Pour bien aborder ce chapitre
2.2 Modes de repérage dans le plan
2.2.1 Repères Cartésiens
des vecteurs du plan colinéaires à→−u.
Vect¡−→u¢
=©λ−→u | λ ∈ Rª
DÉFINITION2.4 Droite affine
SoitAun point du plan P et−→u un vecteur non nul de V . La droiteDpassant parAet dirigée par−→u est l’ensemble des points du plan de la formeA + λ−→u oùλest réel.
D = {A + λ−→u | λ ∈ R} = A + Vect(−→u ).
Un vecteur non nul de V est un vecteur directeur de la droite donnée par le couple(A, −→u )si il est colinéaire à−→u.
Remarque 2.2 Remarquons que si une droiteDest donnée par le couple(A, −→u )et siMest un point du plan, alors on a :
M ∈ D ⇔ ∃λ ∈ R : M = A + λ−→u ⇔−−→AM = λ−→u ⇔−−→AMet→−u sont colinéaires.
DÉFINITION2.5 ♥ Droites parallèles, orthogonales
On dit que :
– deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
– deux droites sont orthogonales (ou perpendiculaires) si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.
2.2 Modes de repérage dans le plan
2.2.1 Repères Cartésiens
DÉFINITION2.6 ♥ Base
– Un couple de vecteur(−→ı , −→ )de V est une base de V si et seulement si ces deux vecteurs sont non colinéaires. – Une base est dite orthogonale si les deux vecteurs la composant sont orthogonaux.
M
O ~i
~j
~
OM =~i + 3~j
FIGURE2.2 – Repère cartésien
Remarque 2.3 En vertu de la remarque 2.1 page 64, si¡−→u , −→v¢forme une base du plan, alors aucun des deux vecteurs −
→u,−→v n’est nul.
PROPOSITION2.1 ♥ Caractérisation des bases du plan
Soit→−u , −→v ∈V . Le couple¡−→u , −→v¢forme une base du plan si et seulement si : ∀α,β ∈ R, α−→u + β−→v = 0 =⇒ α = β = 0
Démonstration ♥
⇒ Nous allons effectuer un raisonnement par contraposée (vous pouvez consulter la page 1128 si vous n’êtes pas familier avec ce type de raisonnement). Supposons que¡−→u , −→v¢
ne soit pas une base du plan. Alors−→u et→−v sont colinéaires. Donc il existe β′∈ Rtel que−→u = β′−→v. On prouve ainsi l’existence de deux réelsα = 1etβ = −β′non tous deux nuls tels queα−→u + β−→v = 0et l’implication directe est prouvée.
⇐ Effectuons à nouveau un raisonnement par contraposée. Supposons qu’il existe deux réelsαetβnon tous deux nuls tels que α−→u + β−→v = 0.
– Siα 6= 0, on obtient :−→u = −β/α−→v et les vecteurs−→u,−→v sont colinéaires. Ils ne peuvent donc pas former une base du plan. – Siα = 0alorsβest non nul et on a :β−→v =−→0, ce qui n’est possible que si−→
v = 0. D’après la remarque précédant la proposition, ¡−→u , −→v¢
ne forme là encore pas une base du plan. L’implication réciproque est ainsi prouvée.
DÉFINITION2.7 ♥ Repère Cartésien, Origine d’un repère, repère orthogonal, orthonormal
Un repère cartésien R du plan P est donné par un triplet(O, −→ı , −→ )oùOest un point de P et où(−→ı , −→ )forme une base de V .
– Le pointOest l’origine du repère.
– Si les deux vecteurs−→ı et→− sont orthogonaux, on dit que R est un repère orthogonal. Si ils sont de plus unitaires, le repère R est alors dit orthonormal.
– Les droites passant parOde vecteur directeur respectifs→−ı et→− sont appelés axes du repère R et sont notés(Ox)et (Oy).
DÉFINITION2.8 ♥ Repère orthonormal direct
Un repère orthonormal(O, −→ı , −→ )est dit direct si l’angle( −→ı , −→ )a pour mesure π 2.
PROPOSITION2.2 ♥ Coordonnées cartésiennes d’un vecteur, d’un point
Soit(O, −→ı , −→ )un repère du plan P.
– Soit→−u un vecteur de V et(−→ı , −→ )une base de V . Il existe un unique couple de réels(x, y)tel que −
→u = x−→ı + y−→ .
Ce couple(x, y)représente les coordonnées ( ou les composantes) du vecteur−→u dans la base(−→ı , −→ ). On notera cela sous une des formes suivantes :
− →u (x, y), −→u¯¯¯ ¯xy ou −→u µ x y ¶ .
– SoitMun point du plan P et(O, −→ı , −→ )un repère R de P. Il existe un unique couple de réels(x, y)tel que −−→
Ce couple(x, y)représente les coordonnées du pointMdans le repère R. De même que précédemment, on écrira : M(x; y), M ¯ ¯ ¯ ¯xy ou M µ x y ¶ .
Démonstration Soient−→u un vecteur de V et soient−→u
1le projeté de−→u sur(Ox)parallèlement à(Oy)et−→u
2le projeté de−→u sur (Oy)parallèlement à(Ox). On a :→−u = −→u1+ −→u2. Comme−→u1est colinéaire à−→ı et−→u2est colinéaire à−→, il existe des réelsxetytels que−→u
1= x−→ı et−→u
2= y−→. Par conséquent :−→u = x−→ı + y−→.
Ce couple(x, y)est de plus unique : si(x′, y′)est un autre couple de réels tels que :→−u = x′−→ı + y′−→, on obtient, par soustraction : −
→
0 = (x − x′)−→ı + (y − y′)−→, soit encore :(x − x′)−→ı = (y′− y)−→. Comme−→ı et→− ne sont pas colinéaires, cette égalité n’est possible que six = x′ety = y′.
