RÉPUBLIQUE FRANÇAISE

1 Ministère de l’enseignement supérieur et

de la recherche

Arrêté du

relatif aux programmes de la classe préparatoire économique et commerciale, option économique (ECE)

NOR ESR

Le ministre de l’éducation nationale et la ministre de l’enseignement supérieur et de la recherche, - Vu le code de l’éducation ;

- Vu le décret n°94-1015 du 23 novembre 1994 modifié relatif à l’organisation et au fonctionnement des classes préparatoires aux grandes écoles organisées dans les lycées relevant des ministres chargés de l’éducation, de l’agriculture et des armées, et notamment son article 11 ;

- Vu l’arrêté du 23 mars 1995 définissant la nature des classes composant les classes préparatoires économiques et commerciales aux grandes écoles ;

- Vu l’arrêté du 23 mars 1995 relatif à l’organisation et aux horaires des classes préparatoires économiques et commerciales aux grandes écoles ;

- Vu l’arrêté du 3 juillet 1995 relatif aux objectifs de formation et aux programmes des première et seconde années des classes préparatoires économiques et commerciales, option économique (ECE) ;

- Vu l’arrêté du 10 juin 2003 relatif aux programmes de première année de mathématiques- informatique des classes préparatoires économiques et commerciales, option économique (ECE) ; - Vu l’avis du Conseil national de l’enseignement supérieur et de la recherche en date du ; - Vu l’avis du Conseil supérieur de l’éducation en date du ;

Arrêtent : Article 1

Le programme de première année de mathématiques-informatique de la classe préparatoire économique et commerciale, option économique (ECE) figurant en annexe 6 de l’arrêté du 10 juin 2003 susvisé, est remplacé par celui figurant en annexe 1 du présent arrêté.

Article 2

Les programmes de première et seconde années d’économie, d’analyse économique et historique des sociétés contemporaines de la classe préparatoire économique et commerciale, option économique (ECE) figurant respectivement aux annexes 5 et 4 de l’arrêté du 3 juillet 1995 susvisé, sont remplacés par ceux figurant aux annexes 2 et 3 du présent arrêté.

Article 3

Est modifiée comme suit l’annexe 2 de l’arrêté du 23 mars 1995 susvisé en ce qui concerne l’intitulé de deux disciplines :

A) Au lieu de : économie Lire : économie approfondie.

B) Au lieu de : analyse économique et historique des sociétés contemporaines

Lire : économie, sociologie et histoire du monde contemporain

2 universitaire 2013 et ceux relatifs à la seconde année entrent en vigueur à compter de la rentrée universitaire 2014.

Article 5

Le directeur général de l’enseignement scolaire et la directrice générale pour l’enseignement supérieur et l’insertion professionnelle sont chargés de l’exécution du présent arrêté.

Fait le

Pour le ministre de l’éducation nationale et par délégation :

Le directeur général de l’enseignement scolaire

Pour la ministre de l’enseignement supérieur et de la recherche et par délégation :

La directrice générale pour l’enseignement supérieur et l’insertion professionnelle

Le présent arrêté et ses annexes seront consultables au Bulletin officiel du ministère de l’enseignement

supérieur et de la recherche au Bulletin officiel de l’éducation nationale du mis en ligne sur les

sites www.enseignementsup-recherche.gouv.fr et www.education.gouv.fr

ANNEXE 1

Table des mati` eres

INTRODUCTION 3

1 Objectifs g´ en´ eraux de la formation 3

2 Comp´ etences d´ evelopp´ ees 3

3 Architecture des programmes 4

ENSEIGNEMENT DE MATH´ EMATIQUES DU PREMIER SEMESTRE 6

I - Raisonnement et vocabulaire ensembliste 6

1 - El´ ements de logique . . . . 6

2 - Raisonnement par r´ ecurrence . . . . 6

3 - Ensembles, applications . . . . 7

a) Ensembles, parties d’un ensemble . . . . 7

b) Applications . . . . 7

II - Calcul matriciel et r´ esolution de syst` emes lin´ eaires 7 1 - Calcul matriciel . . . . 7

a) D´ efinitions . . . . 7

b) Op´ erations matricielles . . . . 8

2 - Syst` emes lin´ eaires . . . . 8

III - Suites de nombres r´ eels 8 1 - G´ en´ eralit´ es sur les suites r´ eelles . . . . 8

2 - Suites usuelles : formes explicites . . . . 9

3 - Convergence d’une suite r´ eelle . . . . 9

4 - Comportement asymptotique des suites usuelles . . . . 9

IV - Fonctions r´ eelles d’une variable r´ eelle 9 1 - Compl´ ements sur les fonctions usuelles . . . . 10

a) Fonctions polynomiales, polynˆ omes . . . . 10

b) Fonctions logarithme et exponentielle . . . . 10

c) Fonction racine carr´ ee, fonction inverse, fonctions puissances x 7−→ x

. . . . 10

d) Fonction valeur absolue . . . . 10

e) Fonction partie enti` ere . . . . 10

2 - Limite et continuit´ e d’une fonction en un point . . . . 11

3 - ´ Etude globale des fonctions d’une variable sur un intervalle . . . . 11

V - Probabilit´ es sur un univers fini 12 1 - ´ Ev´ enements . . . . 12

2 - Coefficients binomiaux . . . . 12

3 - Probabilit´ e . . . . 12

4 - Probabilit´ e conditionnelle . . . . 13

5 - Ind´ ependance en probabilit´ e . . . . 13

ENSEIGNEMENT DE MATH´ EMATIQUES DU SECOND SEMESTRE 13

I - Calcul diff´ erentiel et int´ egral 13

1 - Calcul diff´ erentiel . . . . 13

a) D´ erivation . . . . 13

b) D´ eriv´ ees successives . . . . 14

c) Convexit´ e . . . . 14

2 - Int´ egration sur un segment . . . . 14

a) D´ efinition . . . . 14

b) Propri´ et´ es de l’int´ egrale . . . . 15

c) Techniques de calcul d’int´ egrales . . . . 15

3 - Int´ egrales sur un intervalle de type [a, +∞[, ] − ∞, b] ou ] − ∞, +∞[ . . . . 15

II - ´ Etude ´ el´ ementaire des s´ eries 16 1 - S´ eries num´ eriques ` a termes r´ eels . . . . 16

2 - S´ eries num´ eriques usuelles . . . . 16

III - Espaces vectoriels et applications lin´ eaires 16 a) Structure vectorielle sur M

(R) . . . . 17

b) Sous-espaces vectoriels de M

(R) . . . . 17

c) Applications lin´ eaires de M

(R) dans M

(R) . . . . 17

IV - Probabilit´ es - Variables al´ eatoires r´ eelles 17 1 - Probabilit´ es - g´ en´ eralisation . . . . 18

a) Notion de tribu . . . . 18

b) Probabilit´ e . . . . 18

c) Ind´ ependance en probabilit´ e . . . . 18

2 - G´ en´ eralit´ es sur les variables al´ eatoires r´ eelles . . . . 19

3 - Variables al´ eatoires discr` etes . . . . 19

a) Variable al´ eatoire discr` ete ` a valeurs dans R . . . . 19

b) Moments d’une variable al´ eatoire discr` ete . . . . 19

4 - Lois usuelles . . . . 20

a) Lois discr` etes finies . . . . 20

b) Lois discr` etes infinies . . . . 20

5 - Introduction aux variables al´ eatoires r´ eelles ` a densit´ e . . . . 20

a) D´ efinition des variables al´ eatoires ` a densit´ e . . . . 20

b) Esp´ erance d’une variable al´ eatoire ` a densit´ e . . . . 21

c) Lois ` a densit´ e usuelles . . . . 21

ENSEIGNEMENT ANNUEL D’INFORMATIQUE ET ALGORITHMIQUE 22 I - ´ El´ ements d’informatique et d’algorithmique 22 1 - L’environnement logiciel . . . . 22

a) Constantes pr´ ed´ efinies. Cr´ eation de variables par affectation. . . . . 22

b) Construction de vecteurs et de matrices num´ eriques . . . . 22

c) Op´ erations ´ el´ ementaires . . . . 22

d) Fonctions usuelles pr´ ed´ efinies . . . . 22

2 - Graphisme en deux dimensions . . . . 23

3 - Programmation d’algorithmes et de fonctions . . . . 23 II - Liste des savoir-faire exigibles en premi` ere ann´ ee 23

INTRODUCTION

1 Objectifs g´ en´ eraux de la formation

Les math´ ematiques jouent un rˆ ole important en sciences ´ economiques et en gestion, dans les domaines notam- ment de la finance ou de la gestion d’entreprise, de la finance de march´ e, des sciences sociales. Les probabilit´ es et la statistique interviennent dans tous les secteurs de l’´ economie et dans une grande vari´ et´ e de contextes (actua- riat, biologie, ´ epid´ emiologie, finance quantitative, pr´ evision ´ economique...) o` u la mod´ elisation de ph´ enom` enes al´ eatoires ` a partir de bases de donn´ ees est indispensable.

