d’une fonction continue . . . 529
13.4 Calcul de primitives et d’intégrales . . . 533
13.4.1 Intégration par parties . . . 533
13.4.2 Changement de variables . . . 533
13.4.3 Changement de variable affine . . . 534
13.4.4 Étude d’une fonction définie par une intégrale . . . 535
13.5 Formules de Taylor . . . 537
13.5.1 Formule de Taylor avec reste intégral . . . 537
13.5.2 Inégalité de Taylor-Lagrange . . . 538
13.5.3 Formule de Taylor-Young . . . 539
13.5.4 Utilisation des trois formules de Taylor . . . 540
13.6 Méthode des rectangles, Sommes de Riemann . . . 542
13.7 Exercices . . . 546
13.7.1 Calcul de primitives . . . 546
13.7.2 Calcul d’intégrales . . . 547
13.7.3 Linéarisation . . . 547
13.7.4 Intégration par parties . . . 548
13.7.5 Fractions rationnelles . . . 551
13.7.6 Changement de variable . . . 554
13.7.7 Calcul de primitives et d’intégrales - Techniques mélangées . . . 557
13.7.8 Propriétés de l’intégrale . . . 564
13.7.9 Majorations d’intégrales . . . 566
13.7.10 Limite de fonctions définies par une intégrale . . . 569
13.7.11 Théorème fondamental, étude de fonctions définies par une intégrale . . . 572
13.7.12 Suites dont le terme général est défini par une intégrale . . . 580
13.7.13 Algèbre linéaire et intégration . . . 589
13.7.14 Formules de Taylor . . . 590 13.7.15 Sommes de Riemann . . . 592 14 Développements limités 596 14.1 Développements limités . . . 596 14.1.1 Définitions . . . 596 14.1.2 DL fondamental . . . 596 14.1.3 Propriétés . . . 597 14.1.4 DL et régularité . . . 598
14.2 Développement limité des fonctions usuelles . . . 599
14.2.1 Utilisation de la formule de Taylor-Young . . . 599
14.3 Opérations sur les développements limités . . . 600
14.3.1 Combinaison linéaire et produit . . . 600
14.3.2 Composée . . . 600
14.3.3 Quotient . . . 601
14.3.4 Développement limité d’une primitive . . . 601
14.4 Exercices . . . 605
14.4.1 Calcul de développements limités . . . 605
14.4.2 Limites . . . 615
14.4.3 Applications à l’étude de fonctions . . . 622
14.4.4 Branches infinies . . . 627
14.4.5 Développements asymptotiques . . . 629
14.4.6 Applications à l’étude de suites . . . 631
14.4.7 Applications à l’étude locale des courbes paramétrées . . . 634
14.4.8 Application aux équations différentielles linéaires du premier ordre avec problèmes de raccord des solutions . . . 637
15 Propriétés métriques des arcs 639 15.0.9 Difféomorphismes . . . 639
15.0.10 Arcs paramétrés . . . 640
15.1 Propriétés métriques des courbes planes . . . 640
15.1.1 Longueur, abscisse curviligne d’un arc paramétré . . . 640
15.1.2 Courbure . . . 642
15.1.3 Calcul pratique de la courbure . . . 644
15.2.1 Calcul de longueur . . . 650
15.2.2 Calcul de courbure . . . 650
15.2.3 Développée, développante . . . 652
15.2.4 Exercices divers . . . 653
16 Suites et fonctions à valeurs complexes 655 16.1 Suites complexes . . . 655
16.2 Continuité des fonctions à valeurs complexes . . . 657
16.3 Dérivabilité des fonctions à valeurs complexes . . . 657
16.4 Intégration des fonctions à valeurs complexes . . . 658
16.5 Exercices . . . 661
16.5.1 Suites . . . 661
16.5.2 Dérivées . . . 661
16.5.3 Intégrales et primitives . . . 662
17 Notions sur les fonctions de deux variables réelles 664 17.1 Continuité des fonctions à deux variables . . . 664
17.2 Dérivées partielles, fonctionsC1 . . . 668
17.3 Différentielle . . . 672
17.4 Extremum d’une fonction à deux variables . . . 673
17.5 Dérivées partielles d’ordre2. . . 676
17.6 Exemples d’équations aux dérivées partielles . . . 678
17.7 Exercices . . . 683
17.7.1 Limite et continuité . . . 683
17.7.2 Dérivées partielles . . . 685
17.7.3 Fonctions de classeC1 . . . 687
17.7.4 Dérivées de fonctions composées . . . 690
17.7.5 Fonctions de classeC2 . . . 691
17.7.6 Extremum de fonctions de deux variables . . . 692
17.7.7 Équations aux dérivées partielles d’ordre1. . . 694
17.7.8 Équations aux dérivées partielles d’ordre2. . . 696
17.7.9 Pour aller plus loin . . . 697
18 Intégrales multiples 699 18.1 Intégrales doubles . . . 699
18.1.1 Le théorème de Fubini . . . 700
18.1.2 Changement de variables . . . 701
18.1.3 Aire d’un domaine plan . . . 703
18.2 Champs de vecteurs dans le plan et dans l’espace . . . 703
18.3 Exercices . . . 707
18.3.1 Calculs élémentaires . . . 707
18.3.2 Changement de variables . . . 709
18.3.3 Intégration en coordonnées polaires . . . 711
18.3.4 Application du théorème de Fubini . . . 715
18.3.5 Green-Riemann . . . 715
18.3.6 Centres de gravité . . . 716
19 Structures algébriques 717 19.1 Groupe . . . 717
19.1.1 Loi de composition interne . . . 717
19.1.2 Groupe . . . 719 19.1.3 Morphisme de groupes . . . 722 19.2 Anneau, corps . . . 724 19.2.1 Structure d’anneau . . . 724 19.2.2 Structure de corps . . . 726 19.3 Exercices . . . 727
19.3.1 Loi de composition interne . . . 727
19.3.2 Groupes . . . 728
19.3.3 Sous-groupe . . . 735
19.3.4 Morphisme de groupe . . . 736
19.3.6 Corps . . . 746
20 Arithmétique 748 20.1 Relation de divisibilité, division euclidienne . . . 748
20.1.1 Relation de divisibilité . . . 748
20.1.2 Congruences . . . 749
20.1.3 Division euclidienne . . . 750
20.2 PGCD, théorèmes d’Euclide et de Bézout . . . 751
20.3 Nombres premiers . . . 756
20.3.1 Nombres premiers . . . 756
20.3.2 Décomposition en facteurs premiers . . . 757
20.4 Exercices . . . 759 20.4.1 Divisibilité . . . 759 20.4.2 Bezout, PGCD, PPCM . . . 759 20.4.3 Nombres premiers . . . 764 20.4.4 Divers . . . 766 21 Polynômes 767 21.1 Polynômes à une indéterminée . . . 767
