Géométrie élémentaire de l’espace Pour bien aborder ce chapitre
3.4 Produit vectoriel
3.4.1 Définition du produit vectoriel
− →u − →v − →u ∧ −→v
FIGURE3.4 – Produit vectoriel de deux vecteurs dans l’espace
DÉFINITION3.14 ♥ Produit vectoriel
On suppose qu’on a choisi une orientation de l’espace. Soient−→u et→−v deux vecteurs de V . Soient P un plan de l’espace contenant ces deux vecteurs et−→
k un vecteur normal unitaire à P. Fixant→−
k, on fixe une orientation de P. On appelle
produit vectoriel de→−u et−→v le vecteur, noté→−u ∧ −→v ou−→u × −→v, donné par −
→u ∧ −→v = det(−→u , −→v )−→k .
Remarque 3.10 fondamentale Il y a deux choix possibles pour un vecteur normal unitaire à P :−→
k ou−−→k. Le produit vectoriel dépend donc à priori du choix fait au départ pour ce vecteur normal.
Notons(−→u ∧→−
k−→v )le produit vectoriel construit en ayant choisi le vecteur−→k et(−→u ∧
−−→k−→v )le produit vectoriel construit en ayant choisi le vecteur−−→k. Notons aussidet−→
k(−→u , −→v )le déterminant des vecteurs−→u et−→v dans le plan P orienté par −
→
k etdet
−−→k(−→u , −→v )le déterminant des vecteurs→−u et−→v dans le plan P orienté par−→−k . En choisissant le vecteur−→−k à la place du vecteur−→
k, on change l’orientation de P, et donc le signe de l’angle orienté ( −→u , −→v )ainsi que le signe du déterminant du couple(−→u , −→v ). Mais ce changement de signe est compensé par le changement du vecteur→− k en le vecteur−→−k :(−→u ∧→− k−→v ) = det→− k(−→u , −→v )−→k = −det −−→k(−→u , −→v )(−→−k ) = (−→u ∧ −−→k−→v ). COROLLAIRE3.14 ♥ Norme du produit vectoriel de deux vecteurs
Si−→u et→−v sont deux vecteurs de V : °
°−→u ∧ −→v°° = |det(−→u , −→v )| =°°−→u°°.°°−→v°°.¯¯¯sin( →−u , −→v )¯¯¯
Démonstration En utilisant la définition du déterminant de deux vecteurs dans le plan et si−→nest un vecteur normal unitaire à un plan vectoriel contenant→−u et−→v, on obtient :
° °−→u ∧ −→v° ° =°°det¡−→u , −→v¢−→n° ° =¯¯det¡−→u , −→v¢¯¯°°−→n° ° =¯¯det¡−→u , −→v¢¯¯=°°−→ u° °.°°−→v° °.¯¯¯sin( −→u , −→v )¯¯ ¯ . Remarque 3.11
– |sin( −→u , −→v )|ne dépend pas de l’orientation choisie pour le plan P contenant les deux vecteurs→−u et−→v. – ||−→u ∧ −→v ||est l’aire du parallélogramme construit à partir des vecteurs→−u et−→v.
COROLLAIRE3.15 ♥ Caractérisation de la colinéarité de deux vecteurs via le produit vectoriel
Deux vecteurs de V sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est nul.
Démonstration Considérons un planP contenant ces deux vecteurs. Ces deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant dans le plan P est nul.
Remarque 3.12
– Soient−→
i et−→
j deux vecteurs orthogonaux (respectivement orthogonaux et unitaires) de V . Alors(−→
i ,−→
j ,−→
i ∧→−j )forme une base orthogonale (respectivement orthonormale) directe de l’espace.
– La droite passant par le pointAet de vecteur directeur→−u est l’ensemble des pointsMdu plan vérifiant −−→
AM ∧ −→u =−→0 .
3.4.2 Interprétation géométrique du produit vectoriel
Soient−→u et→−v des vecteurs de V et−→w = −→u ∧ −→v. On obtient−→wà partir de−→u et−→v en composant :
1. La projection sur un plan P orthogonal à−→u. L’image de−→v par cette projection est un vecteur −→v1 de norme ||−→v |||sin(−→u , −→v )|. (Remarquons que cette dernière expression est indépendante de l’orientation de l’espace choisie). 2. La rotation d’angleπ2 dans le plan P orienté par le vecteur normal→−u qui transforme le vecteur−→v1en un vecteur
−→v2de même norme que−→v1et directement orthogonal à→−u et−→v
3. L’homothétie de rapport||−→u || qui transforme−v→2 en un vecteur−v→3 de norme ||−→u ||||−→v |||sin(−→u , −→v )| directement orthogonal à−→u et−→v.v→−3est donc par définition égal à→−u ∧ −→v.