Les programmes d´ efinissent les objectifs de l’enseignement des classes pr´ eparatoires ´ economiques et commerciales et d´ ecrivent les connaissances et les capacit´ es exigibles des ´ etudiants. Ils pr´ ecisent ´ egalement certains points de terminologie et certaines notations.

Les limites du programme sont clairement pr´ ecis´ ees. Elles doivent ˆ etre respect´ ees aussi bien dans le cadre de l’enseignement en classe que dans l’´ evaluation.

L’objectif n’est pas de former des professionnels des math´ ematiques, mais des personnes capables d’utiliser des outils math´ ematiques ou d’en comprendre l’usage dans diverses situations de leur parcours acad´ emique et professionnel.

Une fonction fondamentale de l’enseignement des math´ ematiques dans ces classes est de structurer la pens´ ee des ´ etudiants et de les former ` a la rigueur et ` a la logique en insistant sur les divers types de raisonnement (par

´

equivalence, implication, l’absurde, analyse-synth` ese, ...).

2 Comp´ etences d´ evelopp´ ees

L’enseignement de math´ ematiques en classes pr´ eparatoires ´ economiques et commerciales vise en particulier ` a d´ evelopper chez les ´ etudiants les comp´ etences suivantes :

• Rechercher et mettre en œuvre des strat´ egies ad´ equates : savoir analyser un probl` eme, ´ emettre des conjectures notamment ` a partir d’exemples, choisir des concepts et des outils math´ ematiques pertinents.

• Mod´ eliser : savoir conceptualiser des situations concr` etes (ph´ enom` enes al´ eatoires ou d´ eterministes) et les traduire en langage math´ ematique, ´ elaborer des algorithmes.

• Interpr´ eter : ˆ etre en mesure d’interpr´ eter des r´ esultats math´ ematiques dans des situations concr` etes, avoir un regard critique sur ces r´ esultats.

• Raisonner et argumenter : savoir conduire une d´ emonstration, confirmer ou infirmer des conjectures.

• Maˆ ıtriser le formalisme et les techniques math´ ematiques : savoir employer les symboles math´ e- matiques ` a bon escient, ˆ etre capable de mener des calculs de mani` ere pertinente et efficace. Utiliser avec discernement l’outil informatique.

• Communiquer par ´ ecrit et oralement : comprendre les ´ enonc´ es math´ ematiques, savoir r´ ediger une

solution rigoureuse, pr´ esenter une production math´ ematique.

3 Architecture des programmes

Le niveau de r´ ef´ erence ` a l’entr´ ee de la fili` ere EC voie ´ economique est celui de l’enseignement obligatoire de la classe de terminale ´ economique et sociale ou de l’enseignement de sp´ ecialit´ e de la classe de terminale litt´ eraire.

Le programme se situe dans le prolongement de ceux des classes de premi` ere et terminale de la fili` ere ES ou de sp´ ecialit´ e de premi` ere et terminale L.

Il est indispensable que chaque enseignant ait une bonne connaissance des programmes du lyc´ ee, afin que ses approches p´ edagogiques ne soient pas en rupture avec l’enseignement qu’auront re¸ cu les ´ etudiants en classes de premi` ere et de terminale.

Le programme s’organise autour de quatre points forts qui trouveront leur prolongement dans les ´ etudes futures des ´ etudiants :

• L’alg` ebre lin´ eaire est abord´ ee, en premi` ere ann´ ee, par le biais du calcul : calcul matriciel, syst` emes d’´ equations lin´ eaires. Seule la pr´ esentation de l’espace vectoriel M

(R) muni de sa base canonique est exigible. L’espace vectoriel, comme objet g´ en´ eral, n’est pr´ esent´ e qu’en seconde ann´ ee. Ce choix a pour ambition de familiariser les ´ etudiants avec le calcul multidimensionnel tout en les pr´ eparant ` a l’introduction de la notion abstraite d’espace vectoriel.

• L’analyse vise ` a mettre en place les m´ ethodes courantes de travail sur les suites et les fonctions et permet de d´ evelopper la rigueur. On s’attache principalement ` a d´ evelopper l’aspect op´ eratoire. On n’insiste donc ni sur les questions trop fines ou sp´ ecialis´ ees ni sur les exemples «pathologiques». On ´ evite les situations conduisant

`

a une trop grande technicit´ e calculatoire.

Il est ` a noter que, dans ce programme, les comparaisons des suites et des fonctions en termes de n´ egligeabilit´ e et d’´ equivalents ne seront trait´ ees qu’en seconde ann´ ee. L’´ etude des s´ eries et des int´ egrales g´ en´ eralis´ ees par crit` eres de comparaison n’est pas au programme de la premi` ere ann´ ee.

• Les probabilit´ es s’inscrivent dans la continuit´ e de la formation initi´ ee d` es la classe de troisi` eme et poursuivie jusqu’en classe de terminale. Le formalisme abstrait (axiomatique de Kolmogorov) donnera de nouveaux outils de mod´ elisation de situations concr` etes.

On consid´ erera des espaces probabilis´ es finis au premier semestre, plus g´ en´ eraux au second semestre.

En continuit´ e avec les programmes du lyc´ ee, le concept de variable al´ eatoire ` a densit´ e est pr´ esent´ e d` es la pre- mi` ere ann´ ee sur des exemples simples, et permet de justifier une premi` ere approche des int´ egrales g´ en´ eralis´ ees en analyse, qui sera ´ etoff´ ee en seconde ann´ ee.

• L’informatique est enseign´ ee tout au long de l’ann´ ee en lien direct avec le programme de math´ ematiques.

Cette pratique r´ eguli` ere permettra aux ´ etudiants de construire ou de reconnaˆıtre des algorithmes relevant par exemple de la simulation de lois de probabilit´ e, de la recherche de valeurs approch´ ees en analyse ou du traitement de calculs matriciels en alg` ebre lin´ eaire.

Il est important de mettre en valeur l’interaction entre les diff´ erentes parties du programme. Les probabili- t´ es permettent en particulier d’utiliser certains r´ esultats d’analyse (suites, s´ eries, int´ egrales, ...) et d’alg` ebre lin´ eaire et justifient l’introduction du vocabulaire ensembliste.

Le programme de math´ ematiques est organis´ e en deux semestres de volume sensiblement ´ equivalent. Ce d´ e- coupage en deux semestres d’enseignement doit ˆ etre respect´ e. En revanche, au sein de chaque semestre, aucun ordre particulier n’est impos´ e et chaque professeur conduit en toute libert´ e l’organisation de son enseignement, bien que la pr´ esentation par blocs soit fortement d´ econseill´ ee.

Dans le contenu du premier semestre, figurent les notions n´ ecessaires et les objets de base qui serviront d’appui

`

a la suite du cours. Ces ´ el´ ements sont accessibles ` a tous les ´ etudiants quelles que soient les pratiques ant´ e- rieures et potentiellement variables de leurs lyc´ ees d’origine, et la sp´ ecialit´ e qu’ils auront choisie en classe de terminale. Ces contenus vont, d’une part, permettre une approche plus approfondie et rigoureuse de concepts d´ ej` a pr´ esents mais peu explicit´ es en classe de terminale, et d’autre part, mettre en place certaines notions et techniques de calcul et de raisonnement fondamentales pour la suite du cursus.

