G247. Le mec(c)ano de la géométrie du triangle
Mon petits-fils a une belle collection de tiges métalliques Meccano de longueurs entières 2, 3, 4, ...
n < 100 cm qui lui permet de construire la Tour Eiffel en miniature. Avec les n-1 tiges de longueurs toutes différentes, il sait construire N triangles scalènes distincts (c'est à dire non isométriques). Je complète sa collection en lui offrant k tiges de longueurs entières de n + 1 à n + k cm. S'il ne peut pas confectionner le modèle réduit de la tour Burj Dubaï, il parvient à construire 2N triangles scalènes distincts. Déterminer n et k.
Solution de Claude Felloneau
Pour tout entier n supérieur ou égal à 2, soit tn le nombre de triangles scalènes distincts que l’on peut construire avec trois tiges de longueurs comprises (au sens large) entre 2 et n.
Si on ajoute deux tiges de longueurs n + 1 et n + 2, les nouveaux triangles que l’on peut construire sont de trois types :
- Ceux construits avec ces deux tiges et une tige quelconque de longueur a , 2≤a≤n. Il y en a
−
1 1
n de ce type.
- Ceux construits avec une seule de ces deux tiges
o Soit la tige de longueur n+2 et deux tiges de longueurs a et b telles que 2≤a<b≤n et a+b>n+2.
o Soit la tige de longueur n+1 et deux tiges de longueurs a′et b′ telles que n
b a′< ′≤
≤
2 et a′+b′>n+1. En posant a=n+2−b′, b=n+2−b′, l’ensemble des couples (a′,b′)est en bijection avec l’ensemble des couples (a,b)tels que
n b a< ≤
≤
2 et a+b≤n+2.
Il y en a donc autant que de couples (a, b) tels que 2≤a<b≤n c’est-à-dire
−
2 1 n
Ainsi
2 ) 1 ( 2 2
1 1
1
2
= −
=
−
+
−
=
+ −
n n n n
n t tn n
La suite (tn) est donc définie par : t2 =0, t3 =0 et
2 ) 1 (
2
+ −
+ =
n t n
tn n pour n≥2.
On cherche tous les entiers n et k tels que tn+k =2tn et n<100. En utilisant un tableur, on obtient deux couples solutions :
- n = 40 et k = 10 (on a alors N = 4750) - n = 90 et k = 23 (on a alors N = 57750)
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