Soient un triangle ABC rectangle en A, M le milieu de son hypoténuse et (Γ) son cercle circonscrit. La droite qui passe par les milieux de AB et de AC coupe le cercle (Γ) aux points P et Q.
Dans le demi-plan délimité par la droite BC qui contient A, on trace les cercles (ΓB) et (ΓC) circonscrits aux triangles ABM et ACM puis le cercle (γ) tangent à la droite BC et extérieurement aux cercles (ΓB) et (ΓC).
On désigne par R et S les points de contact de (γ) avec (ΓB) et (ΓC).
Dans l'autre demi-plan délimité par la droite BC, on trace le cercle (γ') tangent à la droite BC et
extérieurement aux cercles (ΓB) et (ΓC). On désigne par T et U les points de contact de (γ') avec (ΓB) et (ΓC).
Démontrer que les six points P,Q,R,S,T et U sont cocycliques.
Dans l’inversion de centre M qui laisse (Γ) invariant, les images des cercles circonscrits à ABM et ACM sont les droites AB et AC, tandis que la droite BC est globalement invariante : les images des cercles (γ) et (γ’) sont alors le cercle inscrit du triangle ABC, et le cercle exinscrit dans l’angle A.
On est donc ramené à montrer que les points de contact du cercle inscrit et du cercle exinscrit dans l’angle A sont sur un même cercle passant par P et Q.
Prenons (Γ) comme cercle unité, avec pour affixes A : e2iα, B : i, C : -i et D : -1. Soient a, b, c sont les longueurs de BC, CA, AB, p=(a+b+c)/2, S l’aire de ABC, et r le rayon du cercle inscrit : donc a=2, b=√2(cosα+sinα), c=√2(cosα-sinα), p=√2cosα+1, S=bc/2, et r=S/p=cos2α/(√2cos+1)=√2cosα-1 Si E est le point de contact du cercle inscrit sur AB, AE=r. L’angle ADM est égal à α, donc AD=2cosα ; de plus AD est bissectrice de BAC, donc DAE=π/4 et DE2=AD2+AE2-√2 AD.AE=4cos2α+(√2cosα-1)2-2√2cosα(√2cosα-1)=1+2cos2α.
L’abscisse de P est la moitié de celle de A, cos2α/2, donc le carré de son ordonnée est 1-cos22α/4 ; ainsi DP2=(1+cos2α/2)2+1-cos22α/4=2+cos2α=2+2cos2α-1=1+2cos2α ; soit DE=DP. Comme le point de contact F du cercle inscrit avec AC est symétrique de E par rapport à la bissectrice AD, et que Q est symétrique de P par rapport à MD, E, F, P et Q sont sur un même cercle de centre D.
De même si G est le point de contact du cercle exinscrit avec AB, et le rayon de ce cercle rA=S/(p-a)=√2cosα+1, on a, comme plus haut, DG2=AD2+AG2-√2AD.AG soit
DG2=4cos2α+(√2cosα+1)2-2√2cosα(√2cosα+1)=1+2cos2α. Les points de contact du cercle exinscrit appartiennent également au cercle précédent.
