Ba B ac c c c al a la au ur ré é a a t t 2 2 0 0 1 1 5 5

(1)

$ + !"+%)

RéRéppuubblliiqquueeIIssllaammiiqquueeddeeMMaauurriittaanniiee M

Miinniissttèèrreededel’l’EEdduuccaattiioonn N

Naattiioonnaallee D

DiirreeccttiioonndedessExExaammeennsseett C

Coonnccoouurrss S

SeerrvviicceeddeessEExxaammeennss

Ba B ac c c c al a la au ur ré é a a t t 2 2 0 0 1 1 5 5

SeSesssisioonnNoNorrmmaallee

H

Hoonnnneeuurr––FrFraatteerrnniittéé––JuJussttiiccee

ExExeerrciciccee11(5(5popoiinnttss))

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O;u, v) G G G G G G G G

.

1) On pose : P(z)====z³−−−−(11 6i)z²++++ ++++(28 38i)z 12 60i++++ −−−− −−−− où zest un nombre complexe.

a) Calculer P(3) et déterminer les nombres aet btels que pour tout zde ^{^}^{^}^{^}^{^} : P(z)====(z−−−−3)(z²++++az++++b).

b) Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexes, l’équationP(z)====0.

c) Soient les points A , B et C images des solutions de l’équation P(z)====0 avec

A B C

Im(z )<<<<Im(z )<<<<Im(z ). Calculer l’affixe du point G barycentre du système

{{{{

(A;2),(B;-2),(C;2)

}}}}

et placer les pointsA,B ,C et G.

2) Pour tout réel k différent de 2, on définit l’application f_kdu plan P dans lui- même qui à tout point M du plan associe le point M' tel que :

MM '====2MA−−−−2MB++++(3−−−−k )MC

JJJJJG JJJJG JJJG JJJG

.

a) Pour quelles valeurs de k, l’application f_k est une translation? Déterminer alors son vecteur.

b) On suppose que ^k^∈^∈^∈^∈^\^\^\^\^{\ 2; 3}

{{{{ }}}}

. Montrer que f_k admet un unique point invariant Ωk

ΩΩ

Ω . Reconnaître alors f_k et donner ses éléments caractéristiques en fonction de k.

c) Déterminer et construire le lieu géométrique des points ΩΩΩΩ_k lorsque k décrit

{{{{ }}}}

\ 2; 3

\

\ . Reconnaître ΩΩΩΩ₁.

d) Pour k====1 ; déterminer et construire le lieu géométrique du point R centre de gravité du triangle AMM ' lorsque M décrit le cercle ΓΓΓΓ de centre G passant par C.

3) Pour tout point M du plan on pose ϕϕϕϕ(M)====2MA²−−−−2MB²++++2MC² et ΓΓΓΓ_m l’ensemble des pointsM tels queϕϕϕϕ(M)====k, où k est un réel.

a) Discuter suivant les valeurs de k, la nature deΓΓΓΓ_m. b) Déterminer et construireΓΓΓΓ_m pour k====10.

Dans le plan orienté on considère un rectangle direct ABCD de longueur AD tel que AB=a et AD=2a,

(a > > > > 0)

. Soient I, J, K et L les milieux respectifs des segments

[[[[

^AB

]]]]

^,

[[[[

^BC

]]]]

^,

[[[[

^CD

]]]]

^et

[[[[

^DA

]]]]

. Soit O le centre du rectangle ABCD. 1.a) Faire une figure illustrant les données précédentes.

b) Montrer qu’il existe une unique rotation r qui transforme B en C et J en D.

Préciser le centre et un angle de r.

2.a) Montrer qu’il existe un unique antidéplacement g qui transforme I en C et A en K.

b) Montrer que g est une symétrie glissante et vérifier que g====t_IC^JJG^JJG^JJG^JJGDDDDs_AB.

c)Déterminer une droite ∆∆∆∆telle que t_BC^JJJG^JJJG^JJJG^JJJG ====s_∆_∆_∆_∆DDDDs_AB. En déduire la forme réduite de g, (on pourra remarquer que t_IC^JJG^JJG^JJG^JJG ====t_IB^JJG^JJG^JJG^JJGDDDDt_BC^JJJG^JJJG^JJJG^JJJG).

