Produit scalaire et applications

Produit scalaire et applications

1. Définition et conséquences Définition

On se place dans un repère orthonormé du plan.

Soient→−

u(x;y) et−→

v(x^′;y^′) deux vecteurs.

On appelle produit scalaire de→− u et→−

v le réel noté

−

→u.−→

v et défini par :

−

→u.−→

v =xx^′+y y^′ Exemple :Avec−→

u(1; 2) et→− v(2; 3), on obtient→−

u.→−

v =2+6=8.

Remarques

• −→ u.−→

u =x²+y²= ||−→

u||², on notera parfois

||→− u||²=−→

u²

• Si l’un des deux vecteurs −→ u ou→−

v est nul alors le produit scalaire est nul. Cependant la réci- proque est fausse→−

u.−→

v =0 n’implique pas né- cessairement que−→

u ou−→

v soit le vecteur nul.

Exemple : avec−→

i (1; 0) et−→

j(0; 1) on a−→ i.−→

j =0 et pourtant ni−→

i ni−→

j ne sont le vecteur nul.

Lien avec la norme : Théorème.

Soient−→ u et−→

v deux vecteurs, on a l’égalité suivante :

−

→u.−→ v =1

2

³

||−→ u+−→

v||²− ||→− u||²− ||−→

v||²´ Démonstration :

Dans un repère orthonormé on considère les vecteurs

−

→u(x;y) et→− v(x^′;y^′).

On a :

• ||→−

u||²=x²+y²

• ||→−

v||²=x^′2+y^′2

• ||→− u+−→

v||²=(x+x^′)²+(y+y^′)²=x²+2xx^′+x^′2+y²+ 2y y^′+y^′2

d’où¹₂³

||→− u+→−

v||²− ||−→ u||²− ||→−

v||²

´

=xx^′+y y^′=→− u.→−

v.

Théorème

Le produit scalaire−→ u.−→

v est indépendant du repère choisi.

Autres expressions du produit scalaire

On peut définir de plusieurs manières le produit scalaire, selon le contexte on utilisera l’une de ces expressions.

Définitions équivalentes a. −→

u.−→ v =¹₂

³

||−→ u+−→

v||²− ||→− u||²− ||−→

v||²

´ . b. −→

u.−→ v = ||−→

u|| × ||−→

v|| ×cos(−→ u,−→

v)

c. Soit O, A et B trois points du plan tels que

−

→u =−−→ O Aet−→

v =−−→ OB.

Soit H le projeté orthogonal de B sur (OA).

−

→u.−→ v =−−→

O A.−−→ OB=−−→

O A.−−→

OH

Démonstration : Supposons que→−

u 6=−→ 0 et−→

v 6=−→

0 et posons−→ i = ^−→u

||−→ v||. Soit−→

j le vecteur tel que : (−→ i,→−

j)=^π₂ et||→−

v|| =1 ainsi le repère est repère orthonormé direct.

Dans ce repère on a −→

u = (||−→

u||; 0) et −→ v = (||→−

v||cosθ;||−→

v||sinθ) avecθ=(−→ u,−→

v) d’où :

−

→u.−→

v =ce qui démontre (2).

Si on considère→−

v^′ le projeté orthogonal de→− v sur la direction donnée par−→

u on a→− v =(||−→

v||cosθ; 0) d’où :

−

→u.−→ v^′= ||−→

u||×||→−

v||×cos(−→ u,−→

v)=−→ u.−→

v ce qui démontre (3).

Propriétés du produit scalaire

−

→u,→− v et−→

wsont trois vecteurs etλest un réel.

