2019-2021 – S2 – Mathématiques – TEST Probabilités – page 1 sur 3
IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation
M. Ferraris Promotion 2019-2021 25/05/2020
Semestre 2 - MATHEMATIQUES – TEST Probabilités durée : 2 heures – 20 points, sous-coefficient 1,5
Le présent sujet est l’énoncé de votre dernier test du second semestre. Il vous a été fourni juste avant 13 heures et est à traiter à domicile, au brouillon. Vous devez saisir vos réponses sur ExoOnLine, dans les six tests prévus à cet effet (un par exercice). Le tout est à effectuer en deux heures, mais pour des questions de gêne éventuelle liée à la saisie, 15 minutes supplémentaires vous sont accordées : vous avez jusqu’à 15h15 pour avoir terminé la saisie de vos réponses en ligne (les étudiants bénéficiant
d’un tiers temps auront jusqu’à 16h).
Exercice 1 : QCM (2 points) - cochez vos réponses ci-dessous
1 bonne réponse par question ; si réponse fausse, multiple ou manquante : 0 point 1) Quel est le bon ordre ?
A C
p p p
n n
n ≤ ≤ np ≤Cnp ≤Anp Cnp ≤Anp ≤np Cnp ≤np ≤Anp
2) Lancer plusieurs dés en même temps conduit à calculer des :
p-listes arrangements combinaisons ça dépend
3) Si A et B ont chacun 50% de chances de se produire, alors les chances de A∩B sont :
50% 25% 0% ça dépend
4) Sur un arbre de choix, on peut lire directement des probabilités… :
d’événements conditionnelles conditionnelles des trois types et d’intersections et d’événements et d’intersections à la fois
Exercice 2 : (2 points) Ensembles et cardinaux
En adaptant la formule Card A
(
∪ =B)
Card A( )
+Card B( )
−Card A(
∩B)
, trouver une formule analogue pour( )
Card A∪ ∪B C , donc une formule n’utilisant que des ensembles simples et des intersections.
Pour la commodité d’écriture sur ordinateur, vous utiliserez le n minuscule pour désigner l’intersection et le u minuscule pour la réunion, par exemple : Card(AnB), Card(AuB).
Exercice 3 : (6 points) Dénombrements
1) Combien de nombres entiers, entre 10000 et 99999, ne contiennent ni 0, ni 1, ni 2 ? 0,75 pt
2520 7776 15625 16807
2) Combien de nombres entiers, entre 0 et 99999, ne contiennent ni 0, ni 1, ni 2 ? 1 pt
3619 9330 19607 20515
3) Des consommateurs doivent élire leurs quatre produits préférés parmi une liste de douze produits, en citant les quatre par ordre de préférence. Combien de classements différents sont possibles ? 1 pt
495 11880 20736 16777216
4) 15 magasins se trouvent dans une rue, dont 5 sont des magasins de vêtements et 3 sont des magasins d’alimentation. La mairie décide d’attribuer une prime à quatre magasins dont les noms seront tirés au sort parmi les 15.
a. Combien existe-t-il de tirages différents possibles de quatre magasins ? 0,75 pt b. Parmi ces tirages possibles, combien comportent deux magasins de vêtements et un magasin
d’alimentation ? 1,25 pt
c. Quel est le plus probable parmi les deux propositions suivantes : que le futur tirage au sort comporte 1 ou 2 magasins de vêtements ? (votre réponse devra bien entendu être justifiée par des calculs)
1,25 pt
2019-2021 – S2 – Mathématiques – TEST Probabilités – page 2 sur 3 Exercice 4 : (2 points) Probabilités conditionnelles
Une expérience aléatoire consiste à lancer un dé et noter son résultat.
Donner un exemple de deux événements compatibles, mais indépendants (et justifier).
Exercice 5 : (3 points) Probabilités conditionnelles
10% des Français de plus de 18 ans sont gauchers (événement « G »). 60% de ces derniers ont eu leur bac avec mention (événement « M »), contre 35% des droitiers.
1) Un élève vient de voir ses résultats au bac et s’écrie « Je l’ai eu avec mention ! » Quelle est la probabilité
que cet élève soit gaucher ? 2 pts
2) Les événements G et M sont-ils indépendants ? 1 pt
Exercice 6 : (5 points) Probabilités simples et lois
Reprenons un exemple vu en TD : celui du lancer de deux dés au bout duquel on note le total des deux dés. On se souviendra que les 36 couples possibles {(1,1), (1,2), …, (3,3), (3,4), (3,5), …, (5,6), (6,6)} sont
équiprobables et donc que, par exemple, la probabilité de réaliser un total de 9 est p(9) = 4/36, car 4 couples (sur les 36) donnent un total de 9 : (3,6), (4,5), (5,4), (6,3).
On note A l’événement « obtenir un total strictement inférieur à 8 », B l’événement « obtenir un total allant de 8 à 10 » et C l’événement « obtenir un total strictement supérieur à 10 ».
1) a. Donner les probabilités des événements A, B et C. 0,75 pt
b. Ces trois événements forment-ils une partition de l’univers des possibles ? 0,75 pt 2) Lorsqu’une partie est jouée, obtenir l’événement A ne rapporte aucun gain au joueur ; l’événement B lui
donne un gain de 1 € et l’événement C un gain de 7€.
a. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X : « gain d’une partie ». 0,5 pt b. Pour jouer une partie, un joueur doit miser un euro. Sur un grand nombre de parties, qui est gagnant ?
L’organisateur ou les joueurs ? 1 pt
c. L’organisateur du jeu prévoit un total de 30 000 parties jouées par mois, lorsque le jeu sera en ligne depuis un certain temps. Donner un intervalle à 95% de confiance du gain mensuel que l’organisateur
peut prévoir. 2 pts
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