21.1.1 Définitions . . . 767
21.1.2 Degré d’un polynôme . . . 769
21.1.3 Valuation d’un polynôme . . . 770
21.1.4 Composition de polynômes . . . 771
21.1.5 Division euclidienne . . . 771
21.1.6 Division selon les puissances croissantes . . . 772
21.2 Fonctions polynomiales . . . 773
21.2.1 Fonctions polynomiales . . . 773
21.2.2 Racines d’un polynôme . . . 773
21.2.3 Schéma de Horner . . . 775
21.2.4 Racines multiples . . . 775
21.3 Polynômes dérivés . . . 776
21.3.1 Définitions et propriétés de base . . . 776
21.3.2 Dérivées successives . . . 776
21.4 Polynômes scindés . . . 778
21.4.1 Définition . . . 778
21.4.2 Factorisation dansC[X]. . . 778
21.4.3 Interlude : polynômes conjugués . . . 779
21.4.4 Factorisation dansR[X]. . . 780
21.4.5 Polynômes irréductibles . . . 780
21.4.6 Relations coefficients-racines . . . 781
21.5 Arithmétique dansK[X] . . . 782
21.5.1 Diviseurs communs . . . 782
21.5.2 PGCD, théorèmes d’Euclide et de Bezout . . . 782
21.5.3 Polynômes premiers entre eux . . . 783
21.5.4 PPCM . . . 784
21.5.5 Polynômes irréductibles . . . 785
21.6 Exercices . . . 787
21.6.1 L’anneau des polynômes . . . 787
21.6.2 Dérivation, formule de Taylor . . . 789
21.6.3 Arithmétique des polynômes . . . 790
21.6.4 Division euclidienne . . . 794
21.6.5 Racines d’un polynômes . . . 797
21.6.6 Factorisations de polynômes . . . 806
22 Fractions rationnelles 812
22.1 Fractions rationnelles . . . 812
22.1.1 Définition . . . 812
22.1.2 Égalité de deux fractions . . . 812
22.1.3 Polynômes . . . 812
22.1.4 Opérations sur les fractions . . . 813
22.1.5 Degré d’une fraction . . . 813
22.2 Décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle . . . 814
22.2.1 Décomposition en éléments simples dansC(X) . . . 815
Recherche des coefficients associés aux pôles multiples . . . 816
22.2.2 Décomposition en éléments simples dansR(X) . . . 817
22.2.3 Moralité . . . 820 22.3 Exercices . . . 821 22.3.1 Fractions rationnelles . . . 821 Décomposition surC . . . 821 Décomposition surR . . . 825 Calcul de primitives . . . 828 Dérivée logarithmique . . . 834
Sicelides Musae, Paulo Majora Canamus . . . 835
23 Espaces vectoriels 844 23.1 Espace vectoriel . . . 844
23.1.1 Définitions . . . 844
23.1.2 Espaces produits . . . 845
23.1.3 Espaces de suites et de fonctions . . . 846
23.1.4 Règles de calcul dans un espace vectoriel . . . 847
23.2 Sous-espace vectoriel . . . 848
23.2.1 Définitions . . . 848
23.2.2 Intersection de sous-espaces vectoriels . . . 851
23.3 Somme de sous-espaces vectoriels . . . 853
23.3.1 Définitions . . . 853
23.3.2 Somme directe . . . 854
23.3.3 Sous-espaces supplémentaires . . . 855
23.4 Applications linéaires . . . 857
23.4.1 Définitions . . . 857
23.4.2 Noyau, image d’une application linéaire . . . 858
23.4.3 Étude deL (E, F) . . . 859
23.4.4 Étude deL (E). . . 859
23.4.5 Étude deGL(E) . . . 860
23.5 Équations linéaires . . . 860
23.5.1 Définitions . . . 860
23.5.2 Structure de l’ensemble des solutions . . . 861
23.6 Projecteurs et symétries . . . 861 23.6.1 Projecteurs . . . 861 23.6.2 Symétries . . . 863 23.7 Exercices . . . 866 23.7.1 Espace vectoriel . . . 866 23.7.2 Sous-espace vectoriel . . . 866
23.7.3 Opérations sur les sous-espaces vectoriels . . . 869
23.7.4 Sous-espace vectoriel engendré par une partie . . . 871
23.7.5 Sous-espaces vectoriels supplémentaires - Somme directe . . . 874
23.7.6 Applications linéaires . . . 878
23.7.7 Image et noyau d’un endomorphisme . . . 879
23.7.8 Endomorphismes inversibles . . . 888
23.7.9 Transformations vectorielles . . . 891
24 Dimension des espaces vectoriels 897 24.1 Familles de vecteurs . . . 897 24.1.1 Combinaisons linéaires . . . 897 24.1.2 Familles libres . . . 898 24.1.3 Familles génératrices . . . 899 24.1.4 Bases . . . 899
24.2 Dimension d’un espace vectoriel . . . 901
24.2.1 Espace vectoriel de dimension finie . . . 901
24.2.2 Dimension . . . 902
24.3 Dimension d’un sous-espace vectoriel . . . 905
24.3.1 Dimension d’un sous-espace vectoriel . . . 905
24.3.2 Somme directe . . . 906
24.4 Applications linéaires en dimension finie . . . 908
24.4.1 Bases et applications linéaires . . . 908
24.4.2 Dimension et isomorphisme . . . 910
24.4.3 Rang . . . 910
24.5 Récurrences linéaires . . . 913
24.5.1 Structure de l’ensemble des solutions . . . 913
24.5.2 Suites géométriques solutions . . . 913
24.6 Polynômes . . . 914
24.7 Exercices . . . 916
24.7.1 Famille libre, Famille liée, Famille génératrice . . . 916
24.7.2 Sous-espace vectoriel engendré par une famille finie . . . 920
24.7.3 Bases et dimension d’un espace vectoriel . . . 921
24.7.4 Sous-espace vectoriel de dimension finie . . . 924
24.7.5 Hyperplan . . . 927
24.7.6 Sous-espaces supplémentaires . . . 928
24.7.7 Rang d’une famille de vecteurs . . . 931
24.7.8 Applications linéaires en dimension finie . . . 931
24.7.9 Rang d’une application linéaire . . . 938
24.7.10 Formes linéaires en dimension finie . . . 941
24.7.11 Récurrences linéaires . . . 942
24.7.12 L’espace vectoriel des polynômes . . . 943
24.7.13 Endomorphismes opérant sur les polynômes . . . 945
25 Calcul matriciel 949 25.1 Matrice à coefficients dansK . . . 950
25.1.1 Définitions . . . 950
25.1.2 L’espace vectoriel Mq,p(K) . . . 951
25.1.3 Produit matriciel . . . 952
25.1.4 Transposition . . . 953
25.1.5 Avec Maple . . . 954