Le programme se pr´ esente de la mani` ere suivante : dans la colonne de gauche figurent les contenus exigibles

des ´ etudiants ; la colonne de droite comporte des pr´ ecisions sur ces contenus ou des exemples d’activit´ es ou d’applications.

Les d´ eveloppements formels ou trop th´ eoriques doivent ˆ etre ´ evit´ es. Ils ne correspondent pas au cœur de for- mation de ces classes pr´ eparatoires.

Les r´ esultats mentionn´ es dans le programme seront admis ou d´ emontr´ es selon les choix didactiques faits par le professeur. Pour certains r´ esultats, marqu´ es comme «admis», la pr´ esentation d’une d´ emonstration en classe est d´ econseill´ ee.

Les s´ eances de travaux dirig´ es permettent de privil´ egier la prise en main, puis la mise en œuvre par les

´

etudiants, des techniques usuelles et bien d´ elimit´ ees, inscrites dans le corps du programme. Cette maˆıtrise s’acquiert notamment par l’´ etude de probl` emes que les ´ etudiants doivent in fine ˆ etre capables de r´ esoudre par eux-mˆ emes.

Le symbole I indique les parties du programme pouvant ˆ etre trait´ ees en liaison avec l’informatique.

L’enseignement informatique est commun ` a l’ensemble des fili` eres des classes ´ economiques. Le logiciel de

r´ ef´ erence choisi pour ce programme est Scilab.

ENSEIGNEMENT DE MATH´ EMATIQUES DU PREMIER SEMESTRE

I - Raisonnement et vocabulaire ensembliste

Ce chapitre pr´ esente des points de vocabulaire, des notations, ainsi que certains types de raisonnement (par l’ab- surde, par contrapos´ ee, par r´ ecurrence...) et de d´ emonstrations (d’implications, d’´ equivalences, d’inclusions...) dont la maˆıtrise s’av` ere indispensable ` a une argumentation rigoureuse sur le plan math´ ematique.

Les sections de ce chapitre ne doivent pas faire l’objet d’un expos´ e th´ eorique. Les notions seront introduites pro- gressivement au cours du semestre, ` a l’aide d’exemples vari´ es issus des diff´ erents chapitres ´ etudi´ es, et pourront ˆ

etre renforc´ ees au-del` a, en fonction de leur utilit´ e.

1 - El´ ements de logique Les ´ etudiants doivent savoir :

• utiliser correctement les connecteurs logiques

« et », « ou » ;

• utiliser ` a bon escient les quantificateurs univer- sel et existentiel ; rep´ erer les quantifications impli- cites dans certaines propositions et, particuli` ere- ment, dans les propositions conditionnelles ;

Notations : ∃, ∀.

Les ´ etudiants doivent savoir employer les quantifica- teurs pour formuler de fa¸ con pr´ ecise certains ´ enonc´ es et leur n´ egation. En revanche, l’emploi des quantifi- cateurs ` a des fins d’abr´ eviation est exclu.

• distinguer, dans le cas d’une proposition condi- tionnelle, la proposition directe, sa r´ eciproque, sa contrapos´ ee et sa n´ egation ;

• utiliser ` a bon escient les expressions « condition n´ ecessaire », « condition suffisante » ;

• formuler la n´ egation d’une proposition ;

• utiliser un contre-exemple pour infirmer une pro- position universelle ;

• reconnaˆıtre et utiliser des types de raisonnement sp´ ecifiques : raisonnement par disjonction des cas, recours ` a la contrapos´ ee, raisonnement par l’ab- surde.

2 - Raisonnement par r´ ecurrence

Apprentissage et emploi du raisonnement par r´ ecurrence.

Tout expos´ e th´ eorique sur le raisonnement par r´ e- currence est exclu.

Notations P , Q

. Illustration par manipulation de sommes et de

produits. I Formules donnant :

n

X

k=1

k,

n

X

k=1

k

.

Les ´ etudiants doivent savoir employer les notations

n

X

i=1

u

et X

α∈A

u

o` u A d´ esigne un sous-ensemble fini

de N ou de N

.

3 - Ensembles, applications

L’objectif de cette section est d’acqu´ erir le vocabulaire ´ el´ ementaire sur les ensembles et les applications, mais tout expos´ e th´ eorique est exclu.

a) Ensembles, parties d’un ensemble Ensemble, ´ el´ ement, appartenance.

Sous-ensemble (ou partie), inclusion.

Ensemble P (E) des parties de E.

R´ eunion. Intersection.

On fera le lien entre les op´ erations ensemblistes et les connecteurs logiques usuels (« et », « ou », ...).

Compl´ ementaire. Compl´ ementaire d’une union et d’une intersection.

Le compl´ ementaire d’une partie A de E est not´ e ¯ A.

Produit cart´ esien. On introduira les notations R

et R

.

b) Applications D´ efinition.

Composition.

Injection, surjection, bijection, application r´ eci- proque.

Compos´ ee de deux bijections, r´ eciproque de la com- pos´ ee.

Ces notions seront introduites sur des exemples simples, toute manipulation trop complexe ´ etant ex- clue.

La notion d’image r´ eciproque d’une partie de l’en- semble d’arriv´ ee n’est pas un attendu du pro- gramme.

On pourra donner des exemples issus du cours d’ana- lyse.

II - Calcul matriciel et r´ esolution de syst` emes lin´ eaires

L’objectif de cette partie du programme est :

− d’une part d’initier au calcul matriciel afin de permettre la r´ esolution de probl` emes issus, notamment, des probabilit´ es.

− d’autre part de parvenir ` a une bonne maˆıtrise de la r´ esolution des syst` emes lin´ eaires et de les interpr´ eter sous forme matricielle.

L’´ etude de ce chapitre pourra ˆ etre men´ ee en lien avec l’informatique. I 1 - Calcul matriciel

a) D´ efinitions

D´ efinition d’une matrice r´ eelle ` a n lignes et p colonnes. Ensemble M

(R).

Matrices colonnes, matrices lignes.

Ensemble M

(R). Matrices triangulaires, diagonales. Matrice identit´ e.

Transpos´ ee d’une matrice. Matrices sym´ etriques. Notation

A. On caract´ erisera les matrices sym´ e-

triques ` a l’aide de la transpos´ ee.

b) Op´ erations matricielles

Somme, produit par un nombre r´ eel, produit.

Propri´ et´ es des op´ erations.

Transpos´ ee d’une somme, d’un produit de matrices carr´ ees.

On pourra faire le lien entre le produit AB et le produit de A avec les colonnes de B. I

Op´ erations sur les matrices carr´ ees ; puissances. Exemples de calcul des puissances n-` emes d’une ma- trice carr´ ee ; application ` a l’´ etude de suites r´ eelles satisfaisant ` a une relation de r´ ecurrence lin´ eaire ` a coefficients constants. I

La formule du binˆ ome n’est pas un attendu du pro- gramme du premier semestre.

Matrices inversibles.

Inverse d’un produit.

On admettra que pour une matrice carr´ ee, un inverse gauche ou droit est l’inverse.

2 - Syst` emes lin´ eaires

Tout d´ eveloppement th´ eorique est hors programme.

D´ efinition d’un syst` eme lin´ eaire.

Syst` eme homog` ene, syst` eme de Cramer.

R´ esolution par la m´ ethode du pivot de Gauss. La m´ ethode sera pr´ esent´ ee ` a l’aide d’exemples.

On codera les op´ erations ´ el´ ementaires sur les lignes de la fa¸ con suivante :

L

← L

+ bL

(i 6= j), L

← aL

(a 6= 0), L

↔ L

, L

← aL

+ bL

(i 6= j, a 6= 0). I Ecriture matricielle ´ AX = Y d’un syst` eme lin´ eaire. La r´ esolution directe sans application syst´ ematique

de la m´ ethode du Pivot peut ˆ etre avantageuse lorsque certaines ´ equations ont des coefficients nuls.

Calcul de l’inverse de la matrice A par la r´ esolution du syst` eme AX = Y .

