Semestre 3 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 2 durée : 2 heures – coefficient 1/2

2017-2019 – S3 – Mathématiques – DEVOIR 2 "partiel" CORRIGE Page 1 sur 3

IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation

M. Ferraris Promotion 2017-2019 12/12/2018

Semestre 3 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 2 durée : 2 heures – coefficient 1/2

CORRIGE

Exercice 1 échantillonnage (6 points)

Dans une exploitation, les pommes produites ont une masse distribuée normalement avec une moyenne de 145 g et un écart type de 15 g.

1) Quelle est la probabilité qu’une pomme ait une masse supérieure à 150 g ? 1 pt Soit X la variable « masse d’une pomme ». p(X > 150) = 0,3694.

2) Vous avez acheté une caisse contenant 50 pommes choisies de manière aléatoire. Calculer la probabilité pour que la masse moyenne des pommes de la caisse soit :

a. supérieure à 150 g 1 pt

X , variable « masse moyenne des pommes dans un échantillon de 50 », est distribuée par :

N

50 ≈ ). p(X > 150) = 0,009211.

b. inférieure à 142 g 0,5 pt

p(X < 142) = 0,07865.

c. Combien de pommes faudrait-il placer dans la caisse pour avoir seulement 1% de risque que leur masse

moyenne soit inférieure à 142 g ? 1,5 pt

En se servant directement du formulaire, on s'aperçoit qu'en loi normale centrée réduite, p(U < -2,33) = 0,01.

Or la variable X est distribuée par

N

n

15 ) et le lien entre les variables X et U est le suivant :

U X

n

= −145

15 . On en déduit :

( )

2 15 2,33

15 145 15 15

135,72

15 145 145 145 142 145

X n U U U

n n n

U X X X

n

 × − 

− ×  × 

= ⇔ = ⇔ = ⇔ =  ⇔ =  =

− −  −   −  .

Il faudrait donc placer au moins 136 pommes pour que ce risque soit limité à 1%.

3) a. Quelle est, dans l’exploitation, la proportion de pommes dépassant les 150 g ? 0,5 pt La question 1 a montré que π = 0,3694.

b. Quelle est la probabilité pour que, dans votre caisse de 50 pommes, la proportion de pommes dépassant

les 150 g soit supérieure à 50% ? 1,5 pt

La loi de P, « proportion de pommes dépassant 150 g dans un échantillon de 50 pommes », est :

N

(

)

n

 π − π 

π 

 

 

=

N

Exercice 2 estimation (5,5 points)

Une étude de marché a été menée sur 150 entreprises de l'agglomération Stéphanoise, par rapport à leurs besoins en personnels intérimaires. Les résultats sont les suivants :

besoins (heures/mois) [0 ; 200[ [200 ; 400[ [400 ; 600[ [600 ; 800[ [800 ; 1200[

effectifs (entreprises) 12 25 68 37 8

2017-2019 – S3 – Mathématiques – DEVOIR 2 "partiel" CORRIGE Page 2 sur 3 1) Donner le nombre moyen d'heures ainsi que l'écart-type de cette série. 1 pt

x=510,67 et s = 206,28

2) Donner une estimation ponctuelle de la moyenne et de l'écart-type correspondant à la population globale des

entreprises de l'agglomération Stéphanoise. 1 pt

ˆ=

µ 510,67 et ˆ 150

206,28 206,97

1 149

n s

= n = =

σ −

3) Donner l'intervalle de confiance à 95 % de cette moyenne (on considérera que l'écart-type de la population est connu et vaut l'estimation que vous avez donnée à la question 2). 2 pts L'écart type étant supposé connu, on utilise la formule I x u ;x u

n n

 

= − + 

 

σ σ _.

[ ]

; ;

206,97 206,97

510,67 1,96 510,67 1,96 477,5 543,8

150 150

I  

= − + =

 

4) Avec quel niveau de confiance obtiendrait-on un intervalle d'amplitude 40 heures ? 1,5 pt Il faudrait que u

n

σ , demi-amplitude de l'intervalle, soit égale à 20, soit : 206,97 150 20

u = . Ainsi, u = 1,183.

