0 La fonction est strictement quasi-concave

Solution Serie 1

1) u = q₁^aq^b₂

f1 = aq₁^a01q^b₂ ; f2 = bq₁^aq^b01₂

f11 = a(a 0 1)q₁^a02q₂^b ; f22 = b(b 0 1)q₁^aq₂^b02 f12 = abq₁^a01q₂^b01

a) jH^Bj =

a(a 0 1)q^a02₁ q^b₂ abq₁^a01q^b01₂ aq₁^a01q^b₂ abq₁^a01q₂^b01 b(b 0 1)q₁^aq₂^b02 bq^a₁q₂^b01

aq₁^a01q^b₂ bq₁^aq₂^b01 0

= ab(a + b)q₁^3a02q₂^3b02 > 0

La fonction est strictement quasi-concave.

b)+c) jHj =

a(a 0 1)q^a02₁ q₂^b abq^a01₁ q₂^b01 abq₁^a01q^b01₂ b(b 0 1)q^a₁q₂^b02

= ab[1 0 (a + b)]q₁^2a02q₂^2b02

Si a + b < 1 la matrice est denie negative et alors la fonction est strictement concave.

Si a + b = 1 la matrice est semi-denie negative et alors la fonction est concave.

Une fonction est concave si:

f(x¹ + (1 0 )x²) f(x¹) + (1 0 )f(x²)

S'il y a inegalite stricte, la fonction est strictement concave.

Prenons a = b = 0:5, x¹ = [4 9] ; x² = [16 36] ; = 0:5. On a:

f(0:5x¹ + 0:5x²) = 15 0:5f(x¹) + 0:5f(x²) = 15

La fonction n'est pas strictement concave.

La fonction de demande est obtenue en maximisant l'utilite sous la contrainte budgetaire.

Le lagrangien est:

L = q₁^aq₂^b + (y 0 p1q10 p2q2)

On a alors les conditions de premier ordre suivantes:

8>

<

>:

@L

a@q1 = aq₁^a01q₂^b 0 p1 = 0

@L

a@q2 = bq₁^aq₂^b010 p2 = 0

@L

a@ = y 0 p1q1 0 p2q2 = 0

La solution de ce systeme donne les fonctions de demande:

q1 = ^a_(a+b)p^ay ₁ ; q2 = ^a_(a+b)p^by ₂ 2)

u = [aq^0b₁ + (1 0 a)q₂^0b]^0s=b a)

[a(q1)^0b+ (1 0 a)(q2)^0b]^0s=b

1

= ^s[aq^0b₁ + (1 0 a)q₂^0b]^0s=b = ^su La fonction est homogene de degre s.

b)

Le lagrangien est:

L = [aq₁^0b+ (1 0 a)q₂^0b]^0s=b+ (y 0 p1q10 p2q2) et les conditions de premier ordre sont:

8>

<

>:

@L

a@q₁ = s[]^010s=baq^0b01₁ 0 p1 = 0

@L

a@q2 = s[]^010s=b(1 0 a)q₂^0b010 p2 = 0

@L

a@ = y 0 p1q1 0 p2q2 = 0

Soit = ^a_10a^a et = ^a_1+b¹ . On obtient les fonctions de demande suivantes:

q1 = ^a_p1+0^yp₁p^b₂

q2 = ^a_p2+^yp^b₁ p₂

c)

"ij = ^@qa_@pⁱ_j ^pa_q^j_i i = ^@qa_@y^{i a}_q^y_i

"11 = 0^(1+a₁₊₀⁰_p^p0b^{011 pb2 )} 1 p^b₂

"12 = 0^a_p^b0p1pb2

1+⁰p₁p^b₂

1 = 1

"22 = 0^(1+a_1+p^pb^{b1 p012 )} 1 p^0b₂

"21 = 0^a_p^{bpb1 p2}

2+p^b₁ p₂

2 = 1 3)

U = q₁²+ 2q₂²

f1 = 2q1 ; f11 = 2 : f12 = 0 f2 = 4q2 ; f22 = 4 : f21 = 0 jH^Bj =

2 0 2q1

0 4 4q2

2q1 4q2 0

= 016(2q₂²+ q²₁) < 0

La fonction est strictement convexe et alors les courbes d'indierence sont strictement con- caves.