25.2 Matrices d’une famille de vecteurs, d’une application linéaire . . . 955
25.2.1 Matrice d’une famille de vecteurs relativement à une base . . . 955
25.2.2 Matrice d’une application linéaire relativement à deux bases . . . 956
25.3 Matrices carrées . . . 958
25.3.1 Définitions . . . 958
25.3.2 Éléments inversibles dans Mn(K), groupeGLn(K) . . . 959
25.3.3 Trace d’une matrice . . . 962
25.3.4 Matrices carrées remarquables . . . 963
Matrices scalaires, diagonales, triangulaires . . . 963
Matrices symétriques, antisymétriques . . . 964
Matrices de changement de base . . . 965
Matrices de transvection et de dilatation, opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d’une matrice . . . 966
25.4 Changement de base . . . 967
25.4.1 Pour un vecteur . . . 967
25.4.2 Pour une application linéaire . . . 967
25.4.3 Pour un endomorphisme . . . 967
25.4.4 Pour une forme linéaire . . . 968
25.5 Rang d’une matrice . . . 968
25.5.1 Définition et propriétés . . . 968
25.5.2 Calcul pratique du rang d’une matrice . . . 970
25.6 Déterminant d’une matrice carrée de taille2ou3. . . 972
25.6.1 Définitions . . . 973
25.6.2 Propriétés . . . 973
25.7 Déterminants d’ordre2ou3d’une famille de vecteurs . . . 973
25.7.1 Définition . . . 973
25.7.2 Propriétés . . . 974
25.7.3 Formule de changement de base . . . 975
25.8 Déterminant d’un endomorphisme . . . 976
25.8.1 Définition . . . 976
25.8.2 Propriétés . . . 976
25.9 Méthodes de calcul du déterminant . . . 976
25.9.1 Opération sur les lignes et les colonnes . . . 976
25.9.2 Développement d’un déterminant suivant une rangée . . . 977
25.10Applications . . . 979
25.10.1 Colinéarité de deux vecteurs du plan . . . 979
25.10.2 Inversion de matrice . . . 979
25.10.3 Orientation du plan et de l’espace . . . 980
25.11Systèmes linéaires . . . 980
25.11.1 Définitions . . . 980
25.11.2 Interprétations . . . 980
Interprétation vectorielle . . . 980
Interprétation matricielle . . . 981
Interprétation en termes de formes linéaires . . . 981
Interprétation en termes d’applications linéaires . . . 981
25.11.3 Structure de l’ensemble des solutions . . . 981
25.11.4 Cas Particulier : Les systèmes de Cramer . . . 982
25.11.5 Méthode du Pivot de Gauss . . . 982
25.12Exercices . . . 984
25.12.1 Opérations sur les matrices . . . 984
25.12.2 Trace d’une matrice . . . 988
25.12.3 Rang d’une matrice . . . 989
25.12.4 Calcul de déterminants de taille2ou3 . . . 992
25.12.5 Inversion de matrice . . . 996
25.12.6 Calcul des puissances d’une matrice . . . 1003
25.12.7 Représentation matricielle d’une application linéaire . . . 1008
25.12.8 Structure formée de matrices . . . 1013
25.12.9 Changement de base . . . 1019
25.12.10Matrices semblables, équivalentes . . . 1026
25.12.11Systèmes linéaires . . . 1028
26 Groupe symétrique, déterminant 1033 26.1 Le groupe symétrique . . . 1033
26.1.1 Signature d’une permutation . . . 1035
26.2 Construction du déterminant . . . 1038
26.2.1 Formesn-linéaires alternées . . . 1038
26.2.2 Déterminant denvecteurs dans une base . . . 1040
26.2.3 Déterminant d’un endomorphisme . . . 1042
26.2.4 Déterminant d’une matrice carrée . . . 1043
26.3 Exercices . . . 1051
26.3.1 Groupe symétrique . . . 1051
26.3.2 Déterminants . . . 1053
27 Produit scalaire, groupe orthogonal 1062
27.1 Définitions et règles de calcul . . . 1062
27.1.1 Produit scalaire . . . 1062
27.1.2 Norme . . . 1063
27.2 Orthogonalité . . . 1065
27.3 Espaces euclidiens . . . 1066
27.3.1 Bases orthogonales, orthonormales . . . 1066
27.3.2 Procédé d’orthonormalisation de Schmidt . . . 1067
27.3.3 Conséquences . . . 1069
27.4 Projecteurs et symétries orthogonaux . . . 1070
27.4.1 Projecteurs orthogonaux . . . 1070
27.4.2 Symétries orthogonales, réflexions . . . 1071
27.5 Endomorphismes orthogonaux, matrices orthogonales . . . 1072
27.5.1 Endomorphismes orthogonaux . . . 1072
27.5.2 Matrices orthogonales . . . 1073
27.6 Etude du groupe orthogonal . . . 1074
27.6.1 Etude du groupe orthogonal en dimension2. . . 1075
27.6.2 Etude du groupe orthogonal en dimension 3 . . . 1078
Produit mixte, produit vectoriel . . . 1078
Sous-espaces stables . . . 1079
Isométries directes . . . 1080
27.7 Exercices . . . 1084
27.7.1 Espaces préhilbertiens réels . . . 1084
27.7.2 Projections orthogonales . . . 1090
27.7.3 Symétrie orthogonales . . . 1092
27.7.4 Groupe orthogonal . . . 1093
27.7.5 Produit vectoriel . . . 1093
27.7.6 Étude d’endomorphismes orthogonaux . . . 1094
28 Géométrie affine 1098 28.1 Sous-espaces affines . . . 1098
28.1.1 Translations . . . 1098
28.1.2 Sous espaces affines . . . 1099
28.1.3 Barycentres . . . 1101 28.1.4 Repère cartésien . . . 1103 28.2 Applications affines . . . 1104 28.2.1 Définitions et propriétés . . . 1104 28.2.2 Translations affines . . . 1105 28.2.3 Homothéties . . . 1106
28.2.4 Projections et symétries affines . . . 1106
28.2.5 Points fixes d’une homothétie affine . . . 1107
28.3 Isométries affines . . . 1108
28.3.1 Définitions et propriétés . . . 1108
28.3.2 Projections et symétries orthogonales, réflexions . . . 1109
28.3.3 Déplacements du plan . . . 1110 28.3.4 Déplacements de l’espace . . . 1110 28.4 Similitudes . . . 1112 28.5 Exercices . . . 1114 28.5.1 Sous-espaces affines . . . 1114 28.5.2 Applications affines . . . 1114 28.5.3 Isométries affines . . . 1119 28.6 Similitudes . . . 1123 A Techniques de démonstration 1126 A.1 Logique des propositions . . . 1126
A.1.1 L’implication . . . 1127