3.4.3 Propriétés du produit vectoriel
PROPOSITION3.16 ♥ Le produit vectoriel est antisymétrique
Si−→u et→−v sont éléments de V alors
−
→v ∧ −→u = −−→u ∧ −→v
Démonstration C’est une conséquence directe de l’antisymétrie du déterminant de deux vecteurs dans le plan. Interlude
Lors d’une première lecture, on pourra passer directement à la proposition 3.22 page 123. Ce qui suit permet de démontrer cette proposition mais n’est pas important pour la compréhension du chapitre.
DÉFINITION3.15 Application linéaire dans l’espace
Soitf :V −→V . On dit que f est linéaire si pour tout couple(−→u , −→v )de V2et tout réelλ, f (−→u + −→v ) = f (−→u ) + f (−→v ) et f (λ−→u ) = λf (−→u ).
PROPOSITION3.17 Caractérisation des applications linéaires
Soitf :V −→V . f est linéaire si et seulement si, pour tout couple(−→u , −→v )de V2et pour tout couple de réels(α, β)
f (α−→u + β−→v ) = αf (−→u ) + βf (−→v ) .
Démonstration Laissée en exercice.
PROPOSITION3.18
Une application composée de deux applications linéaires est encore linéaire.
Démonstration Laissée en exercice.
DÉFINITION3.16 Application bilinéaire
Une applicationf :V ×V −→V est dite bilinéaire si elle est linéaire en chacune de ses variables, ce qui signifie que
pour tout vecteurs−→u , −→v de V : – si on fixe−→u :f (−→u , .) :½ V −→ V
−
→v 7−→ f (−→u , −→v ) est linéaire.
– si on fixe−→v :f (., −→v ) :½ →V− −→ V
Quelques exemples d’applications linéaires fort utiles pour ce qui vient...
Soit→−u un vecteur de V . Soient(O,−→i ,−→j ,−→k )une base orthonormale directe telle que−→i et→−u sont colinéaires et telle que (→−
j ,−→
k )est une base du plan orthogonale à−→u. PROPOSITION3.19
La projection orthogonalepsur le plan orthogonale à−→u est linéaire.
Démonstration Soient−→v et−→v′deux vecteurs de V de coordonnées respectives(x, y, z)et(x′, y′, z′)dans(→−i ,−→j ,−→
k )alorsp(−→v ) est le vecteur de coordonnées(0, y, z)etp(−→
v′)est le vecteur de coordonnées(0, y′, z′). Comme→−v + −→v′admet(x + x′, y + y′, z + z′) comme coordonnées,p(−→v + −→v′)admet comme coordonnées(0, y + y′, z + z′)qui sont aussi celles du vecteurp(−→v ) + p(−→v′). Par conséquent,p(−→v ) + p(−→v′) = p(−→v + −→v′).
Soitλun réel. Le vecteurλ−→v a pour coordonnées(λx,λy,λz). Les coordonnées dep(λ−→v )sont donc(0,λy,λz)qui sont exactement les coordonnées deλp(−→v ). Doncp(λ−→v ) = λp(−→v ).
On a prouvé quepest linéaire.
PROPOSITION3.20
La rotationr d’angleπ2 dans le plan orienté(O,→−
j ,−→
k )est linéaire.
Démonstration Les vecteurs de ce plan sont ceux de coordonnées(0, y, z). Soit→−v un vecteur de ce plan. L’image parr de→−v est le vecteur de coordonnées(0,−z, y). On prouve la linéarité de cette application en passant aux coordonnées, comme dans la proposition précédente.
PROPOSITION3.21
Soitkun réel non nul. L’homothétiehkde rapportk, qui à un vecteur−→v de V associe le vecteurk−→v est linéaire. Démonstration Soient−→v et−→v′deux vecteurs de V . On a
hk(−→v +→−v′) = k(−→v +→v−′) = k−→v + k−→v′= hk(−→v ) + h k(→−
v′). Siλest un réel, on a aussi
hk(λ−→v ) = k(λ−→v ) = λh k(−→v ) ce qui prouve la linéarité deh.
