Semestre 2 - MATHEMATIQUES – TEST Probabilités durée : 2 heures – 20 points, sous-coefficient 1,5

2019-2021 – S2 – Mathématiques – TEST Probabilités CORRIGE – page 1 sur 3

IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation

M. Ferraris Promotion 2019-2021 25/05/2020

1

Semestre 2 - MATHEMATIQUES – TEST Probabilités durée : 2 heures – 20 points, sous-coefficient 1,5

CORRIGE

Exercice 1 : QCM (2 points) - cochez vos réponses ci-dessous

1 bonne réponse par question ; si réponse fausse, multiple ou manquante : 0 point 1) Quel est le bon ordre ?

A C

p p p

n n

n ≤ ≤ n^p ≤C_n^p ≤A_n^p C_n^p ≤A_n^p ≤n^p C_n^p ≤n^p ≤A_n^p 2) Lancer plusieurs dés en même temps conduit à calculer des :

p-listes arrangements combinaisons ça dépend

3) Si A et B ont chacun 50% de chances de se produire, alors les chances de A∩B sont :

50% 25% 0% ça dépend

4) Sur un arbre de choix, on peut lire directement des probabilités… :

d’événements conditionnelles conditionnelles des trois types et d’intersections et d’événements et d’intersections à la fois Exercice 2 : (2 points) Ensembles et cardinaux

En adaptant la formule ^{Card A}

(

)

( )

( )

(

)

( )

Card A∪ ∪B C , donc une formule n’utilisant que des ensembles simples et des intersections.

Pour la commodité d’écriture sur ordinateur, vous utiliserez le n minuscule pour désigner l’intersection et le u minuscule pour la réunion, par exemple : Card(AnB), Card(AuB).

( )

( ) ( ) ( ) ( ( ) )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( )

Card A B C Card A Card B C Card A B C

avec Card B C Card B Card C Card B C

et Card A B C Card A B A C Card A B Card A C Card A B C

∪ ∪ = + ∪ − ∩ ∪

∪ = + − ∩

∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ = ∩ + ∩ − ∩ ∩

Donc :

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Card A∪ ∪B C =Card A +Card B +Card C −Card B∩ −C Card A∩ −B Card A∩ +C Card A∩ ∩B C

Exercice 3 : (6 points) Dénombrements

1) Combien de nombres entiers, entre 10000 et 99999, ne contiennent ni 0, ni 1, ni 2 ? 0,75 pt

2520 7776 15625 16807

Une issue est un nombre de cinq chiffres. Pour former une issue, il faut piocher cinq chiffres (p = 5) parmi un ensemble qui en contient sept (de 3 à 9) (n = 7).

Dans une issue, la répétition d’un chiffre est possible et l’ordre des chiffres est à prendre en compte.

Une issue est donc une p-liste. Le nombre d’issues est n^p = 7⁵ = 16807.

2) Combien de nombres entiers, entre 0 et 99999, ne contiennent ni 0, ni 1, ni 2 ? 1 pt

3619 9330 19607 20515

On doit ici cumuler le nombre de nombres de 1 chiffre, de 2 chiffres, de 3 chiffres, de 4 chiffres et de 5 chiffres. Dans ce cas : 7¹ + 7² + 7³ + 7⁴ + 7⁵ = 7×(7⁵ – 1)/6 = 19607.

3) Des consommateurs doivent élire leurs quatre produits préférés parmi une liste de douze produits, en citant les quatre par ordre de préférence. Combien de classements différents sont possibles ? 1 pt

495 11880 20736 16777216

2019-2021 – S2 – Mathématiques – TEST Probabilités CORRIGE – page 2 sur 3

Une issue est une liste de quatre produits. Pour former une issue, il faut choisir quatre produits (p = 4) parmi un ensemble qui en contient douze (n = 12).

Dans une issue, la répétition d’un produit est impossible et l’ordre des produits est à prendre en compte.

Une issue est donc un arrangement. Le nombre d’issues est A = 11880. ₁₂⁴

4) 15 magasins se trouvent dans une rue, dont 5 sont des magasins de vêtements et 3 sont des magasins d’alimentation. La mairie décide d’attribuer une prime à quatre magasins dont les noms seront tirés au sort parmi les 15.

a. Combien existe-t-il de tirages différents possibles de quatre magasins ? 0,75 pt Une issue est un groupe de quatre magasins. Pour former une issue, il faut choisir quatre magasins (p = 4) parmi un ensemble qui en contient quinze (n = 15).

Dans une issue, la répétition d’un magasin est impossible et l’ordre des magasins n’a pas d’importance. Une issue est donc une combinaison. Le nombre d’issues est C = 1365. ₁₅⁴

b. Parmi ces tirages possibles, combien comportent deux magasins de vêtements et un magasin

d’alimentation ? 1,25 pt

Les magasins sont partitionnés en trois catégories : les magasins de vêtements, d’alimentation et les autres.