A.2 Ensembles . . . 1129
A.3 Quantificateurs . . . 1130
A.4 Plans de démonstration . . . 1131
A.4.1 Plans de preuves ensemblistes . . . 1134
Applications . . . 1137
Composée d’applications . . . 1138
Applications injectives, surjectives . . . 1138
Bijections . . . 1142
Image directe, image réciproque . . . 1143
A.4.3 Familles . . . 1146
A.5 Fautes de raisonnements classiques . . . 1147
A.5.1 Bien analyser les notations . . . 1147
A.5.2 Plan de démonstration incorrect . . . 1149
A.5.3 Fautes de logique . . . 1149
A.5.4 Utilisation d’objets non-définis . . . 1151
A.5.5 Ordre des objets introduits . . . 1152
B Techniques d’ algèbre 1155 B.1 Trigonométrie . . . 1155
B.1.1 Lecture du cercle trigonométrique . . . 1155
B.1.2 Les quatre formules fondamentales de la trigonométrie . . . 1156
B.1.3 Comment retrouver les autres . . . 1157
B.2 Calculs de sommes . . . 1158
B.2.1 Comprendre les notations . . . 1158
B.2.2 Changement d’indices, télescopage . . . 1159
B.2.3 Sommes doubles . . . 1162
B.3 Trigonométrie et nombres complexes . . . 1164
B.3.1 Transformation decos(nθ). . . 1164
B.3.2 Problèmes de linéarisation . . . 1165
B.3.3 Utilisation des sommes géométriques complexes . . . 1167
B.4 Calculs sur des polynômes . . . 1168
B.4.1 Les trinômes . . . 1168
Discriminant réduit . . . 1168
Relations entre coefficients et racines . . . 1168
Extrémum d’un trinôme . . . 1169
B.4.2 Développement de polynômes . . . 1170
B.4.3 Factorisation de polynômes . . . 1172
Factoriser à partir d’une racine connue . . . 1173
Trouver toutes les racines rationnelles . . . 1174
B.4.4 Polynômes particuliers . . . 1175
Polynômes bicarrés . . . 1175
Racines de l’unité . . . 1176
Polynômes réciproques . . . 1176
B.4.5 Relations entre coefficients et racines . . . 1177
B.5 Calculs en algèbre linéaire . . . 1179
B.5.1 Symbole de Kronecker . . . 1179
B.5.2 Utilisation des matricesEpq en calcul matriciel . . . 1180
B.5.3 Calcul de déterminants . . . 1181
Faire apparaître des zéros . . . 1181
Factorisation . . . 1182 Techniques polynomiales . . . 1183 Dérivation . . . 1186 Matrices . . . 1187 Polynôme caractéristique . . . 1188 C Techniques d’ analyse 1189 C.1 Majorer-minorer . . . 1189
C.1.1 Quelques inégalités classiques . . . 1189
Majorations trigonométriques . . . 1189
Majoration de produits . . . 1190
Étude de fonctions . . . 1190
Procéder par inégalités équivalentes . . . 1190
Utilisation de la convexité . . . 1191
C.1.2 Techniques de majoration . . . 1192
Bonne utilisation des valeurs absolues . . . 1193
C.1.3 Erreurs de majoration fréquentes . . . 1194
C.1.4 Suivre son intuition avant de majorer . . . 1195
C.2 Dérivation . . . 1197
C.2.1 Dérivées particulières . . . 1198
Homographies . . . 1198
Exponentielle en facteur . . . 1198
C.2.2 Règle de la chaîne . . . 1199
C.3 Manipulation de bornes supérieures . . . 1201
C.4 Équivalents . . . 1204
C.4.1 Qu’est-ce qu’un équivalent simple ? . . . 1204
C.4.2 Suppression des sommes . . . 1206
L’une des suites est négligeable devant l’autre . . . 1206
Les deux suites ont le même ordre de grandeur . . . 1206
C.4.3 Utilisation des propriétés fonctionnelles . . . 1207
Logarithmes . . . 1207
Exponentielles . . . 1208
Fonctions puissances . . . 1209
Quantités conjuguées . . . 1209
C.4.4 Mise sous forme exponentielle . . . 1209
C.4.5 Utilisation des développements limités . . . 1210
Prévoir les ordres des DL . . . 1210
DL et équivalents . . . 1211
Recherche de limites . . . 1212
C.4.6 Étude locale d’une fonction . . . 1213
C.4.7 Développements asymptotiques . . . 1214
C.4.8 Exercices . . . 1216
C.5 Étude de suites récurrentes, vitesse de convergence . . . 1219
C.5.1 Étude d’une suite récurrente . . . 1219
C.5.2 Vitesse de convergence d’une suite . . . 1222
C.6 Fractions rationnelles, primitives . . . 1225
C.6.1 Décomposition pratique dansC . . . 1226
Calcul de la partie entière . . . 1226
Calcul du coefficient associé à une pôle simple . . . 1226
Calcul des coefficients associés à un pôle multiple . . . 1227
C.6.2 Décomposition pratique dansR . . . 1227
C.6.3 Primitives de fractions rationnelles . . . 1229
Primitives des éléments simples de première espèce . . . 1229
Primitive des éléments simples de seconde espèce . . . 1229
C.6.4 PrimitivesRF(cos x, sin x) dx, règles de Bioche . . . 1230
C.6.5 Primitives Z F(sh x, ch x) dx . . . 1233
C.6.6 Primitives avec des racines . . . 1233
Primitives Z F Ã x,n s ax + b cx + d ! dx. . . 1233 Primitives Z F(x,pax2+ bx + c) dx . . . 1234 C.6.7 Z f (xα)dx x . . . 1235
C.6.8 Intégration par parties . . . 1236
C.6.9 Exercices . . . 1237
D Conseils 1243 D.1 Conseils d’étude . . . 1243
D.1.1 Attitude pendant le cours . . . 1243
D.1.2 Bien comprendre les définitions et les hypothèses de théorèmes . . . 1243
D.1.3 Faire une synthèse des points importants d’une démonstration . . . 1244
E Formulaires 1247
E.1 Trigonométrie . . . 1247
E.2 Trigonométrie hyperbolique . . . 1248
E.3 Dérivées des fonctions usuelles . . . 1249
E.4 Primitives des fonctions usuelles . . . 1251
E.5 Coniques . . . 1252
E.5.1 Définition et équation générale d’une conique C . . . 1252
E.5.2 Parabole P (e = 1) . . . 1252
E.5.3 Ellipse E (0 < e < 1) . . . 1253
E.5.4 Hyperbole H (e> 1) . . . 1253
E.6 Limites usuelles . . . 1253
E.7 Équivalents usuels et croissances comparées . . . 1254
E.8 Développements limités . . . 1255
Chapitre
1
Nombres complexes
C’est plus Zamuzant en Z. Publicité Peugeot -20e siècle.
