E439. Croisements interdits sur autoroute enneigée
Bloqués par une tempête de neige qui s'est abattue sur l'autoroute du Sud, Zig et Puce prennent leur mal en patience. Ils dessinent sur une feuille de papier le contour d'un triangle équilatéral ABC et marquent en son intérieur 2007 points de telle sorte que trois points quelconques parmi les 2010 points y compris A, B et C ne sont jamais alignés. Chacun à son tour trace un segment de droite joignant deux points aussi longtemps que ce segment ne croise pas un segment déjà tracé. Le vainqueur est le dernier à pouvoir tracer un segment. Zig
commence. Qui est le vainqueur ? On précise à toutes fins utiles que :
les points A B C font partie de ceux que l'on peut joindre par des segments de droite;
mais pas entre eux, car les segments AB BC CA sont réputés déjà tracés;
chaque point peut être utilisé autant de fois que nécessaire à condition que deux segments quelconques ne se croisent pas en leur intérieur.
Solution
Si l'on place un seul point P à l'intérieur du triangle ABC, il y a trois traits possibles PA, PB et PC. Celui qui commence gagne.
Si l'on place un deuxième point Q, il est nécessairement dans l'un des trois triangles APB BPC CPA et on a ainsi ajouté 3 segments de droite aux 3 existants. Il y a dès lors 6 segments traçables et celui qui commence perd.
Si l'on rajoute un point R, on crée trois triangles à l'intérieur du triangle où se trouve R et l'on ajoute 3 segments traçables, soit au total 9. Celui qui commence gagne.
Et ainsi de suite. Si l'on place un nombre impair de points dans le triangle ABC, celui qui commence gagne; si l'on place un nombre pair de points dans le triangle ABC, celui qui commence perd.
Avec 2007 points, celui qui commence gagne.