• Commutativité :−→ u.−→

v =−→ v.→−

u

• Linéarité : (λ−→ u).−→

v =λ−→ u.−→

v

• Distributivité : (−→ u+−→

v).−→ w=→−

u.→− w+→−

v.→− w on a aussi :−→

u.(−→ v+−→

w)=−→ u.−→

v+−→ u.−→

w

Identités remarquables : (→−

u+−→ v)²=−→

u²+2→− u.→−

v +→− v² (→−

u−−→ v)²=−→

u²−2→− u.→−

v +→− v² (→−

u+−→ v)(→−

u−−→ v)=→−

u²−−→ v² Inégalités

−||→− u|| × ||−→

v|| ≤−→ u.−→

v ≤ ||−→ u|| × ||−→

v||

||−→ u+−→

v|| ≤ ||→− v|| + ||→−

v||

Orthogonalité

Deux vecteurs non-nuls sont orthogonaux si, et seulement si→−

u.→− v =0.

2. Applications du produit scalaire

Équation d’une droite à l’aide d’un vecteur normal Dans un repère orthonormé on cherche à détermi- ner une équation de la droite△dont la direction est orthogonal au vecteur−→

n(a;b) non-nul passant par le pointA(xA;yA).

M(x;y) appartient à la droite△si et seulement si

−−→AM.−→ n=0

On a donc une équation de la droite△: (x−xA)×a+(y−yA)×b=0.

A

−

→n

△

Application :

Dans un RON , soient les points A(2; 1), B(0; 1) et C(1; 3).

Déterminer une équation de la droitedpassant par le pointAet perpendiculaire à la droite (BC)

Équation d’un cercle

Dans un repère orthonormé , on cherche à déter- miner une équation d’un cercleC dans les deux cas suivants.

Défini par son centre et son rayon :

Soit le cercleC de centreΩ(x0;y0) et de rayonr>0.

M(x;y) appartient au cercleC si et seulement si ΩM²=r²

on a donc une équation du cercleC : (x−x0)²+(y−y0)²=r².

Défini par son diamètre :

Soient A(xA,yA) et B(xB,yB) deux points distincts du plan etC le cercle de diamètre [AB].

M(x;y) appartient au cercleC si et seulement si

−−→AM.−−→

B M=0

on a donc une équation du cercleC : (x−xA)×(x−xB)+(y−yA)×(y−yB)=0.

M

A B

Théorème de la médiane

SoientM AB un triangle etI le milieu du segment [AB] on a :

• M A²+MB²=2M I²+¹₂AB²

• M A²−MB²=2−−→ M I.−→

B A

• −−→

M A.−−→

MB=M I²−I A²

M

A B

Démonstration : I

a.

M A²+MB²=(−−→ M I+−→

I A)²+(−−→ M I+−→

I B)² M A²+MB²=2M I²+I A²+I A²+2−−→

M I.−→ I A +2−−→

M I.−→ I B

M A²+MB²=2M I²+¹₂AB²+2−−→ M I.(−→

I A+−→ I B) M A²+MB²=2M I²+¹

2AB² b.

M A²−MB²=(−−→ M I+−→

I A)²−(−−→ M I+−→

I B)² M A²−MB²=2−−→

M I.−→ I A−2−−→

M I.−→ I B M A²−MB²=2−−→

M I.(−→ I A+−→

B I) M A²−MB²=2−−→

M I.−→

B A

c. −−→

M A.−−→

MB=(−−→ M I+−→

I A).(−−→ M I+−→

I B)

−−→M A.−−→

MB=(−−→ M I+−→

I A).(−−→ M I−−→

−−→ I A) M A.−−→

MB=M I²−I A²

Dans un triangle ABC, on notera :a=BC;b=AC; c=AB,ABC=Bb;B AC=Ab;AC B=Cb

bA

b

B

bC

c₁

a₁ b₁

c b

a

Théorème d’Al-Kashi

Dans un triangle quelconque ABC : b²=a²+c²−2accos(B)b

c²=a²+b²−2abcos(Cb) a²=b²+c²−2bccos(A)b

Formule des aires

Dans un triangle ABC non aplati, si on noteSl’aire du triangle ABC, on a :

S=1

2bcsi n(A)b =1

2acsi n(B)b =1

2absi n(C)b Formule des sinus

Pour tout triangle ABC non aplati, on a : a

si n(A)b = b

si n(B)b = c si n(Cb)