D1811. En souvenir de Toshio Seimiya
Dans l’inversion par rapport `aΓ,A,BetCsont invariants,BCest invariante, ΓB etAB d’une part,ΓC etAC d’autre part se correspondent.
γ tangent `a BCdans le demi-plan ne contenant pasA, tangent `aΓB et `aΓC
est l’inverse du cercle exinscrit dans l’angle BAC, de centre\ J. De mˆeme,γ0 est l’inverse du cercle inscrit dansABC, de centreI.
Les 4 points R0, S0, T0 et U0 sont co-cycliques (centre K milieu de IJ, qui appartient aussi `aΓ) puisque AR0=AS0et AT0=AU0.
E, milieu deAB, etF, milieu deAC, ont mˆeme puissance par rapport `aΓet au cercle (R0S0T0U0), donc la droiteP EF Qest l’axe radical des 2 cercles, ce qui compl`ete la d´emonstration :
aveca=AB,b=AC et c=BC,S =abet p=a+b+c, il vient AT0 =U0I = ab
a+b+c et AR0 =S0J = ab a+b−c ET0×ER0= ( ab
a+b+c − a
2)×( ab
a+b−c −a
2) =−a2
4 =EA×EB
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