Schématisons l’ensemble E des 15 magasins et les tirages T souhaités :

E T

Le nombre de tirages T possibles est :

2 1 1

5 3 7

C × ×C C =10 3 7× × =210. vêtements

alimentation

5 3

2 1

autres 7 1

total 15 4

c. Quel est le plus probable parmi les deux propositions suivantes : que le futur tirage au sort comporte 1 ou 2 magasins de vêtements ? (votre réponse devra bien entendu être justifiée par des calculs)

1,25 pt On peut appliquer le raisonnement et les calculs précédents à tous les types de tirages :

E T1 T2

vêtements 5 1 2

autres 10 3 2

total 15 4 4

nombre tirages 600 450

Il est plus probable de tirer au sort 1 magasin de vêtements que d’en tirer 2.

Exercice 4 : (2 points) Probabilités conditionnelles

Une expérience aléatoire consiste à lancer un dé et noter son résultat.

Donner un exemple de deux événements compatibles, mais indépendants (et justifier).

Définissons A : « nombre pair » et B : « nombre supérieur ou égal à 3 ». A et B peuvent être réalisés par la même issue (4 ou 6), donc ils sont compatibles. p(A) = 3/6 et pB(A) = 2/4 = p(A), donc A et B sont

indépendants.

Exercice 5 : (3 points) Probabilités conditionnelles

10% des Français de plus de 18 ans sont gauchers (événement « G »). 60% de ces derniers ont eu leur bac avec mention (événement « M »), contre 35% des droitiers.

Construisons un arbre de choix probabilisé reprenant les informations ci-dessus, en y ajoutant les probabilités d’intersections de M, G et leurs contraires. (au brouillon)

0,6 M 0,06

0,1 G

0,4 M 0,04 0,35 M 0,315

0,9 G

0,65 M 0,585

2019-2021 – S2 – Mathématiques – TEST Probabilités CORRIGE – page 3 sur 3

1) Un élève vient de voir ses résultats au bac et s’écrie « Je l’ai eu avec mention ! » Quelle est la probabilité

que cet élève soit gaucher ? 2 pts

pM(G) =

( )

( ) ( )

( ) ( )

p G M p G M 0,06

0,16 16%

p M p G M p G M 0,06 0,315

∩ ∩

= = = =

∩ + ∩ + .

Il y a 16% de chances que cet élève soit gaucher.

2) Les événements G et M sont-ils indépendants ? 1 pt

( )

( ) ( )

p G =0,1 ; p G =0,16≠p G . Donc G et M ne sont pas indépendants.

ou : ^{p G}

(

)

( ) ( )

(

)

Exercice 6 : (5 points) Probabilités simples et lois

Reprenons un exemple vu en TD : celui du lancer de deux dés au bout duquel on note le total des deux dés.

On se souviendra que les 36 couples possibles {(1,1), (1,2), …, (3,3), (3,4), (3,5), …, (5,6), (6,6)} sont

équiprobables et donc que, par exemple, la probabilité de réaliser un total de 9 est p(9) = 4/36, car 4 couples (sur les 36) donnent un total de 9 : (3,6), (4,5), (5,4), (6,3).

On note A l’événement « obtenir un total strictement inférieur à 8 », B l’événement « obtenir un total allant de 8 à 10 » et C l’événement « obtenir un total strictement supérieur à 10 ».

1) a. Donner les probabilités des événements A, B et C. 0,75 pt

Le tableau ci-contre croise les valeurs possibles de chaque dé et en fait le total. Grâce à cela, nous voyons que 21 couples conduisent à l’événement A, 12 couples à l’événement B et 3 couples à l’événement C.

p(A) = 21/36 ; p(B) = 12/36 et p(C) = 3/36.

b. Ces trois événements forment-ils une partition de l’univers des possibles ? 0,75 pt Ces événements ne se recoupent pas, ils sont incompatibles : aucun couple, parmi les 36, ne fait partie de deux d’entre eux. De plus, ils regroupent à eux trois les 36 couples.

Ils forment donc une partition de l’univers des possibles.

2) Lorsqu’une partie est jouée, obtenir l’événement A ne rapporte aucun gain au joueur ; l’événement B lui donne un gain de 1 € et l’événement C un gain de 7€.

a. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X : « gain d’une partie ». 0,5 pt

gain (€) xi 0 1 7

probabilité pi 21/36 12/36 3/36

b. Pour jouer une partie, un joueur doit miser un euro. Sur un grand nombre de parties, qui est gagnant ?

L’organisateur ou les joueurs ? 1 pt

Espérance de gain : ^E

( )

(

)

36 36

X = × + × + × = ≈ .

Comme on mise 1€ à chaque essai, on s’attend donc, à long terme, à perdre 0,0833 € par essai.

Par exemple : au bout de 1000 essais, les joueurs auront perdu globalement une somme proche de 83 €.

En conclusion : il ne faut pas jouer à ce jeu à long terme.

c. L’organisateur du jeu prévoit un total de 30 000 parties jouées par mois, lorsque le jeu sera en ligne depuis un certain temps. Donner un intervalle à 95% de confiance du gain mensuel que l’organisateur

peut prévoir. 2 pts

Ecart type du gain, par partie : ^σ

( )

Intervalle de confiance du gain total :

[ ]

0,08333 30000 1,96 1,8911 30000 ; 0,08333 30000 1,96 1,8911 30000 1858 ; 3142

I = × − × × × + × × =

Il y a 95% de chances que son gain mensuel soit compris entre 1858 € et 3142 €.

____________________ FIN DU SUJET ____________________