Pour bien aborder ce chapitre
En1545, le mathématicien Gerolamo Cardano publie une formule donnant une solution par radicaux de l’équation1 x3= ax + b: x = 3 v u u t b 2+ sµ b 2 ¶2 −³ a 3 ´3 + 3 v u u t b 2− sµ b 2 ¶2 −³ a 3 ´3 .
Cette formule avait été découverte par les mathématiciens del Ferro et Tartaglia. Ce dernier l’avait communiqué à Cardano en lui demandant de s’engager à ne pas la publier, promesse que Cardano ne tint pas.
Bombelli, en1572, applique la formule à l’équationx3= 9x + 2et il obtient :
x = 3
q
1 +p−26 + 3 q
1 −p−26.
Il relève par ailleurs quex = 4etx = −2 ±p3sont les3solutions de l’équation. Il se retrouve donc face au problème suivant : alors que les solutions de l’équation sont toutes réelles, il faut écrire des racines de nombres négatifs pour les calculer. Bombelli ne se démonte pas et il invente alors des règles de calcul permettant de manipuler des quantités de la formea +p−bavecb > 0qui n’ont pas de sens. Il écrit par exemplep−1 ×p−1 = −1. Ces nouveaux nombres ne sont pas compris tout de suite et leur manipulation conduit à des absurdités. Au17e siècle, René Descartes propose, tant leur existence est contestable, de les appeler nombres imaginaires2. Il faut attendre la fin du18e siècle et les travaux de Caspar Wessel pour que la construction des nombres complexes soit bien formalisée et pour comprendre leur interprétation géométrique. Ses travaux passent malheureusement complètement inaperçus. Quelques années plus tard, Carl Friedrich Gauss redécouvre et popularise les travaux de Wessel. Il démontre en particulier le théorème fondamental de l’algèbre (voir théorème 21.24 page 778) qui dit qu’un polynôme à coefficients complexes de degrén admetn racines comptées avec leur multiplicité.
Ce chapitre reprend et approfondit les notions apprises au lycée quant aux nombres complexes. On verra en particulier comment on peut les utiliser pour trouver les racines de certains polynômes à coefficients réels ou complexes, comment ils servent à résoudre des problèmes de géométrie plane ainsi que des problèmes d’analyse réelle comme celui de la primitivation de produits de fonctions trigonométriques ou la résolution d’équations trigonométriques. Ce chapitre servira aussi d’introduction à la notion de structure algébrique et plus particulièrement à celle de groupe et celle de corps. Les groupes sont des objets fondamentaux et vous verrez qu’ils sont omniprésents dans le cours de mathématiques durant vos deux années en classe préparatoire.
Les fonctions trigonométriques seront utilisées en permanence pendant ces deux années et ce dès ce premier chapitre. Il est indispensable d’avoir une connaissance parfaite du paragraphe B.1 page 1155 de l’annexe B.
1. Les nombres complexes ont été découvert en étudiant des équations polynomiales de degré3et non pas de degré2car les mathématiciens du16e
siècle considèrent que des quantités commex2+ 1sont strictement positives et que cela n’a pas de sens de chercher leurs racines
2. Les nombres négatifs ne sont d’ailleurs alors guère mieux compris. Dans son dictionnaire raisonné des sciences, des arts et des métiers, d’Alembert en parle comme d’une idée dangereuse : « Il faut avouer qu’il n’est pas facile de fixer l’idée des quantités négatives, & que quelques habiles gens ont même contribué à l’embrouiller par les notions peu exactes qu’ils en ont données. Dire que la quantité négative est au-dessous du rien, c’est avancer une chose qui ne se peut pas concevoir. Ceux qui prétendent que1n’est pas comparable à−1, & que le rapport entre1&−1est différent du rapport entre
− − 1&1, sont dans une double erreur : (...) Il n’y a donc point réellement & absolument de quantité négative isolée :−3pris abstraitement ne présente à l’esprit aucune idée. »
Vous aurez aussi souvent à manipuler des sommes ou des produits (symbolisés respectivement par les symbolesPetΠ). Il sera utile pour vous familiariser avec ces calculs de lire le paragraphe B.2 page 1158, toujours dans l’annexe B. Vous y trouverez les définitions de ces symboles ainsi que des méthodes et des formules classiques : télescopage, formule du binôme, sommes géométriques, arithmétiques, etc ... Ces notions seront re-précisées au chapitre 8.
1.1
Le corps
C
des nombres complexes
1.1.1
Un peu de vocabulaire
DÉFINITION1.1 ♥ Produit cartésien
On appelle produit cartésien de deux ensemblesAetBl’ensemble, notéA × B, des couples(a, b)oùa ∈ Aetb ∈ B.
✎ Notation 1.1 On noteraA2le produit cartésien
A × A.
Exemple 1.2 R2est l’ensemble des couples de réels. DÉFINITION1.2 ♥ Loi de composition interne
SoitEun ensemble. On appelle loi de composition interne une application deE × EdansE: ϕ :
½
E × E −→ E (a, b) 7−→ a ⋆ b
Exemple 1.3 SiE = N, la multiplication ou l’addition des entiers forme une loi de composition interne. Ce n’est pas le cas de la soustraction car la différence de deux entiers positifs n’est pas toujours un entier positif.
