D1811. En souvenir de Toshio Seimiya
Soient un triangle ABC rectangle en A, M le milieu de son hypoténuse et (Γ) son cercle circonscrit. La droite qui passe par les milieux de AB et de AC coupe le cercle (Γ) aux points P et Q.
Dans le demi-plan délimité par la droite BC qui contient A, on trace les cercles (ΓB) et (ΓC) circonscrits aux triangles ABM et ACM puis le cercle (γ) tangent à la droite BC et extérieurement aux cercles (ΓB) et (ΓC). On désigne par R et S les points de contact de (γ) avec (ΓB) et (ΓC).
Dans l'autre demi-plan délimité par la droite BC, on trace le cercle (γ') tangent à la droite BC et extérieurement aux cercles (ΓB) et (ΓC). On désigne par T et U les points de contact de (γ') avec (ΓB) et (ΓC).
Démontrer que les six points P,Q,R,S,T et U sont cocycliques.
Solution proposée par Maurice Bauval :
L'inversion de pôle M de puissance MB² transforme les cercles (ΓB) et (ΓC) en les droites AB et AC, la droite BC est globalement invariante. B, P, A, Q, C sont invariants. Les cercles (γ) et (γ') ont pour pour transformés les cercles inscrit et exinscrit dans l'angle A du triangle ABC.
Dans la nouvelle figure, à cause de la symétrie par rapport à la bissectrice intérieure de l'angle A, les points de contact RSTU sont les sommets d'un trapèze isocèle donc sont cocycliques.
Il faut prouver que ce cercle RSTU passe par P et Q.
On pose AB=c, AC=b, BC=a, a+b+c = 2p.
On choisit un repère orthonormé d'origine A, les coordonnées de B et C sont (c,0) et (0,b) Équation du cercle ABC : x(x-c) + y(y-b) = 0 ou x²+y² –cx –by = 0
AT=p, AR=p – a, AS=p, AU=p – a.
Les coordonnées du centre du cercle RSTU sont x=y=(2p –a)/2 = (b+c)/2 et la puissance de A par rapport à ce cercle est p(p – a) = (a+b+c)(b+c –a)/4 = [(b+c)² – a²]/4 = bc/2 (Th. de Pythagore) Équation du cercle RSTU :
x²+y² – (b+c)(x+y) + bc/2 = 0
Axe radical des cercles (ABC) et (RSTU) :
( x²+y² –cx –by) – [x²+y² – (b+c)(x+y) + bc/2] = bx+cy – bc/2 = 0 : C'est l'équation de la droite qui joint les milieux de AB et AC.
Les points d'intersection P et Q de la droite qui passe par les milieux de AB et de AC et du cercle (Γ) sont sur le cercle (RSTU).
Les 6 points R, S, T, U, P, Q de la figure 2 sont cocycliques sur un cercle qui ne passe pas par le pôle d'inversion M, l'inversion de pôle M les transforme en 6 points R, S, T, U, P, Q de la figure 1 qui sont aussi cocycliques.