Caract´ erisation de l’inversibilit´ e des matrices trian- gulaires.

Caract´ erisation de l’inversibilit´ e d’une matrice car- r´ ee d’ordre 2.

III - Suites de nombres r´ eels

L’´ etude des suites num´ eriques au premier semestre permet aux ´ etudiants de se familiariser avec la notion de suite r´ eelle et de convergence. Tout expos´ e trop th´ eorique sur ces notions est ` a exclure.

Cette premi` ere approche des suites ´ elargit la conception de la notion de fonction.

L’´ etude des suites classiques pourra se faire en lien ´ etroit avec la partie probabilit´ es pour mettre en avant l’utilit´ e de cet outil num´ erique.

La notion de convergence d’une suite r´ eelle pourra ˆ etre introduite en lien avec l’informatique. I

1 - G´ en´ eralit´ es sur les suites r´ eelles D´ efinitions, notations.

Exemples de d´ efinitions : par formules r´ ecursives ou

explicites, par restriction d’une fonction de variable

r´ eelle aux entiers.

2 - Suites usuelles : formes explicites

Suite arithm´ etique, suite g´ eom´ etrique. Formule donnant

n

X

k=0

q

.

Calculs de sommes portant sur les suites arithm´ e- tiques et g´ eom´ etriques.

Suite arithm´ etico-g´ eom´ etrique. Les ´ etudiants devront se ramener au cas d’une suite g´ eom´ etrique.

Suite v´ erifiant une relation lin´ eaire de r´ ecurrence d’ordre 2.

On se limitera au cas des racines r´ eelles. I

3 - Convergence d’une suite r´ eelle

Aucune d´ emonstration concernant les r´ esultats de cette section n’est exigible.

Limite d’une suite, suites convergentes. (u

)

converge vers `, ´ el´ ement de R, si tout inter- valle ouvert contenant `, contient les termes u

pour tous les indices n, hormis un nombre fini d’entre eux.

G´ en´ eralisation aux limites infinies.

Unicit´ e de la limite.

Op´ erations alg´ ebriques sur les suites convergentes.

Compatibilit´ e du passage ` a la limite avec la relation d’ordre.

Existence d’une limite par encadrement.

Aucune technicit´ e sur ces op´ erations ne sera exig´ ee.

Suites monotones. Suites adjacentes.

Th´ eor` eme de la limite monotone. Toute suite croissante (respectivement d´ ecroissante) et major´ ee (respectivement minor´ ee) converge.

Toute suite croissante (respectivement d´ ecroissante) non major´ ee (respectivement non minor´ ee) tend vers +∞ (respectivement −∞) .

Deux suites adjacentes convergent et ont la mˆ eme limite.

4 - Comportement asymptotique des suites usuelles

Croissances compar´ ees. Comparaison des suites (n

), (q

), ((ln(n))

).

IV - Fonctions r´ eelles d’une variable r´ eelle

Il s’agit, dans ce chapitre, de fournir aux ´ etudiants un ensemble de connaissances de r´ ef´ erence sur les fonctions usuelles et quelques th´ eor` emes sur les fonctions d’une variable r´ eelle. Ils pourront m´ emoriser ces r´ esultats grˆ ace aux repr´ esentations graphiques qui en constituent une synth` ese. Le champ des fonctions ´ etudi´ ees se limite aux fonctions usuelles et ` a celles qui s’en d´ eduisent de fa¸ con simple. On se restreindra aux fonctions d´ efinies sur un intervalle de R. Les fonctions trigonom´ etriques sont hors programme.

L’´ etude des fonctions usuelles donnera aux ´ etudiants l’occasion de mobiliser leurs connaissances de terminale concernant les fonctions d’une variable r´ eelle.

L’analyse reposant largement sur la pratique des in´ egalit´ es, on s’assurera que celle-ci est acquise ` a l’occasion d’exercices.

Aucune d´ emonstration concernant les r´ esultats de ce chapitre n’est exigible.

1 - Compl´ ements sur les fonctions usuelles

a) Fonctions polynomiales, polynˆ omes

Degr´ e, somme et produit de polynˆ omes. Par convention, deg 0 = −∞.

La construction des polynˆ omes formels n’est pas au programme, on pourra identifier polynˆ omes et fonctions polynomiales.

Ensemble R[X ] des polynˆ omes ` a coefficients dans R, ensembles R

[X] des polynˆ omes ` a coefficients dans R de degr´ e au plus n.

Racines d’un polynˆ ome. Factorisation par (X − a) dans un polynˆ ome ayant a comme racine.

Application : un polynˆ ome de R

[X ] admettant plus de n + 1 racines distinctes est nul.

Pratique, sur des exemples, de la division eucli- dienne. I

Trinˆ omes du second degr´ e. Discriminant d’un trinˆ ome du second degr´ e. Fac- torisation dans le cas de racines r´ eelles. Lorsqu’il n’y a pas de racine r´ eelle, le signe du trinˆ ome reste constant sur R.

b) Fonctions logarithme et exponentielle

Rappel des propri´ et´ es. Positions relatives des courbes repr´ esentatives de ln, exp, x 7−→ x.

Etudes asymptotiques, croissances compar´ ´ ees.

c) Fonction racine carr´ ee, fonction inverse, fonctions puissances x 7−→ x

D´ efinitions ; notations, propri´ et´ es, repr´ esentations

graphiques.

On fera une ´ etude d´ etaill´ ee des fonctions puissances.

Les ´ etudiants doivent connaˆıtre les r` egles de calcul sur les puissances.

Par le biais d’exercices, ´ etude de fonctions du type x 7−→ u(x)

.

d) Fonction valeur absolue

D´ efinition. Propri´ et´ es, repr´ esentation graphique. Lien avec la distance sur R.

On insistera sur la fonction valeur absolue, non ´ etu- di´ ee au lyc´ ee.

e) Fonction partie enti` ere

D´ efinition. Repr´ esentation graphique. Notation x 7−→ bxc.

La notation E est r´ eserv´ ee ` a l’esp´ erance math´ ema-

tique. La fonction partie enti` ere permet de discr´ eti-

ser des ph´ enom` enes continus.

2 - Limite et continuit´ e d’une fonction en un point D´ efinition de la limite d’une fonction en un point et de la continuit´ e d’une fonction en un point.

Unicit´ e de la limite.

Limite ` a gauche, limite ` a droite. Extension au cas o` u la fonction est d´ efinie sur I \ {x

}.

Extension de la notion de limite en ±∞ et aux cas des limites infinies.

On adoptera la d´ efinition suivante : f ´ etant une fonc- tion d´ efinie sur un intervalle I, x

´ etant un r´ eel ´ el´ e- ment de I ou une extr´ emit´ e de I, et ` un ´ el´ ement de R, on dit que f admet ` pour limite en x

si, pour tout nombre ε > 0, il existe un nombre α > 0 tel que pour tout ´ el´ ement x de I ∩ [x

− α, x

+ α],

|f (x) − `| 6 ε ; par suite, lorsque x

appartient ` a I, cela signifie que f est continue au point x

et, dans le cas contraire, que f se prolonge en une fonction continue au point x

.

Op´ erations alg´ ebriques sur les limites.

Compatibilit´ e du passage ` a la limite avec les rela- tions d’ordre.

Existence d’une limite par encadrement.

Limite d’une fonction compos´ ee.

Si f est une fonction d´ efinie sur un intervalle I ad- mettant une limite ` en un point x

, et si (u

) est une suite d’´ el´ ements de I convergeant vers x

, alors la suite (f (u

)) converge vers `.

Comparaison des fonctions exponentielle, puissance et logarithme au voisinage de +∞ et des fonctions puissance et logarithme au voisinage de 0.

Les notions d’´ equivalence et de n´ egligeabilit´ e ne se- ront abord´ ees qu’en deuxi` eme ann´ ee.

3 - ´ Etude globale des fonctions d’une variable sur un intervalle Fonctions paires, impaires.

Fonctions major´ ees, minor´ ees, born´ ees.

Fonctions monotones.