Remarque 3.13
– En particulier l’homothétiehde rapportk =°°−→u°
°est linéaire. – Cette proposition est une reformulation du théorème de Thalès.
Ces trois exemples vont nous permettre de démontrer que le produit vectoriel est bilinéaire. COROLLAIRE3.22 ♥ Le produit vectoriel est bilinéaire
L’application
ϕ : ½ V
×V −→ V
(−→u , −→v ) 7−→ −→u ∧ −→v
est bilinéaire. Autrement dit, pour tout vecteurs−→u,−u→1,−u→2,→−v,−→v1,−→v2de V et pour tout réelsλ1,λ2 −
→u ∧ (λ1−v→1+ λ2−v→2) = λ1→−u ∧ −→v1+ λ2−→u ∧ −→v2 et (λ1u−→1+ λ2−u→2) ∧ −→v = λ1u−→1∧ −→v + λ2−u→2∧ −→v .
Démonstration Fixons→−udans V . L’application : θ−→u:
½ V
−→ V −
→x 7−→ −→u ∧ −→x
est linéaire comme composée des trois applications linéairesp,r eth. Pour montrer queϕest bilinéaire, il faut encore montrer que, pour−→v fixé dans V et pour tout−→u,−→u′dans V etλréel,
(−→u +−→u′) ∧ −→v = −→u ∧ −→v +u→−′∧ −→v et(λ−→u ) ∧ −→v = λ−→u ∧ −→v
Ces deux propriété découlent de l’antisymétrie du produit vectoriel et de la linéarité deθ−−→v. Par exemple pour la première égalité, on procède ainsi
(−→u +−→u′) ∧ −→v = −−→v ∧ (−→u +−→u′) = (−−→v ) ∧ (−→u +−u→′) = θ−−→v(−→u +u−→′) = θ−−→v(−→u ) + θ −−→v(−→
u′) = −−→v ∧ −→u − −→v ∧−→u′= −→u ∧ −→v +−→u′∧ −→v
THÉORÈME3.23 ♥♥♥ Expression du produit vectoriel dans une base orthonormale
Soit B³−→
i ,−→j ,→−
k´
une base orthonormale directe. Soient−→u et→−v des vecteurs de V de coordonnées respectives¡x, y, z¢ et¡
x′, y′, z′¢
dans B. Les coordonnées(X, Y, Z)de→−u ∧ −→v sont données par :
X = ¯ ¯ ¯ ¯ y y ′ z z′ ¯ ¯ ¯ ¯ Y = ¯ ¯ ¯ ¯ z z ′ x x′ ¯ ¯ ¯ ¯ X = ¯ ¯ ¯ ¯ x x ′ y y′ ¯ ¯ ¯ ¯ Autrement dit : − →u ∧ −→v ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ y z′− y′z zx′− z′x x y′− x′y Démonstration ♥ On a : − →u = x−→i + y−→j + z→−k et −→v = x′−→ i + y′→−j + z′→−k . Utilisant la bilinéarité du produit vectoriel et les relations
− → i ∧→−j =−→k →− j ∧→−i = −−→k −→ j ∧−→k =→−i −→ k ∧−→j = −−→i →− k ∧→−i =−→j −→ i ∧−→k = −→−j − → i ∧−→i =−→j ∧−→j =−→k ∧−→k =→−0 qui découlent du fait que B est une base orthonormale directe, on peut écrire :
− →u ∧ −→v = ³ x−→ i + y−→j + z−→k´ ∧³ x′→− i + y′−→j + z′−→k .´ = xx′′−→ i ∧−→i + x y′→−i ∧→−j + xz′−→i ∧→−k +yx′−→j ∧−→i + y y′−→j ∧→−j + yz′−→j ∧→−k +zx′−→k ∧−→i + z y′−→k ∧−→j + zz′−→k ∧→−k = x y′−→ k − xz′→−j −yx′−→k + yz′→−i +zx′−→j − z y′−→i = ¡ y z′− y′z¢−→ i +¡ zx′− z′x¢ −→ j +¡ x y′− x′y¢−→ k ce qu’il fallait démontrer.