Ce coefficient de loi normale centrée réduite correspond à un niveau de confiance de 76,3 % environ.

Exercice 3 test d'adéquation du Khi-deux (4,5 points)

Un concessionnaire automobile discute avec vous au sujet des véhicules de type Kiroul (qui existent depuis de nombreuses années). Il affirme que lorsque ces véhicules vieillissent d'un an, 50% d'entre eux subissent des pannes telles qu'ils sont retirés de la circulation. Vous voulez tester ses dires et patiemment, récoltez des données sur l'âge et l'état de ceux dont vous avez connaissance, puis compilez vos résultats dans le tableau suivant :

âge du véhicule (années) 1 2 3 4 5

nombres observés de véhicules

Kiroul en circulation 78 56 30 18 4

1) Justifier que l'hypothèse du concessionnaire conduit forcément aux valeurs théoriques présentes en

deuxième ligne du tableau suivant : 0,5 pt

âge du véhicule (années) 1 2 3 4 5

nombres théoriques de

véhicules Kiroul en circulation 96 48 24 12 6

La règle de division par deux du nombre de véhicules à chaque année de vie supplémentaire s'applique bien dans cette distribution, et surtout : on y compte 186 véhicules au total, comme dans notre échantillon.

2) Appliquer un test du Khi-2 pour déterminer si, au seuil de 5%, la distribution des véhicules visible dans votre échantillon contredit la distribution théoriquement attendue. Expliquez le sens du seuil. 4 pts Plaçons dans un même tableau les observations an face des valeurs théoriques, et calculons les Khi2 partiels ainsi que le Khi2 total, Khi2calc :

obs 78 56 30 18 4

th 96 48 24 12 6

χ² 3,375 1,333333 1,5 3 0,666667

Khi2calc = 9,875

Dans la table du Khi2, pour 4 ddl, on voit que 9,875 nous positionne entre les seuils de risque 2% et 5%.

Ainsi, on peut rejeter au seuil de 5% l’adéquation entre les observations et la distribution théorique attendue. Autrement dit : on a au moins 95% de confiance dans le rejet des affirmations du

concessionnaire (entre 95% et 98%).

2017-2019 – S3 – Mathématiques – DEVOIR 2 "partiel" CORRIGE Page 3 sur 3 Exercice 4 test de conformité d'une proportion (4 points)

Un fabricant informatique déclare que "plus de 90 % des tablettes neuves du nouveau modèle a-Tab ne subissent aucune défaillance pendant les 900 premières heures d'utilisation". Sa production se fait en très grand nombre.

Une entreprise lui a commandé et a utilisé 25 tablettes a-Tab ; après 900 heures de service, 4 tablettes ont connu au moins une défaillance.

À partir des résultats obtenus dans cet échantillon de 25 tablettes, construire un test de conformité disant si on peut rejeter ou non la déclaration du fournisseur, au seuil de risque de 5 %.

Choix des hypothèses :

La valeur testée est ici une proportion : π⁰ = 90% = 0,9.

Ce qui nous ferait rejeter l’affirmation du fabricant serait de conclure que la vraie proportion est inférieure à 90%. Le test est unilatéral. H0 : π = 0,9

H1 : π < 0,9 Choix de la statistique :

Sous l’hypothèse nulle, les proportions relevables sur les échantillons de taille 25 forment une variable F décrivant la loi normale ^_^{0,9; 0,9 0,1}₂₅^{× }_⁼

(

)

 

N N

Choix du risque de première espèce : α = 5%

Règle de décision :

Suivant la loi normale centrée réduite, la valeur u_th telle que p(U < u_th) = 5% est –1,645 (en-dessous de cette valeur, on considérera notre échantillon comme trop exceptionnel et on rejettera H0).

La proportion p (de tablettes sans défaillance) relevée sur l’échantillon vaut 21/25 = 0,84. Après changement de variable, elle correspond pour la loi

N

Décision : Au seuil de 5%, on ne peut rejeter H0 : bien que la proportion de tablettes sans défaillance soit de 84%

dans l'échantillon, l’affirmation du vendeur ne peut être réfutée avec au moins 95% de confiance.

____________________ FIN DU SUJET ____________________