1.1.2
Construction de
C
DÉFINITION1.3 Corps des nombres complexes
Nous appellerons corps des nombres complexes que nous noteronsC, l’ensembleR2muni des deux lois internes⊕et⊗ définies de la façon suivante. Pour tous couples(a, b) ,¡a′, b′¢∈ R2, on pose
(a, b) ⊕ (a′, b′) = (a + a′, b + b′) (a, b) ⊗ (a′, b′) = (aa′− bb′, ab′+ a′b)
Remarque 1.1 Nous expliciterons et justifierons l’utilisation du mot corps un peu plus loin. – Pour simplifier les écritures, nous noterons+et×(ou·) les lois de composition interne⊕et⊗.
– Pour tout nombre réela, nous conviendrons d’identifier le nombre complexe(a, 0)avec le réela. Nous noterons par ailleursi le nombre complexe(0, 1). En appliquant cette convention et en utilisant la définition de l’addition et de la multiplication dansC, on peut écrire pour tout nombre complexe(a, b),
(a, b) = a + i b.
En effet,(a, b) = (a,0) + (0,b). Par ailleurs,(0, b) = (b,0) × (0,1) = i .bdonc(a, b) = a + i .bou plus simplementa + i b.
PROPOSITION1.1
Le nombre complexei précédemment introduit vérifie i2= −1 .
Démonstration On ai2= (0,1) × (0,1) = (−1,0) = −(1,0) = −1.
1.1.3
Propriétés des opérations sur
C
Avec les conventions d’écriture précédentes, l’addition et la multiplication définies surR2deviennent pour tous complexes a + i beta′+ i b′,
(a + i b) + (a′+ i b′) = (a + a′) + i (b + b′) (a + i b)(a′+ i b′) = (aa′− bb′) + i (ab′+ ba′)
PROPOSITION1.2 Propriétés de l’addition dansC L’addition dansC
– est associative :∀z, z′, z′′∈ C z + (z′+ z′′) = (z + z′) + z′′; – est commutative :∀z, z′∈ C z + z′= z′+ z
– possède un élément neutre0:∀z ∈ C z + 0 = z;
– de plus, tout nombre complexez = a + i bpossède un opposé,−z = −a − i b. On résume ces quatre propriétés en disant que(C, +)est un groupe commutatif.
Démonstration Vérifications laissées en exercice au lecteur.
Remarque 1.2 Expliquons brièvement ce qu’est un groupe. Cette notion sera développée et étudiée dans le chapitre 19. Considérons un ensembleGet une application⋆qui à un couple¡x, y¢d’éléments deGassocie un élément notéx⋆ y deG. Une telle application est appelée une loi de composition interne surG. On dit que(G, ⋆)est un groupe si⋆est une loi de composition interne surGqui vérifie les propriétés suivantes :
1 la loi⋆est associative :∀x, y, z ∈ G, x⋆¡y⋆ z¢=¡x⋆ y¢⋆ z. 2 la loi⋆admet un élément neutree ∈ G:∀x ∈ G, x⋆ e = e ⋆ x = x.
3 tout élémentxdeGadmet un symétriquey:∀x ∈ G, ∃y ∈ G : x⋆ y = y ⋆ x = e.
Si de plus la loi⋆est commutative, c’est-à-dire si elle vérifie :∀x, y ∈ G, x⋆ y = y ⋆ x, alors on dit que le groupe est
abélien (ou commutatif ).
Il est clair que l’addition dansCvérifie ces propriétés. C’est aussi le cas de la multiplication dansC∗3: PROPOSITION1.3 Propriétés de la multiplication dansC
La multiplication dansC
– est associative :∀z, z′, z′′∈ C z(z′z′′) = (zz′)z′′ – est commutative :∀z, z′∈ C zz′= z′z
– possède un élément neutre1:∀z ∈ C z × 1 = z
De plus, tout nombre complexe non nulz = a + i bpossède un inversez−1vérifiantz × z−1= 1donné par
z−1= a
a2+ b2− i b a2+ b2
On résume ces quatre propriétés en disant que(C∗, ×)est un groupe commutatif.
Démonstration Prouvons l’existence d’un inverse. Soitz = a + i bun complexe non nul. Remarquons que(a + i b)(a − i b) = a2+ b2. Le complexezétant non nul,a2+ b26= 04. En divisant les deux membres de l’égalité para2+ b2, on trouve
(a + i b) × a − i b a2+ b2= 1 ce qui prouve quezpossède un inversez−1qui s’écrit a − i b
a2+ b2. De plus, la multiplication est distributive par rapport à l’addition :
∀z, z′, z′′∈ C, z¡z′+ z′′¢= zz′+ zz′′ et ¡z + z′¢z′′= zz′′+ z′z′′.
On résume les deux propositions précédentes en disant que(C, +,×)est un corps. Nous définirons ce terme dans le chapitre 19.
Une conséquence importante est que les formules fondamentales suivantes sont valables dansC:
(a + b)n=Pnk=0¡nk ¢ akbn−k Formule du binôme an− bn= (a − b)Pn−1k=0an−1−kbk Formule de factorisation Pn k=0q k = 1 − qn+1 1 − q siq 6= 1 n + 1 siq = 1 Somme géométrique
Les deux premières seront démontrées dans le théorème 19.17 page 725 et la troisième dans la proposition 8.7 page 307. 3.C∗représente l’ensemble des nombres complexes privé de0
1.2
Parties réelle, imaginaire, Conjugaison
1.2.1
Partie réelle, partie imaginaire d’un nombre complexe
PROPOSITION1.4
Soienta,a′,betb′des réels. On a : • a + i b = 0 ⇔ a = 0etb = 0. • a + i b = a′+ i b′⇔ a = a′etb = b′.
Pour tout nombre complexezil existe donc un unique couple(a, b)de réels tels quez = a + i b. – a + i best la forme algébrique dez.
– aest la partie réelle dez. On la noteRe(z) – best la partie imaginaire dez. On la noteIm(z).
Démonstration En utilisant les conventions précédentes,a + i b = 0se lit(a,b) = (0,0)ce qui est vrai si et seulement sia = 0et b = 0. La suite en découle facilement.
Dans toute la suite du chapitreaetbdésignent des nombres réels sauf mention du contraire.