Th´ eor` eme de la limite monotone. Toute fonction monotone sur ]a, b[

(−∞ 6 a < b 6 +∞) admet des limites finies

`

a droite et ` a gauche en tout point de ]a, b[.

Comportement en a et b.

Fonctions continues sur un intervalle. Op´ erations al- g´ ebriques, composition.

Fonctions continues par morceaux. Une fonction f est continue par morceaux sur le segment [a, b] s’il existe une subdivision a

= a < a

< · · · < a

= b telle que les restrictions de f ` a chaque intervalle ouvert ]a

, a

[ ad- mettent un prolongement continu ` a l’intervalle ferm´ e [a

, a

].

Th´ eor` eme des valeurs interm´ ediaires.

L’image d’un intervalle (respectivement un seg- ment) par une fonction continue est un intervalle (respectivement un segment).

R´ esultat admis.

Notations : max

t∈[a,b]

f (t) et min

t∈[a,b]

f (t).

On illustrera ces r´ esultats par des repr´ esentations graphiques et on montrera comment les mettre en

´ evidence sur un tableau de variations.

Th´ eor` eme de la bijection. Toute fonction continue et strictement monotone sur

un intervalle I d´ efinit une bijection de I sur l’inter-

valle f (I).

Continuit´ e et sens de variation de la fonction r´ eci- proque.

Repr´ esentation graphique de la fonction r´ eciproque.

On utilisera ces r´ esultats pour l’´ etude des ´ equations du type f (x) = k.

En liaison avec l’algorithmique, m´ ethode de dichotomie. I

Application ` a l’´ etude de suites (u

) telles que v

= f (u

).

V - Probabilit´ es sur un univers fini

L’objectif de ce chapitre est de mettre en place, dans le cas fini, un cadre dans lequel on puisse ´ enoncer des r´ esultats g´ en´ eraux et mener des calculs de probabilit´ es sans difficult´ e th´ eorique.

On fera le lien avec les arbres pond´ er´ es, pr´ econis´ es durant le cycle terminal du lyc´ ee. Ils seront remplac´ es par des raisonnements dont l’emploi, plus souple, pourra ˆ etre g´ en´ eralis´ e, par la suite, aux univers infinis.

Les coefficients binomiaux doivent ˆ etre repris en conformit´ e avec l’approche du cycle terminal du lyc´ ee.

Dans tout ce chapitre, Ω est un ensemble fini (on g´ en´ eralisera les notions rencontr´ ees au second semestre).

1 - ´ Ev´ enements Exp´ erience al´ eatoire.

Univers des r´ esultats observables.

On d´ egagera ces concepts ` a partir de l’´ etude de quelques situations simples o` u l’ensemble Ω des r´ e- sultats possibles est fini, et o` u P(Ω) est l’ensemble des ´ ev´ enements.

Ev´ ´ enements, ´ ev´ enements ´ el´ ementaires, op´ erations sur les ´ ev´ enements, ´ ev´ enements incompatibles.

On fera le lien entre connecteurs logiques et op´ era- tions sur les ´ ev´ enements.

Syst` eme complet d’´ ev´ enements fini. On se limitera aux syst` emes complets d’´ ev´ enements de type A

, ..., A

(n ∈ N

), o` u les A

sont des par- ties deux ` a deux disjointes et de r´ eunion ´ egale ` a Ω.

2 - Coefficients binomiaux

Factorielle, notation n!. Interpr´ etation de n! en tant que nombre de permu- tations d’un ensemble ` a n ´ el´ ements. I

Parties ` a p ´ el´ ements d’un ensemble ` a n ´ el´ ements.

Coefficients binomiaux, notation n

p

. Relation

n p

= n

n − p

.

On fera le lien entre les parties ` a p ´ el´ ements d’un ensemble ` a n ´ el´ ements et le nombre de chemins d’un arbre r´ ealisant p succ` es pour n r´ ep´ etitions.

Formule du triangle de Pascal. La formule de Pascal fournit un algorithme de cal- cul efficace pour le calcul num´ erique des coefficients binomiaux. I

n p

= n!

p!(n − p)! . On pourra d´ emontrer cette formule par r´ ecurrence

`

a partir de la formule du triangle de Pascal.

3 - Probabilit´ e

D´ efinition d’une probabilit´ e sur P(Ω). On restreindra, pour ce premier semestre, la notion de probabilit´ e ` a une application P de P (Ω) dans [0, 1] v´ erifiant :

• pour tous A et B de P (Ω) tels que A ∩ B = ∅, P(A ∪ B) = P (A) + P(B)

• P (Ω) = 1.

Cas de l’´ equiprobabilit´ e.

Formule de Poincar´ e ou du crible dans le cas n 6 3.

4 - Probabilit´ e conditionnelle

Probabilit´ e conditionnelle. Notation P

.

Formule des probabilit´ es compos´ ees. • Si P(A) 6= 0, P (A ∩ B ) = P (A)P

(B).

• Si P(A

∩ A

∩ . . . ∩ A

) 6= 0, P

T

i=1

A

= P (A

) P

(A

) . . . P

(A

).

Formule des probabilit´ es totales.

Formule de Bayes.

Si (A

)

est un syst` eme complet d’´ ev´ enements fini, alors pour tout ´ ev´ enement B : P (B) = P

i∈I

P (B∩A

).

On donnera de nombreux exemples d’utilisation de ces formules. En particulier on pourra appliquer la formule des probabilit´ es totales ` a l’´ etude de chaˆınes de Markov simples.

5 - Ind´ ependance en probabilit´ e

Ind´ ependance de deux ´ ev´ enements. Si P (A) 6= 0, A et B sont ind´ ependants si et seulement si P

(B) = P (B).

Ind´ ependance mutuelle de n ´ ev´ enements (n ∈ N

).

Si n ´ ev´ enements A

sont mutuellement ind´ epen- dants, il en est de mˆ eme pour les ´ ev´ enements B

, avec B

= A

ou A

.

ENSEIGNEMENT DE MATH´ EMATIQUES DU SECOND SEMESTRE

I - Calcul diff´ erentiel et int´ egral

Le but de ce chapitre est de mettre en place les m´ ethodes courantes de travail sur les fonctions.

Les int´ egrales g´ en´ eralis´ ees sont introduites en tant qu’outil pour la d´ efinition et l’´ etude des variables al´ eatoires

`

a densit´ e. Toute technicit´ e sur les int´ egrales g´ en´ eralis´ ees est ` a exclure.

Aucune d´ emonstration concernant les r´ esultats de ce chapitre n’est exigible.

1 - Calcul diff´ erentiel

a) D´ erivation

D´ eriv´ ee en un point, d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 1 au voisinage d’un point.

Tangente au graphe en un point.

D´ eriv´ ee ` a gauche, ` a droite.

Fonction d´ erivable sur un intervalle, fonction d´ eri- v´ ee.

Notation f

.

Op´ erations sur les d´ eriv´ ees : lin´ earit´ e, produit, quo- tient, fonctions puissances.

D´ eriv´ ee des fonctions compos´ ees.

D´ erivation des fonctions r´ eciproques.

On ´ evitera tout exc` es de technicit´ e dans les calculs

de d´ eriv´ ees.

In´ egalit´ es des accroissements finis. (1) Si m 6 f

6 M sur un intervalle I, alors :

∀(a, b) ∈ I

, a 6 b,

m(b − a) 6 f (b) − f (a) 6 M (b − a).

(2) Si |f

| 6 k sur un intervalle I, alors :

∀(a, b) ∈ I

, |f (b) − f (a)| 6 k|b − a|.

Application, sur des exemples, ` a l’´ etude de suites r´ e- currentes du type : u

= f (u

) lorsque

|f

| 6 k < 1. I

Tout expos´ e th´ eorique sur les suites r´ ecurrentes g´ e- n´ erales est exclu.

Caract´ erisation des fonctions constantes et mono- tones par le signe de la d´ eriv´ ee.

R´ esultat admis.

Si f est une fonction d´ erivable sur un intervalle I et si f

> 0 sur I, f

ne s’annulant qu’en un nombre fini de points, alors f est strictement croissante sur I.

