Transformations remarquables du plan

[2π]

Démonstration Remarquons tout d’abord quearg µ

b − c a − c ¶

= arg(b − c) − arg(a − c) [2π]. Par ailleursb − c =Aff(−→_BC)et a − c =Aff(−→_{CA). Donc}

arg (b − c) = (−→ƒ_{ı ,}−→_CB)et

arg(a − c) = (−→ƒ_{ı ,}−→_{CA). On conclut en utilisant la relation de Chasles pour les angles} ( à−→_CA,−→

CB) = (−→ƒ_{ı ,}−→

CB) − (−→ƒ_{ı ,}−→_{CA) [2π].} COROLLAIRE1.42

SoientA,B, etCtrois points du plan tels queCest distinct deA, d’affixes respectivesa,betc. – A,B, etCsont alignés si et seulement si c − b

c − a ^{est réel.}

– Les droites(CA)et(CB)sont perpendiculaires si et seulement sic − b

c − a ^{est imaginaire pur.}

1.10 Transformations remarquables du plan

On notera P le plan et V l’ensemble des vecteurs du plan. On appelle transformation du plan toute application bijective du plan dans lui même. À toute transformationf du plan, on peut associer une applicationg du plan complexe dans lui même qui au complexezd’image le pointM ∈P associe l’affixe du pointf (M):

g :

½

C −→ C

Aff(M) 7−→ Aff(M^′) ^oùM

′= f (M).

On dit alors quegreprésente l’applicationf dans le plan complexe.

1.10.1 Translations, homothéties

DÉFINITION1.12 Translation, homothétie

– Soit→−_{u un vecteur du plan. La translation de vecteur}→−_{u, notéet−→}

u, est la transformation du plan qui à tout pointM ∈P

associe le pointM^′∈P tel que−−−→ MM^′= −^→u.

– SoitΩun point du plan etλun réel non nul. L’homothétie de centreΩet de rapportλ, notéhΩ,λ, est la transformation du plan qui à tout pointM ∈P associe le pointM^′∈P tel que −−−→

ΩM^′= λ^−−→ΩM .

Remarque 1.19

– Si le rapport d’une homothétieh vaut1, alorshest l’application identique ( L’application identique de P est celle qui à tout pointM ∈P associe lui même).

– Les translations conservent les longueurs (on dit que ce sont des isométries), les homothéties de rapportλles multi-plient par|λ|.

PROPOSITION1.43

SoitΩun point du plan d’affixeωetλun réel différent de0et1. L’homothétie de rapportλet de centreΩpeut être représentée dans le plan complexe par l’application qui à toutz ∈ Cassociez^′∈ Ctel que z^′− ω = λ(z − ω) (ou encore z^′= λz + (1 − λ)ω).

Démonstration Le pointM^′est l’image deMparh_Ω,λsi et seulement si−−−→

ΩM^′= λ^−−→ΩMou encore Aff(M) −Aff(Ω) = λ(Aff(M)^′− Aff(Ω))c’est-à-direz^′− ω = λ(z − ω).

1.10.2 Rotation

DÉFINITION1.13 Rotation

– àΩassocieΩ,

– à tout pointMdifférent deΩassocie le pointM^′tel que    (−−→_ΩM,á−−−→ ΩM′) = θ [2π] ||^−−−→ΩM^′|| = ||^−−→ΩM|| PROPOSITION1.44

SoientΩ ∈P et θun réel. Soitωl’affixe deΩ. La rotation de centre Ωet d’angleθpeut être représentée dans le plan complexe par l’application qui à toutz ∈ Cassocie le complexez^′ tel que z^′− ω = e^iθ(z − ω) (ou encorez^′=

e^iθz + (1 − eⁱθ)ω).

Démonstration Soientzetz^′les affixes respectives deMetM^′. SiM 6= Ω, on a :

M^′est l’image deMpar la rotation de centreΩet d’angleθ ⇔ (−−→_ΩM,á−−−→ ΩM^′) = θ [2π]etΩM = ΩM^′⇔ arg µ_z′ − ω z − ω ¶ = θ [2π]et|z − w| = |z^′− ω| ⇔ arg µ_z′ − ω z − ω ¶ = θ [2π]et¯_¯ ¯^{z − w} z^′− ω ¯ ¯ ¯ = 1 (∗). Soitρe^iα une représentation trigonométrique de z − w

z′− ω^{. Les deux relations précédentes sont équivalentes àρ = 1etα = θ [2π].} Donc(∗)est équivalente à z − w

z′− ω^{= e}

iθ, soitz^′− ω = e^iθ(z − ω). SiM = ΩalorsM^′= Ωetz = z^′= ω. L’égalitéz^′− ω = e^iθ(z− ω) est alors trivialement vérifiée.

1.10.3 Similitudes directes

DÉFINITION1.14 Similitude directe

Une similitude directe est une transformation du plan admettant comme représentation dans le plan complexe l’appli-cation :

½

C −→ C

z 7−→ az + b ^{où(a, b) ∈ C∗× C.}

PROPOSITION1.45

Une similitude directe conserve les angles orientés et les rapports de longueurs.