Remarque 2.4
– Cette proposition permet d’identifier l’ensemble des points du plan avec l’ensembleR2. En effet, si un repère cartésien
R est fixé dans P, à tout pointMde P correspond un unique couple de réels(x, y): ses coordonnées. Réciproque-ment, à tout couple de réel(x, y)correspond un unique pointMde P dont les coordonnées dans le repère considéré sont données par ce couple.
– De même, si une base B est fixée, on peut identifier l’ensemble des vecteurs du plan avecR2. NotonsθBl’application qui à un vecteur→−u de V lui associe ses coordonnées¡x, y¢dans B :
θB: ½ P
−→ R2 M 7−→ ¡x, y¢ .
La proposition 2.2 dit queθBest bijective. Cette identification « respecte » de plus l’addition et la multiplication par un scalaire. Ainsi, si−→u et→−u′sont deux vecteurs du plan qui ont pour coordonnées respectives→−u¯¯¯
¯xy et−→u ¯ ¯ ¯ ¯x ′ y′ dans B alors θB¡−→u¢ =¡x, y¢ et θB¡−→u′¢ =¡x′, y′¢ (2.1) et le vecteur − →u + −→u′= x−→ı + y−→ + x′→−ı + y′→− =¡x + x′¢−→ı +¡ y + y′¢−→ a pour coordonnées¡ x + x′, y + y′¢
ce qui s’écrit aussi θB¡−→u + −→u′¢
=¡x + x′, y + y′¢ (2.2)
En identifiant les relations 2.1 et 2.2, on obtient θB¡−→u + −→u′¢
= θB¡−→u¢
+ θB¡−→u′¢ On montrerait de plus facilement que, siλest un réel, alorsθB
¡
λ−→u¢= λ · θB¡−→u¢
, ce qui n’est qu’une autre façon de dire queλ−→u a pour coordonnées¯¯¯
¯λxλy. Pour résumer ces deux égalités, on dit queθBest une application linéaire. Une application entre deux espaces vectoriels qui est à la fois linéaire et bijective est appelée un isomorphisme d’espaces
vectoriels.
– Si on connaît les coordonnées d’un pointA µ
xA yA
¶
et celles d’un pointB µ
xB yB
¶
dans un repère(O, −→ı , −→ ), on obtient celles µ x y ¶ de−→AB. Ainsi,x−→ ı + y−→ =−→AB =−→AO+OB =−→ −→OB −−→OA = xB→−ı + y B→− − x A−→ı − y A−→ = (x B− xA)−→ı +(y B− yA)−→ et donc en identifiant :−→ AB µ xB− xA yB− yA ¶ .
PROPOSITION2.3 Identification de P et de V avecR2 En résumé :
– un repère R(O, −→ı , −→ )étant fixé dans P, l’application qui a un point de P associe ses coordonnées dans R est une bijection de P dansR2. Cette bijection permet d’identifier le plan etR2.
– une base B étant fixée dans V , l’applicationθB qui à un vecteur de V lui associe ses coordonnées dans B est bijective et linéaire. Si on prend un peu d’avance sur le chapitre 23, on dit queθB est un isomorphisme d’espaces
BIO4 René Descartes, né 31 mars 1596 à La Haye, mort à Stockholm le 11 février 1650 René Descartes est un philosophe, physicien et mathématicien français. La pensée
de Descartes a eu des répercussions fondamentales sur la philosophie et la science moderne. Il est l’auteur du fameux ``Discours de la méthode´´. En tant que scien-tifique, les lignes suivantes, extraites de ce discours, devraient vous interpeller. La méthode fixe quatre principes pour la conduite de l’esprit humain : « Le premier était de ne recevoir jamais aucune chose pour vraie, que je ne la connusse évidem-ment être telle : c’est-à-dire, d’éviter soigneuseévidem-ment la précipitation et la préven-tion ; et de ne comprendre rien de plus en mes jugements, que ce qui se présenterait si clairement et si distinctement à mon esprit, que je n’eusse aucune occasion de le mettre en doute. Le second, de diviser chacune des difficultés que j’examinerais, en autant de parcelles qu’il se pourrait, et qu’il serait requis pour les mieux résoudre. Le troisième, de conduire par ordre mes pensées, en commençant par les objets les plus simples et les plus aisés à connaître, pour monter peu à peu, comme par degrés, jusqu’à la connaissance des plus composés ; et supposant même de l’ordre entre ceux qui ne se précèdent point naturellement les uns les autres. Et le dernier,
de faire partout des dénombrements si entiers, et des revues si générales, que je fusse assuré de ne rien omettre. ». Bien que François Viète utilise déjà une notation semi-symbolique, René Descartes est le premier à utiliser une notation entièrement symbolique. Il est à l’initiative de l’introduction des lettres latines dans les notations mathéma-tiques. Il propose d’utiliser les premières lettres de l’alphabet (a,b,c, ...) pour les paramètres et les dernières (x, y,z, ...) pour les inconnues. Nous utilisons toujours cette convention ! Descartes est aussi à l’origine de la notion de repère du plan et de ce qu’on appelle maintenant la géométrie analytique, ce qui nous intéresse ici. On raconte que c’est en observant une mouche qui se promenait sur les carreaux d’une fenêtre, qu’il aurait pensé à définir, à l’aide des carreaux, des coordonnées du plan. Descartes comprit le premier qu’on peut transformer un problème de géométrie en un problème algébrique. La géométrie de Descartes est publiée en français en1637et traduite en latin par Van Schooten en1649, puis, dans une édition considérablement augmentée et commentée en deux volumes en 1659et1661. Cette seconde édition favorisera considérablement la propagation des idées de Descartes.