Extremum local d’une fonction d´ erivable. Une fonction f , d´ erivable sur un intervalle ouvert I, admet un extremum local en un point de I si sa d´ eriv´ ee s’annule en changeant de signe en ce point.

b) D´ eriv´ ees successives Fonctions p fois d´ erivables.

Fonctions de classe C

, de classe C

. Op´ erations alg´ ebriques.

Notation f

.

c) Convexit´ e

Tous les r´ esultats de cette section seront admis.

D´ efinition d’une fonction convexe. Une fonction est convexe sur un intervalle I si :

∀(x

, x

) ∈ I

, ∀(t

, t

) ∈ [0, 1]

tels que t

+ t

= 1, f (t

x

+ t

x

) 6 t

f (x

) + t

f (x

).

Interpr´ etation g´ eom´ etrique. I Fonctions concaves.

Points d’inflexion.

Caract´ erisation des fonctions convexes de classe C

. Si f est de classe C

, f est convexe si et seulement si l’une de ces deux propositions est v´ erifi´ ee :

• f

est croissante ;

• C

est au-dessus de ses tangentes.

Caract´ erisation des fonctions convexes et concaves de classe C

.

2 - Int´ egration sur un segment

a) D´ efinition

Aire sous la courbe d’une fonction positive. Dans le cas o` u f est continue monotone, on consta- tera que cette fonction « aire sous la courbe » admet f pour d´ eriv´ ee.

Primitive d’une fonction continue sur un intervalle.

Toute fonction f continue sur un intervalle admet, sur cet intervalle, au moins une primitive F .

Admis.

Int´ egrale d’une fonction continue sur un segment.

Relation de Chasles.

Si f est continue sur un intervalle I, pour tout (a, b) ∈ I

, on d´ efinit l’int´ egrale de f de a ` a b par :

Z

a

f (t)dt = F(b) − F(a),

o` u F est une primitive de f sur I. Cette d´ efinition est ind´ ependante du choix de la primitive F de f sur I.

Int´ egrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment.

b) Propri´ et´ es de l’int´ egrale Lin´ earit´ e et positivit´ e de l’int´ egrale.

L’int´ egrale d’une fonction positive sur un segment est positive.

L’int´ egrale d’une fonction continue et positive sur un segment est nulle si et seulement si la fonction est identiquement nulle sur le segment.

Si a 6 b,

Z

a

f (t) dt

6 Z

a

|f(t)| dt 6 (b − a) max

t∈[a,b]

|f (t)|.

On apprendra aux ´ etudiants ` a majorer et ` a minorer des int´ egrales, par utilisation de ces in´ egalit´ es ou par int´ egration d’in´ egalit´ es.

c) Techniques de calcul d’int´ egrales

On ´ evitera tout exc` es de technicit´ e pour les calculs d’int´ egrales par changement de variable.

Calcul de primitives « ` a vue », d´ eduites de la recon- naissance de sch´ emas inverses de d´ erivation.

On insistera sur le mod` ele u

(x)u(x)

(α 6= −1 ou α = −1).

Int´ egration par parties. Changement de variables. Les changements de variables autres qu’affines seront pr´ ecis´ es dans les exercices.

On pourra ` a titre d’exemples ´ etudier des suites d´ efinies par une int´ egrale et des fonctions d´ efinies par une int´ egrale.

Sommes de Riemann ` a pas constant. Sur des exemples, on pourra mettre en œuvre la m´ e- thode des rectangles pour le calcul approch´ e d’une int´ egrale. I

3 - Int´ egrales sur un intervalle de type [a, +∞[, ] − ∞, b] ou ] − ∞, +∞[

Convergence des int´ egrales Z

a

f (t) dt o` u f est continue sur [a, +∞[.

Z

a

f (t) dt converge si lim

x→+∞

Z

a

f (t) dt existe et est finie.

Lin´ earit´ e, positivit´ e, relation de Chasles. Les techniques de calcul (int´ egration par parties, changement de variables non affine) ne seront pratiqu´ ees qu’avec des int´ egrales sur un segment.

L’´ etude de la convergence des int´ egrales de fonc-

tions positives par des crit` eres de comparaison sera

faite en seconde ann´ ee. On pourra ´ eventuellement

aborder, sur des exemples, le cas 0 6 f 6 g.

Convergence des int´ egrales de Riemann Z

1

dt t

et de

Z

0

e

dt.

Convergence absolue. En premi` ere ann´ ee, cette notion est abord´ ee unique- ment pour permettre une d´ efinition de l’esp´ erance d’une variable al´ eatoire ` a densit´ e.

La convergence absolue implique la convergence. R´ esultat admis.

Extension des notions pr´ ec´ edentes aux int´ egrales Z

−∞

f (t) dt et

Z

−∞

f (t) dt.

II - Etude ´ ´ el´ ementaire des s´ eries

Ce chapitre fait suite au chapitre sur les suites num´ eriques r´ eelles du premier semestre, une s´ erie ´ etant introduite comme une suite de sommes partielles. Aucune technicit´ e n’est exigible en premi` ere ann´ ee. L’´ etude des variables al´ eatoires discr` etes sera l’occasion d’une mise en œuvre naturelle de ces premi` eres connaissances sur les s´ eries.

L’´ etude des s´ eries sera compl´ et´ ee en seconde ann´ ee par les techniques de comparaison sur les s´ eries ` a termes positifs.

1 - S´ eries num´ eriques ` a termes r´ eels S´ erie de terme g´ en´ eral u

.

Sommes partielles associ´ ees.

On soulignera l’int´ erˆ et de la s´ erie de terme g´ en´ eral u

− u

pour l’´ etude de la suite (u

).

D´ efinition de la convergence.

Combinaison lin´ eaire de s´ eries convergentes.

X

n>n₀

u

converge si

n

X

k=n₀

u

admet une limite finie lorsque n tend vers +∞.

On pratiquera, sur des exemples simples, l’´ etude des s´ eries (convergence, calcul exact ou approch´ e de la somme). I

Convergence absolue. En premi` ere ann´ ee, cette notion est abord´ ee unique- ment pour permettre une d´ efinition de l’esp´ erance d’une variable al´ eatoire discr` ete.

La convergence absolue implique la convergence. R´ esultat admis.

2 - S´ eries num´ eriques usuelles Etude des s´ ´ eries X

q

, X

nq

, X

n(n − 1)q

et calcul de leurs sommes.

Convergence et somme de la s´ erie exponentielle X x

n! .

R´ esultats admis.

III - Espaces vectoriels et applications lin´ eaires

Ce chapitre ne doit pas donner lieu ` a un expos´ e th´ eorique ; on donne ici une premi` ere approche concr` ete ` a des

notions qui seront g´ en´ eralis´ ees en seconde ann´ ee. Pour simplifier ce premier contact, l’´ etude se limitera ` a l’espace

M

(R), en privil´ egiant les exemples pour n ∈ {2, 3, 4}.

a) Structure vectorielle sur M

(R) Structure vectorielle sur M

(R).

Combinaisons lin´ eaires.

On privil´ egiera le travail sur les espaces M

(R), M

(R), M

(R).

Base canonique. Les bases canoniques des espaces vectoriels ci-dessus

seront donn´ ees de fa¸ con naturelle.

b) Sous-espaces vectoriels de M

(R) Sous-espaces vectoriels de M

(R).

Sous-espace vectoriel engendr´ e, notation Vect(u

, u

, . . . , u

).

Exemple fondamental : ensemble des solutions d’un syst` eme lin´ eaire homog` ene ` a 2, 3, 4 inconnues.

Base d’un sous-espace vectoriel. (u

, u

, . . . , u

) est une base du sous-espace vecto- riel F de E si et seulement si tout vecteur de F se d´ ecompose de mani` ere unique sous forme d’une combinaison lin´ eaire de (u

, u

, . . . , u

).

c) Applications lin´ eaires de M

(R) dans M

(R) Propri´ et´ es des applications f de M

(R) dans M

(R) d´ efinies par X 7−→ M X, M ´ etant une ma- trice ` a p lignes et n colonnes.

Toute application lin´ eaire f de M

(R) dans M

(R) est de la forme f : X 7−→ M X.