PROPOSITION1.5 Nombre imaginaire pur
1. Un nombre complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle z ∈ R ⇔ Im(z) = 0
2. Si un nombre complexe a sa partie réelle nulle, on dit qu’il est imaginaire pur. On notera i Rl’ensemble des nombres imaginaires purs
z ∈ i R ⇔ Re(z) = 0
Démonstration C’est une conséquence directe des définitions.
1.2.2
Conjugaison
DÉFINITION1.4 Conjugué d’un nombre complexe
Soitz = a + i b ∈ C, un nombre complexe. On appelle complexe conjugué de z que l’on notez¯le nombre complexe défini par z = a − i b¯ .
PROPOSITION1.6
Pour tout complexez ∈ C, on a
1. Re(z) =z + ¯z 2 2. Im(z) =z − ¯z 2i . 3. ¯¯z = z . 4. z = z ⇐⇒ z ∈ R¯ 5. z = −z ⇐⇒ z ∈ i R¯
Démonstration Calculs immédiats.
PROPOSITION1.7 ♥ Propriétés de la conjugaison
Pour tous complexesz, z′∈ C,
1. z + z′= ¯z + ¯z′ 2. zz′= ¯z ¯z′ 3. ³ z z′ ´ = z¯ ¯ z′ siz′6= 0.
Démonstration Calculs immédiats. Pour le quotient(3), on peut raccourcir les calculs en remarquant que siu = z/z′alorsz = u z′ et appliquer(2).
Application 1.4 Mise sous forme algébrique d’un quotient de nombres complexes. Pour mettre sous forme algébrique
le complexe3 − 2i
2 + i , on multiplie le quotient, en haut et en bas par le conjugué du dénominateur : 3 − 2i 2 + i = (3− 2i )(2 − i ) (2+ i )(2 − i ) = 4 − 7i 22− i2= 1 5(4− 7i ) Remarque 1.3 Siz ∈ Calorszz ∈ R∗+.
1.3
Représentation géométrique des complexes
1.3.1
Représentation d’Argand
On notera P l’ensemble des points du plan et V l’ensemble des vecteurs du plan. SoitR= (O,−→ı , −→ )un repère orthonor-mal du plan. À tout pointMde coordonnées(x, y)dans ce repère on peut faire correspondre le nombre complexez = x+i y. On réalise ainsi une bijection deCvers le plan. À tout nombre complexe on peut faire correspondre un unique point du plan et réciproquement à tout point du plan on peut faire correspondre un unique complexe. Cette représentation est due au mathématicien français Jean Robert Argand (1768 − 1822) et va s’avérer d’un grand intérêt en géométrie. Certains problèmes de géométrie se traduisent très bien en calculs faisant intervenir des nombres complexes et réciproquement, certains calculs avec les nombres complexes ont une interprétation géométrique naturelle.
z = x + i y 1 i x y O
FIGURE1.1 – Représentation d’Argand
De la même façon, on peut identifier l’ensemble des vecteurs V du plan avecCen associant à tout vecteur−→v de V de coordonnées(α, β)dansRle complexeα + i βet réciproquement.
DÉFINITION1.5 Image d’un nombre complexe, affixe d’un point, d’un vecteur SoitR= (O,−→ı , −→ )un repère orthonormal du plan.
– L’image du nombre complexez = x + i yest le point du plan de coordonnées(x, y)dans le repèreR.
– L’affixe du pointMde coordonnées(x, y)dans le repèreRest le nombre complexez = x +i yque l’on notera Aff(M). – L’ affixe du vecteur→−v = α−→ı + β−→ est le complexeα + i βque l’on notera Aff(−→u ).
Remarque 1.4 Les points du plan d’affixe réelle sont situés sur l’axe réel(O, −→ı ). Ceux qui ont une affixe imaginaire sont situés sur l’axe imaginaire(O, −→ ).
1.3.2
Interprétation géométrique de quelques opérations
On considère dorénavant et pour tout le reste du chapitre qu’un repère orthonormal R= (O,−→ı , −→ )a été fixé, ce qui permet d’identifierCau plan P.
PROPOSITION1.8 Propriétés de l’affixe
Soient→−u et−→v deux vecteurs de V . SoientAetBdeux points de P :
Aff(−→AB) =Aff(B) −Aff(A)
Démonstration
1. Supposons que Aff(−→u ) = a + i bet Aff(−→v ) = c + i dalors→−u = a−→ı + b−→,→−v = c−→ı + d−→ et−→u + −→v = (a + c)−→ı + (b + d)−→. Ce qui prouve que Aff(−→u + −→v ) = (a + c) + i (b + d) = (a + i b) + (c + i d) =Aff(−→u ) +Aff(−→v ).
2. Comme−→OB =−→OA +−→AB, en utilisant l’égalité précédente, on obtient Aff(−→OB) =Aff(−→OA) +Aff(−→AB), soit Aff(B) =Aff(A) + Aff(−→AB).
PROPOSITION1.9 Interprétation géométrique dez 7→ z + a
Soit→−u un vecteur d’affixea. La translation de vecteur−→u est l’application qui à tout pointMd’affixezassocie le point d’affixez + a.
Démonstration Au pointMde P, la translation de vecteur−→u associe le pointM′tel queOM−−−→′=−−→OM + −→u. Siz, z′etasont les affixes respectives deM,M′et−→u, la proposition précédente conduit àz′= z + a.
PROPOSITION1.10 Interprétation géométrique dez 7→ ¯z
La réflexion d’axe(O, −→ı )est l’application qui à tout pointMd’affixezassocie le point d’affixez¯.
Démonstration La réflexion d’axe(O,−→ı )associe à tout pointMde coordonnées(x, y)le pointM′de coordonnées(x,−y). La proposition s’en déduit immédiatement.
1.4
Module d’un nombre complexe, inégalités triangulaires
DÉFINITION1.6 Module d’un nombre complexeSoientz = a + i bun nombre complexe etMson image dans P. On appelle module dez le réel positif ou nul noté|z| et donné par :
|z| = ||−−→OM|| PROPOSITION1.11 ♥ Expression du module d’un nombre complexe
Pour tout complexez = a + i b,
|z| =pz ¯z =pa2+ b2
Démonstration Soitz = a + i b ∈ Cet soitMl’image dez dans P alors on sait que|z|2= ||−−→OM||2= a2+ b2. Par ailleurs, z ¯z = (a + i b)(a − i b) = a2+ b2.