3.a) Montrer qu’il existe une unique similitude directe s qui transforme A en C et B en L. Déterminer l’angle et le rapport de s. Montrer que s(J)====B.

b) Soient ΓΓΓΓ₁ le cercle de centre A passant par B, et ΓΓΓΓ₂ le cercle de centre C passant par L. Justifier que s(ΓΓΓΓ₁)= Γ= Γ= Γ= Γ₂

SéSérriiee::CC&&ttTMTMGGMM E

Epprreeuuvvee::MaMatthhéémmaattiiqqueuess DuDurrééee::44heheuurreess CCooeeffffiicciieennttss::99&&66

(2)

$ + !"+%*

4) On désigne par P le centre de s.

a) Montrer que P est situé sur les cercles ΓΓΓΓ₁ et ΓΓΓΓ₂. Préciser P.

b) Vérifier que P est le symétrique de L par rapport à (AC).

c) Soit E le symétrique de L par rapport à D. Vérifier que P est situé sur la droite (BE).

5.a) Soit R le symétrique de L par rapport à J. Montrer que s(L)====R. b) Soit M un point de ΓΓΓΓ₁ distinct de P. On note s(M ')====M ''. Montrer que :

i) La droite (MM’) passe par un point fixe que l’on précisera.

ii) Le triangle MM’M’’ est rectangle isocèle.

6) Soit ΓΓΓΓ la parabole de foyer L et de directrice (BC).

a) Montrer que ΓΓΓΓ passe par A, O et D.

b) Préciser la tangente à ΓΓΓΓ en A et tracer ΓΓΓΓ.

c) Déterminer et construire le foyer et la directrice de Γ =Γ =Γ =Γ =' s( )ΓΓΓΓ . ExExeerrciciccee33(5(5popoiinnttss))

Soit f la fonction définie sur ^\^\^\^\ par f (x) ¹ _x

=1 e

=

== + + +

+ et (C) sa courbe représentative dans un repère dans un repère orthonormé.

1.a) Justifier que

xlim f (x) 1

→−∞

→−∞ ==== et

xlim f (x) 0

→+∞

→+∞ ==== . Interpréter graphiquement.

b) Dresser le tableau de variation de f .

c) Montrer que f réalise une bijection de ^\^\^\^\ sur un intervalle J que l’on déterminera. Donner l’expression de sa réciproque f (x)⁻⁻⁻⁻¹ . On note (C')la courbe de f⁻⁻⁻⁻¹dans le même repère.

2.a) Vérifier que le point (0, )¹ Ω 2 ΩΩ

Ω est un centre de symétrie de la courbe(C). b) Montrer que les courbes (C) et (C') se coupent en un seul point d’abscisse αααα telle que 0,4< α << α << α << α <0,5.

c) Tracer les courbes (C) et (C').

d) Calculer, en fonction deαααα , l’aire A du domaine plan limité par les courbes (C) et (C'), et les axes des coordonnées (On pourra remarquer que

x

x x

1 e

e 1 e 1

−−

−

= −

== + = +

+ +

+ + ).

3) Pour tout entier n∈∈∈∈````^∗^∗∗^∗, on pose _n ⁿ

I ====

³³³³

0^α^α^α^αf (t)dt^où^α^α^α^αest le réel trouvé en 2.b)

a) Justifier que I₁ = α += α += α += α +ln(2 )αααα .

b) Vérifier que pour tout réel x : f '(x)====f (x) f (x)² −−−− . c) Montrer que pour tout n∈∈∈∈````^∗^∗∗^∗: I_{n 1} I_n ¹ ⁿ ¹_n

n 2

+ ++ +

§ ·

§§ ··

§ ·

− = α −

−− == α −α −

− = ¨¨¨¨α − ¸¸¸¸

© ¹

©© ¹¹

d) Montrer que la suite (I )_n est décroissante et positive. Que peut on en déduire ?

4.a) Montrer que pour tout n∈∈∈∈````^∗^∗∗^∗ : ^{n 1} I_n _n 2

++

++ αααα

α ≤ ≤

α ≤ ≤ . En déduire _n

xlim I

→+∞→+∞→+∞

→+∞ . b) Montrer que

n 1 k

n k

k 1

1 1

I ln(2 )

k 2

−−

==

§ ·

= α + α + α −

= α += α + α +α + α −α −

= α + α + ¨¨¨¨α − ¸¸¸¸

© ¹

¦ ¦ ¦

¦

.En déduire

n 1 k n k

k 1

1 1

lim k 2

−−

→+∞

→+∞→+∞

→+∞ ====

§ ·

α − α − α −

¨α − ¸

¨ ¸

© ¹

¦ ¦ ¦

¦

.

(3)

$ + !"+%$

1) On considère la fonction numérique g définie sur ^\^\^\^\^∗^∗∗^∗ par :

3 2

3x 12x 19x 10

g(x) x 4x 5x

− + −

=

= −−−− ++++

a) Déterminer a, b et c tels que pour tout x de ^\^\^\^\^∗∗^∗^∗ :

2 2

(x 1)(ax bx c) g(x) x(x 4x 5)

− + +

=

= −−−− ++++ . b) Etudier le signe de g(x) sur ^\^\^\^\^∗^∗∗^∗ .