Exemples pratiques dans le cas o` u n ∈ {1, 2, 3, 4} et p ∈ {1, 2, 3, 4}.

Noyau d’une application lin´ eaire. Le noyau est un sous-espace vectoriel de M

(R).

Lien entre recherche du noyau et r´ esolution d’un sys- t` eme homog` ene.

Image d’une application lin´ eaire. L’image est un sous-espace vectoriel de M

(R).

Im(f ) =Vect(f (e

), . . . , f(e

)) o` u (e

, e

, . . . , e

) est la base canonique de M

(R).

Lien entre recherche de l’image et r´ esolution de sys- t` eme. I

IV - Probabilit´ es - Variables al´ eatoires r´ eelles

Dans ce chapitre, on g´ en´ eralise l’´ etude faite au premier semestre ; les notions de tribu et d’espace probabilis´ e sont introduites. Tout expos´ e trop th´ eorique sur ces notions est cependant exclu.

L’´ etude des variables al´ eatoires et notamment celles des lois usuelles se fera en lien ´ etroit avec la partie infor- matique du programme. I

L’´ etude des variables al´ eatoires discr` etes se fera dans la mesure du possible en tant qu’outil de mod´ elisation de probl` emes concrets.

On sensibilisera les ´ etudiants ` a la notion d’approximation de loi, dans la continuit´ e du programme de terminale,

en utilisant notamment l’approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson sur des exemples judicieux.

1 - Probabilit´ es - g´ en´ eralisation

a) Notion de tribu

Tribu ou σ-alg` ebre d’´ ev´ enements. Notation A.

On donnera quelques exemples significatifs d’´ ev´ ene- ments de la forme :

A =

+∞

\

n=0

A

et A =

+∞

[

n=0

A

.

On g´ en´ eralisera dans ce paragraphe l’´ etude effectu´ ee lors du premier semestre.

Aucun raisonnement th´ eorique autour de la notion de tribu n’est exigible des ´ etudiants.

G´ en´ eralisation de la notion de syst` eme complet d’´ ev´ enements ` a une famille d´ enombrable d’´ ev´ ene- ments deux ` a deux incompatibles et de r´ eunion ´ egale

` a Ω.

b) Probabilit´ e

Une probabilit´ e P est une application d´ efinie sur A et ` a valeurs dans [0, 1], σ-additive et telle que P (Ω) = 1.

On g´ en´ eralisera ici la notion de probabilit´ e ´ etudi´ ee au premier semestre.

Notion d’espace probabilis´ e. Notation (Ω, A, P ).

Propri´ et´ es vraies presque sˆ urement.

Th´ eor` eme de la limite monotone. • Pour toute suite croissante (A

) d’´ ev´ enements, P

+∞

[

n=0

A

!

= lim

n→+∞

P (A

).

• Pour toute suite d´ ecroissante (A

) d’´ ev´ enements, P

+∞

\

n=0

A

!

= lim

n→+∞

P (A

).

Cons´ equences du th´ eor` eme de la limite monotone. • P

+∞

[

n=0

A

!

= lim

n→+∞

P

n

[

k=0

A

! .

• P

+∞

\

n=0

A

!

= lim

n→+∞

P

n

\

k=0

A

! .

Les d´ emonstrations de ces formules ne sont pas exi- gibles.

G´ en´ eralisation de la notion de probabilit´ e conditionnelle.

G´ en´ eralisation de la formule des probabilit´ es compos´ ees.

G´ en´ eralisation de la formule des probabilit´ es totales.

c) Ind´ ependance en probabilit´ e

Ind´ ependance mutuelle d’une suite infinie

d’´ ev´ enements.

2 - G´ en´ eralit´ es sur les variables al´ eatoires r´ eelles

D´ efinition d’une variable al´ eatoire r´ eelle. X est une variable al´ eatoire r´ eelle d´ efinie sur (Ω, A) si X est une application de Ω dans R telle que pour tout ´ el´ ement x de R, {ω ∈ Ω / X(ω) 6 x} ∈ A.

D´ emontrer que X est une variable al´ eatoire ne fait pas partie des exigibles du programme.

Notations [X ∈ I], [X = x], [X 6 x], etc.

Syst` eme complet d’´ ev´ enements associ´ e ` a une va- riable al´ eatoire.

Fonction de r´ epartition d’une variable al´ eatoire.

Propri´ et´ es.

∀x ∈ R, F

(x) = P (X 6 x).

F

est croissante, continue ` a droite en tout point, lim

F

= 0, lim

+∞

F

= 1. R´ esultats admis.

Loi d’une variable al´ eatoire. La fonction de r´ epartition caract´ erise la loi d’une variable al´ eatoire. R´ esultat admis.

3 - Variables al´ eatoires discr` etes

a) Variable al´ eatoire discr` ete ` a valeurs dans R D´ efinition d’une variable al´ eatoire discr` ete ` a valeurs dans R.

L’ensemble des valeurs prises par ces variables al´ ea- toires sera index´ e par une partie finie ou infinie de N ou Z.

Caract´ erisation de la loi d’une variable al´ eatoire dis- cr` ete par la donn´ ee des valeurs P (X = x) pour x ∈ X(Ω).

On insistera, dans le cas o` u X est ` a valeurs dans Z, sur la relation P (X = k) = F

(k) − F

(k − 1).

Variable al´ eatoire Y = g(X), o` u g est d´ efinie sur l’ensemble des valeurs prises par la variable al´ eatoire X . ´ Etude de la loi de Y = g(X ).

On se limite ` a des cas simples, tels que g : x 7−→ ax + b, g : x 7−→ x

, . . .

b) Moments d’une variable al´ eatoire discr` ete

D´ efinition de l’esp´ erance. Quand X(Ω) est infini, une variable al´ eatoire X admet une esp´ erance si et seulement si la s´ erie

X

x∈X(Ω)

xP (X = x) est absolument convergente.

Notation E(X ).

Lin´ earit´ e de l’esp´ erance. Positivit´ e. R´ esultats admis.

Variables centr´ ees.

Th´ eor` eme de transfert : esp´ erance d’une variable al´ eatoire Y = g(X), o` u g est d´ efinie sur l’ensemble des valeurs prises par la variable al´ eatoire X.

Quand X (Ω) est infini, E(g(X )) existe si et seulement si la s´ erie X

x∈X(Ω)

g(x)P (X = x) converge absolument, et dans ce cas E(g(X )) = X

x∈X(Ω)

g(x)P (X = x). Th´ eor` eme admis.

E(aX + b) = aE(X) + b.

Moment d’ordre r (r ∈ N). Notation m

(X) = E(X

).

Variance, ´ ecart-type d’une variable al´ eatoire dis- cr` ete.

Notations V(X ), σ(X).

Formule de Kœnig-Huygens.

V(aX + b) = a

V(X).

V(X) = E(X

) − (E(X ))

.

Cas o` u V(X) = 0.

Variables centr´ ees r´ eduites. On notera X

la variable al´ eatoire centr´ ee r´ eduite associ´ ee ` a X .

4 - Lois usuelles

a) Lois discr` etes finies

Loi certaine. Caract´ erisation par la variance.

Loi de Bernoulli. Esp´ erance, variance. Notation X , → B(p).

Loi binomiale. Esp´ erance, variance. Notation X , → B(n, p). I Application : formule du binˆ ome de Newton don-

nant (a + b)

.

Lorsque a et b sont strictement positifs, lien avec B(n,

). La formule du binˆ ome de Newton dans le cas g´ en´ eral pourra ˆ etre d´ emontr´ ee par r´ ecurrence.

Loi uniforme sur [[1, n]]. Esp´ erance, variance. Application ` a l’´ etude de la loi uniforme sur [[a, b]], o` u (a, b) ∈ N

.

Notation X , → U ([[a, b]]). I

b) Lois discr` etes infinies

Loi g´ eom´ etrique (rang d’apparition du premier suc- c` es dans un processus de Bernoulli sans m´ emoire).

Esp´ erance, variance.

Notation X , → G(p). I

Si X , → G(p), ∀k ∈ N

, P (X = k) = p(1 − p)

.