PROPOSITION1.12 ♥ Propriétés du module
Pour tout nombre complexez,
1. |z| = 0 ⇔ z = 0 2. |z| = | ¯z|
3. Re(z) É |Re(z)| É |z| 4. Im(z) É |Im(z)| É |z|
Démonstration
1. Soitz = a + i b ∈ Ctel que|z| = 0alorsa2+ b2= 0ce qui n’est possible que sia = b = 0. Réciproquement, siz = 0alors |z| = 0.
2. Évident.
3. Siz = a + i balorsRe(z) = a É |a| =pa2Épa2+ b2= |z|. 4. De même.
PROPOSITION1.13
Pour tous nombres complexesz, z′,
1. 1 z = ¯ z |z|2siz 6= 0. 2. |z| = 1 ⇔1 z= ¯z. 3. |zz′| = |z||z′| . 4. ¯ ¯ ¯z z′ ¯ ¯ ¯ = |z| |z′| siz′6= 0.
Démonstration 1. Siz ∈ C∗, on a z × z¯ |z|2= zz |z|2= |z|2 |z|2= 1 donc1 z= ¯ z |z|2.
2. Si|z| = 1, le résultat précédent amène :1
z= z. La réciproque est évidente. 3. Pour la troisième, écrivons|zz′|2= (zz′)(zz′) = z ¯zz′z¯′= |z|2
|z′|2. On termine en passant à la racine carrée et en remarquant que¯¯zz′¯¯ Ê 0et que|z| Ê 0,¯¯z′¯¯ Ê 0. 4. Et pour la dernière :¯¯z z′ ¯ ¯2 = z z′ z z′= |z|2
|z′|2. On termine alors de la même façon qu’en 3. PROPOSITION1.14 ♥♥♥ Inégalités triangulaires
Pour tous nombres complexeszetz′, on a
1. |z + z′| É |z| + |z′| . 2. ¯¯|z|−|z′|¯¯ É |z − z′| .
Démonstration Soient deux complexesz, z′∈ C.
1. On peut démontrer de manière géométrique la première inégalité triangulaire en remarquant que c’est une traduction, dans le cadre complexe, de celle vue pour le triangle en classe de cinquième. Si le pointMest l’image du complexezet le point Nl’image du complexez +z′dans P, alors, dans le triangleOMN,ON É OM+MN. Comme Aff(−−→MN) =Aff(N) −Aff(M) = z + z′− z = z′, on aMN = |z′|. Par ailleurs,ON = |z + z′|etOM = |z|. On peut aussi démontrer cette première inégalité de manière algébrique. Développons le module au carré
|z + z′|2= (z + z′)(z + z′) = |z|2
+ 2Re (zz′) + |z′|2 En utilisant l’inégalitéRe³zz′´É |z||z′|, on en tire que
|z + z′|2É |z|2+ 2|z||z′| + |z′|2=¡|z| + |z′|¢2 et il suffit de prendre la racine carrée de ces nombres positifs.
2. Utilisons l’inégalité triangulaire déjà démontrée :
|z| = |(z + z′) + (−z′)| É |z + z′| + |−z′| = |z + z′| + |z′| d’où|z| − |z′| É |z + z′|. On obtient de façon symétrique
|z′| = |(z + z′) + (−z)| É |z + z′| + |z|
d’où également|z′| − |z| É |z + z′|. Puisque|z| − |z′| É |z + z′|et que−(|z| − |z′|) É |z + z′|, on a bien¯¯|z|−|z′|¯¯ É |z +z′|.
PROPOSITION1.15
Soienta ∈ Cetr ∈ R∗+. SoitAle point du plan d’affixea. L’ensemble des points du plan d’affixez ∈ Cvérifiant • |z − a| = r est le cercle de centreAet de rayonr.
• |z − a| É r est le disque fermé de centreAet de rayonr. • |z − a| < r est le disque ouvert de centreAet de rayonr.
Démonstration Ces trois résultats proviennent de l’égalité|z − a| = AM
1.5
Nombres complexes de module
1
1.5.1
Groupe
U
des nombres complexes de module
1
PROPOSITION1.16 GroupeUdes nombres complexes de module1 Nous noteronsU, l’ensemble des nombres complexes de module égal à1
U= {z ∈ C | |z| = 1} Cet ensemble vérifie les propriétés suivantes.
2. Le produit est associatif :∀z, z′, z′′∈ U, (z × z′) × z′′= z × (z′× z′′).
3. Le complexe1est élément deUet est l’élément neutre du produit :∀z ∈ U, z × 1 = 1 × z = z.
4. Sizest élément deU, alors son inverse 1
z aussi. De plus, on a
1
z = ¯z . 5. Le produit est commutatif :∀z, z′∈ U, z × z′= z′× z.
On dit que(U, ×)est un groupe commutatif appelé groupe des nombres complexes de module1.
1 i U z ¯ z = 1 z O
FIGURE1.2 – groupeUdes nombres complexes de module1 Démonstration Soientz, z′∈ U.
1. On a :¯¯z ×z′¯¯ = |z|ׯ¯z′¯¯ = 1×1 = 1. Doncz × z′∈ U.
2. L’associativité est une conséquence directe de l’associativité de la multiplication dansC. 3. On a :|1| = 1donc1 ∈ U. La suite est évidente.
4. On a :z × ¯z = ¯z × z = |z|2= 1doncz¯est l’inverse dez. En utilisant les notations introduites précédemment, on obtient z−1= 1/z = ¯z.
5. La commutativité est une conséquence directe de la commutativité de la multiplication dansC.
Remarque 1.5 On verra dans l’exemple 19.10 page 722 une méthode plus rapide pour vérifier que(U, ×)est un groupe.
1.5.2
Exponentielle imaginaire
On suppose ici connues les propriétés élémentaires des fonctions cosinus et sinus ainsi que les différentes formules de trigonométrie circulaire. On pourra se reporter à ce sujet à l’annexe B paragraphe B.1. Ce paragraphe doit être parfaitement maîtrisé.
LEMME1.17
Soient(a, b)∈ R2tel quea2+ b2= 1. Il existe un réel (pas unique)θtel quea = cosθetb = sinθ.
Démonstration Commea2+b2= 1, on a nécessairement−1 É a É 1et−1 É b É 1. L’image deRpar la fonctioncosétant[−1,1], il existeα ∈ Rtel quecos α = a. Comme :cos2α + sin2α = 1, il vientsin2α = b2. Une des deux égalités suivantes est alors vérifiée parα,sinα = bou biensin α = −b.
– Si la première est vraie, nous posonsθ = α.
– Sinon, la seconde est alors vraie et nous posonsθ = −α.