Démonstration Soitf la similitude représentée parz 7→ az + b,A₁,A₂,A₃,A₄des points de P tels queA₁6= A2etA₃6= A4,z₁, z₂,z₃,z₄leurs affixes respectives etz^′₁,z^′₂,z₃^′,z₄^′ les affixes respectives de leurs images parf. Pour touti ∈ {1,2,3,4}, on a donc z^′_i= azi+ b. En particulier :

½ _z′

2− z₁^′= a(z2− z1) z₄^′− z₃^′= a(z4− z3) et doncaétant non nul : ^z

′ 4− z^′₃ z^′₂− z^′₁⁼ z4− z3 z₂− z1 . Par conséquent (−−−→á A^′₁A^′₂,−−−→ A^′₃A^′₄) = arg(^z ′ 4− z₃^′ z₂^′− z₁^{′) = arg} µ_z 4− z3 z2− z1 ¶ = (−−−→_Aá 1A₂,−−−→_A 3A₄) [2π] et A^′₃A^′₄ A^′₁A^′₂= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ z₄^′− z₃^′ z₂^′− z₁^′ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯⁼ ¯ ¯ ¯ ¯^z_z⁴₂^{− z}_{− z}³₁ ¯ ¯ ¯ ¯ =^A_A³₁^A_A⁴₂^, ce qui prouve la propriété.

PROPOSITION1.46

La composée de deux similitudes directes est encore une similitude directe.

Démonstration Soient f etf^′deux similitudes directes représentées dans le plan complexe par, respectivement,z 7→ az + bet z 7→ a^′z + b^′où(a,b) ∈ C^∗× Cet où(a^′,b^′) ∈ C^∗× C. Alorsf^′◦ f est représentée parz 7→ a^′(az + b) + b^′soitz 7→ aa^′z + a^′b + b^′. Notantα = a^′aetβ = a^′b +b^′et remarquant queαest non nul, on a représentéf^′◦ f parz 7→ αz +βavec(α,β) ∈ C^∗×Cetf^′◦ f est donc bien une similitude directe.

PROPOSITION1.47

Soient(a, b) ∈ C^∗× C. Soitf la similitude du plan représentée dans le plan complexe parz 7→ az + b. – Sia = 1,f est la translation de vecteur d’affixeb.

– Sia 6= 1,f admet un unique point invariantΩ(f (Ω) = Ω) appelé centre de la similitude. De plus, dans ce cas, si 1. αest un argument dea,

2. rest la rotation de centreΩet d’angleα(rΩ,α), 3. hest l’homothétie de centreΩet de rapport|a|(h_Ω,|a|),

alorsf s’écrit comme la composée dehetr: f = r ◦ h = h ◦ r. Le réel|a|est appelé le rapport de la similitude etα est une mesure de l’angle de la similitude. En particulier,

– sia ∈ R^∗,f est l’homothétie de centreΩet de rapport|a|. – si|a| = 1,f est la rotation de centreΩet d’angleα.

Démonstration

– Sia = 1, on reconnaît l’application étudiée dans la proposition 1.9.

– Supposons maintenanta 6= 1et recherchons les points invariants par f. Soit un tel point qu’on suppose d’affixez₀.z₀est alors solution de l’équationz₀= az0+b. Cette équation possède une et une seule solution qui estz₀= ^b

1 − a^{(cara 6= 1!). NotonsΩle} point d’affixez₀.Ωest donc l’unique point invariant def. SoientMun point d’affixez. NotonsM^′le point d’affixez^′= f (z). On a :z^′−z0= a(z −z0). Soientαun argument dea,hl’homothétieh_Ω,|a|etrla rotationr_Ω,|a|. Vérifions quef s’écrit comme la composée dehet der. Notonsz1l’affixe der (M)etz2celle deh(r (M)). D’après les propositions 1.43 et 1.13 :

z₁− z0= e^iα(z − z0) z₂− z0= |a|(z1− z0) donc

z₂− z0= |a|e^iα(z − z0) = a(z − z0)

ce qui prouve quez₂= z^′et donc quez₂est l’affixe def (M)On a donc bien montré quef = h ◦ r. On montre de la même façon que f = r ◦ h.

Multimédia : On donne un rapport, un angle et un centre. On pointe avec la souris sur un z du plan complexe et le logiciel construit l’image de z par la rotation , puis l’image de ce point par l’homothétie

En résumé

1 il faut savoir manipuler parfaitement les opérations suivantes sur les nombres complexes : addition, multiplication, conjugaison, calcul du module ou d’un argument.

2 il faut connaître parfaitement les formules d’Euler et de Moivre.

3 la fonction exponentielle complexe doit être bien maîtrisée. La technique de factorisation par les angles moitiés est d’un usage fréquent dans les exercices.

4 il faut savoir calculer les racines carrées d’un nombre complexe ainsi que les solutions d’une équation du second degré à coefficients complexes.

5 il faut avoir bien compris les groupesUetUn tant au niveau algébrique que géométrique.

6 les différentes transformations du plan doivent être bien maîtrisées ainsi que la traduction en terme d’affixe des notions d’angle ou de distance.

Il est essentiel de compléter la lecture de ce chapitre par celle des paragraphes suivants de l’annexe B :

1 Trigonométrie, voir paragraphe B.1 page 1155.

2 Calculs de sommes, voir paragraphe B.2 page 1158.

3 Trigonométrie et complexes, voir paragraphe B.3 page 1164.

4 Calculs sur des polynômes, voir le paragraphe B.4.1 page 1168 consacré au trinôme du second degré ainsi que le paragraphe B.4.4 page 1176 consacré à la factorisation des polynômes grâce aux racines de l’unité.

1. Nombres