Loi de Poisson.

Esp´ erance, variance.

Notation X , → P(λ).

On pourra introduire la loi de Poisson P(λ) comme loi « limite »(cette notion sera pr´ ecis´ ee en deuxi` eme ann´ ee) d’une suite de variables suivant la loi bino- miale B(n,

). I

5 - Introduction aux variables al´ eatoires r´ eelles ` a densit´ e

On se limitera dans ce chapitre ` a des densit´ es ayant des limites finies ` a gauche et ` a droite, en tout point de R.

a) D´ efinition des variables al´ eatoires ` a densit´ e

D´ efinition d’une variable al´ eatoire ` a densit´ e. On dit qu’une variable al´ eatoire r´ eelle X est ` a den- sit´ e si sa fonction de r´ epartition F

est continue sur R et de classe C

sur R ´ eventuellement priv´ e d’un ensemble fini de points.

Toute fonction f

` a valeurs positives, qui ne diff` ere de F

qu’en un nombre fini de points, est une den- sit´ e de X .

Pour tout x de R, F

(x) = Z

−∞

f

(t) dt.

Caract´ erisation de la loi d’une variable ` a densit´ e par la donn´ ee d’une densit´ e f

.

Toute fonction f positive, continue sur R ´ eventuel- lement priv´ e d’un nombre fini de points et telle que Z

−∞

f (t) dt = 1 est la densit´ e d’une variable al´ ea- toire.

R´ esultat admis.

Transformation affine d’une variable ` a densit´ e. Les ´ etudiants devront savoir calculer la fonction de r´ epartition et une densit´ e de aX + b (a 6= 0).

b) Esp´ erance d’une variable al´ eatoire ` a densit´ e Esp´ erance.

Variables centr´ ees.

Une variable al´ eatoire X de densit´ e f

admet une esp´ erance E(X) si et seulement si l’int´ egrale Z

−∞

xf

(x)dx est absolument convergente ; dans ce cas, E(X ) est ´ egale ` a cette int´ egrale.

Exemples de variables al´ eatoires n’admettant pas d’esp´ erance.

c) Lois ` a densit´ e usuelles

Loi uniforme sur un intervalle. Esp´ erance. Notation X , → U [a, b]. I Loi exponentielle. Caract´ erisation par l’absence de

m´ emoire. Esp´ erance.

Notation X , → E(λ). I Loi normale centr´ ee r´ eduite. Notation X , → N (0, 1). I

On pourra d´ emontrer en exercice que Z

−∞

e

2 2

dt converge.

Loi normale (ou de Laplace-Gauss).

Esp´ erance.

X , → N (µ, σ

) ⇔ X

= X − µ

σ , → N (0, 1).

On attend des ´ etudiants qu’ils sachent repr´ esenter

graphiquement les fonctions densit´ es des lois nor-

males et utiliser la fonction de r´ epartition Φ de la

loi normale centr´ ee r´ eduite.

ENSEIGNEMENT ANNUEL D’INFORMATIQUE ET ALGORITHMIQUE

I - El´ ´ ements d’informatique et d’algorithmique

L’objectif est de poursuivre la formation initi´ ee au lyc´ ee des ´ etudiants concernant l’algorithmique et l’utilisation de l’informatique en math´ ematiques au travers de th` emes emprunt´ es au programme pour comprendre, illustrer et ´ eclairer les notions introduites. D` es qu’un calcul num´ erique est envisag´ e, d` es qu’un probl` eme incite ` a tester exp´ erimentalement un r´ esultat, d` es qu’une situation al´ eatoire peut ˆ etre mod´ elis´ ee avec des outils informatiques, le recours ` a des algorithmes et des logiciels devra devenir naturel.

Le logiciel retenu pour la programmation dans les classes ´ economiques et commerciales est Scilab.

L’utilisation du logiciel se fait en continuit´ e avec le cours de math´ ematiques et sera suivi d’une mise en œuvre sur ordinateur. Seules les notions de Scilab indiqu´ ees dans le programme sont exigibles.

1 - L’environnement logiciel

a) Constantes pr´ ed´ efinies. Cr´ eation de variables par affectation.

%pi %e

Affectation : nom = expression

L’expression peut ˆ etre du type num´ erique, matri- cielle ou du type chaˆıne de caract` eres.

Approximations de π et e.

// permet de commenter une commande.

b) Construction de vecteurs et de matrices num´ eriques Vecteurs lignes : [ , ,..., ]

Vecteurs colonnes : [ ; ;...; ]

Matrices n × p : [ ,..., ;...; ,..., ] c) Op´ erations ´ el´ ementaires

Op´ erations arithm´ etiques :

+ - * / ^

Comparaisons - tests :

== > < >= <= <>

Logiques :

& | and or

Les op´ erations arithm´ etiques de base s’appliquent aux variables num´ eriques ou matricielles.

d) Fonctions usuelles pr´ ed´ efinies Fonctions num´ eriques usuelles : log, exp, floor, abs, sqrt

Toutes ces fonctions peuvent s’appliquer ` a des va- riables num´ eriques ou ` a des matrices ´ el´ ement par

´ el´ ement.

Fonction rand La fonction grand pourra ˆ etre utilis´ ee avec les pa-

ram` etres correspondant aux lois de probabilit´ e pr´ e-

sentes dans le programme.

Fonctions matricielles : rank(A), inv(A), A’ Extraction ou modification d’un ´ el´ ement, d’une ligne ou d’une colonne d’une matrice.

On pourra utiliser les fonctions size(A), find dans le cadre de simulations.

Pratique des op´ erations et des fonctions matricielles dans des situations concr` etes.

2 - Graphisme en deux dimensions

Courbes repr´ esentatives de fonctions usuelles, de densit´ es et de fonctions de r´ epartition.

Trac´ e d’histogrammes.

On pourra utiliser les fonctions plot, plot2d, bar, histplot, la fonction linspace(a,b,n) et les op´ erations .* , ./ , .^

3 - Programmation d’algorithmes et de fonctions Les structures suivantes seront utilis´ ees :

Structure conditionnelle : if ...then ...end

if ...then ...else ...end Structures r´ ep´ etitives : for k=...: :...end while ...then ...end

Exemples : n!, n

p

.

Fonctions - arguments - retour de r´ esultats.

Fonction d’entr´ ee des donn´ ees input() Fonction de sortie de r´ esultat(s) disp()

Saisie au clavier - message indicatif possible.

Affichage du contenu d’une variable ` a l’´ ecran avec commentaire ´ eventuel.

II - Liste des savoir-faire exigibles en premi` ere ann´ ee

Calcul des termes d’une suite. Exploitation graphique des r´ esultats.

Calculs de valeurs approch´ ees de la limite d’une suite ou de la somme d’une s´ erie.

On utilisera des structures r´ ep´ etitives et condition- nelles en exploitant l’´ etude math´ ematique.

La d´ etermination du rang d’arrˆ et du calcul r´ esul- tera directement de l’´ etude math´ ematique ou d’un algorithme qui en d´ ecoule.

Calcul approch´ e de la racine d’une ´ equation du type f (x) = 0.

On utilisera diff´ erentes m´ ethodes dont certaines r´ e- sulteront d’une ´ etude math´ ematique (suites r´ ecur- rentes, encadrements, dichotomie).

Calcul des valeurs approch´ ees d’une int´ egrale par la m´ ethode des rectangles.

Application au calcul de la fonction de r´ epartition d’une variable al´ eatoire suivant la loi normale cen- tr´ ee r´ eduite.

Utilisation de la fonction rand pour simuler des ex- p´ eriences al´ eatoires ´ el´ ementaires conduisant ` a une loi usuelle.

Loi binomiale, loi g´ eom´ etrique.

Simulation de ph´ enom` enes al´ eatoires. Utilisation de la fonction grand

On pourra utiliser une simulation pour comparer ex- p´ erimentalement une loi B(n, λ

n ) (n grand) avec la loi de Poisson.

On pourra utiliser une simulation pour comparer ex- p´ erimentalement une loi binomiale avec une loi nor- male.

R´ esolution de syst` emes AX = B.

ANNEXE 2