La fonction de la courbe d'indierence est:

q2 =p^a

0:5u³ 0 0:5q₁²

d²q2

adq²₁ = ^a_4(0:5u3^0u00:5q^{3 2}₁)³⁼² < 0

Cette fonction est strictement concave. Par consequent, le consommateur n'achete qu'un seul bien.

Avec un revenu de 40 francs et les prix p1 = 4 et p2 = 5 il peut acheter 10 unites du pre- mier bien (U=100) ou 8 unites du deuxieme (U=128). La solution est donc q1 = 0 ; q2 = 8

2

4) U = 0:125q1q2+ q2

Le lagrangien est:

L = 0:125q1q2+ q2+ (y 0 p1q1 0 p2q2)

On a alors les conditions de premier ordre suivantes:

8>

<

>:

@L

a@q1 = 0:125q20 p1 = 0

@L

a@q₂ = 0:125q1+ 1 0 p2 = 0

@L

a@ = y 0 p1q1 0 p2q2 = 0 On obtient alors:

q1 = ^y08pa_2p1¹ ; q2 = ^y+8pa_2p2¹

Si y = 30 ; p1 = 5 ; p2 = 3 on a q1 = 01 ; q2 = ^35a₃ . Il faut alors introduire explicitement la contrainte q1 0 et utiliser Kuhn-Tucker. Si q1 = 0 on a q2 = 10 ( = 1=3) et les conditions de Kuhn-Tucker sont satisfaites. On a:

10

a8 0 ^5a₃ < 0 ; 1 0 ^3a₃ = 0 5)

u =P_m

i=1bi ln(qi 0 ci) Le lagrangien est:

L =P_m

i=1bi ln(qi 0 ci) + (y 0P piqi)

On a alors les conditions de premier ordre suivantes:

a_@L

@qi = ^a_qi^b_0cⁱ _i 0 pi = 0 i = 1; 2; : : : ; m

@L

a@ = y 0P

piqi = 0 Comme bi = pi(qi 0 ci), on a:

Pbi = 1 = (P

piqi0P pici) De ceci on tire = 1=(y 0P

pici) et alors:

qi = ci + ^ba_pⁱ_i(y 0P pjcj)

Cette fonction de demande est celle d'un systeme lineaire de depense. En eet, si l'on mul- tiplie a droite et a gauche par pi on trouve

piqi = pici+ bi(y 0P pjcj)

La depense pour le bien i est une fonction lineaire des prix et du revenu. Elle depend du parametre ci qui peut ^etre considere une quantite absolument necessaire que le consomma- teur commence a acheter. Il aura ainsi depenseP

pjcj. Le revenu restant (y 0P

pjcj) est ensuite reperti entre les dierents biens dans les proportions bi.

Le systeme lineaire de depense est facile a estimer mais il impose des restrictions tres fortes sur les elasticites. En eet on a:

"ii = 01 + ^cai(10b_qi ⁱ⁾

Si ci > 0 alors l'elasticite-prix est inferieure a l'unite.

Les elasticites-prix croisees sont:

"ij = 0bipajcj

piqi i 6= j

Tous les biens sont alors des substituts bruts.

Il y a aussi une relation etroite entre l'elasticite-prix et l'elasticite-revenu. En eet

"ii = i0 i(!i + bi)

ou !i = ^pai_y^qi et = 0(y 0P

pjcj)=y est appelee la exibilite du revenu. Comme !i et bi

sont des petites valeurs, on a, approximativement:

3

"ii i

La fonction de demande du systeme lineaire de depense est homogene de degre zero par rapport aux prix et au revenu, comme toutes les fonctions de demande obtenues en max- imisant une fonction d'utilite.

4