2) On considère la fonction numérique définie sur ^\^\^\^\^∗∗^∗^∗ par :

2 2

x 4x 5 f (x) 3x 3 ln

x

§ ·

§ −−−− ++++ ·

= − +

= − + ¨¨¨¨ ¸¸¸¸

© ¹

et soit (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

a) Calculer

x 0

lim f (x)

→

→→

→ , interpréter graphiquement.

b) Calculer

xlim f (x)

→+∞

→+∞ et

xlim f (x)

→−∞

→−∞ .

c) Montrer que (C) admet deux asymptotes dont l’une, notée D, est oblique. Etudier la position relative de (C)et de D.

3.a) Vérifier que f '(x)====g(x) où g est la fonction définie en 1), et dresser le tableau de variation de f .

b) Démontrer que l’équation f (x)====0 admet une unique solution αααα dont on donnera un encadrement d’amplitude 5 10×××× ⁻⁻⁻⁻¹.

c) Construire (C).

4) On se propose dans cette question de calculer l’aire S du domaine délimité par la courbe (C) et les droites d’équations respectives : y====3x−−−−3, x====3 et x= += += += +2 3. a) Vérifier que pour tout réel x on a :

2

2 2 2

2x 4x 2x 4 1

x 4x 5 2 1 x 4x 5 1 (x 2)

§ ·

− −

= + −

= ¨¨¨¨ + − ¸¸¸¸

− + − + + −

−− ++ −− ++ ++ −−

− + ©©©© − + + − ¹¹¹¹. b) Calculer ² ³ ₂

3

A 2x 4 dx

x 4x 5

++

++ −−−−

=

³³³³

−−−− ++++ ^. c) En posant x= += += += +2 tan t pour tout t 0;

2 π ππ ª πª ªª ªª

ª ª

∈

∈«««« ««««

¬ ¬

¬¬ ¬¬

¬ ¬ ; calculer ² ³ ₂

3

B 1 dx

1 (x 2)

++ ++

=

==

=

³³³³

++++ −−−− ^. d) En utilisant une intégration par parties, calculer ² ³ ²

3

J====

³³³³

⁺⁺⁺⁺ ln(x −−−−4x++++5)dx ^et

2 3

K ====2

³³³³

3⁺⁺⁺⁺ ln xdx. En Déduire le calcul de l’aire S exprimée en unité d’aire.

Fin.

(4)

$ + !"+%

Co C o r r ri r ig g é é

ExExeerrciciccee11

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé

(

^{O; u, v}^{G G}

)

^.

1) On pose : P(z)====z³−−−−(11 6i)z²++++ ++++(28 38i)z 12 60i++++ −−−− −−−− où zest un nombre complexe.

a)Pour calculer P(3) et déterminer les nombres aet btels que pour tout zde ^{^}^{^}^{^}^{^} :

P(z)====(z−−−−3)(z²++++az++++b), on peut utiliser la division euclidienne, une identification ou le tableau d’Horner :

1 −−−−11 6i−−−− 28++++38i −−−−12−−−−60i 3 3 −−−−24 18i−−−− 12++++60i

1 − −− −− −− −8 6i 4++++20i 0

Alors,

P(3) = = = = 0

et pour tout zde ^^^^_:

P(z) = = = = (z − − − − 3)(z² ( 8 6i)z + − − + − − + − − + − − + + + + + + + + 4 20i)

. Donc a= − −= − −= − −= − −8 6i et b= += += += +4 20i.

b) L’équation

P(z) = = = = 0

équivaut à z− =− =− =− =3 0 ou

z² ( 8 6i)z + − − + − − + − − + − − + + + + + + + + 4 20i = = = = 0

On a z− = ⇔ =− = ⇔ =− = ⇔ =− = ⇔ =3 0 z 3.

Le discriminent de l’équation du second degré est

( 8 6i)

2

4(4 20i) 64 36 96i 16 80i

∆ = − − − + = − + − −

12 16i (4 2i)

2

∆ = + = +

. Donc δ = +δ = +δ = +δ = +4 2i . Les solutions sont

1

8 6i 4 2i

z 6 4i

2 + + + + + + + + + + + +

= = +

= = = + = +

= = +

et ₂

8 6i 4 2i

z 2 2i

2 + − − + − − + − − + − −

= = +

.

Conclusion : L’ensemble de solutions de l’équation

P(z) = = = = 0

est

{{{{ }}}}

S = = = = 3, 6 4i, + + + + 2 + + + + 2i

.

c) Les points , et C sont les images des solutions de l’équation P(z)====0 avec

A B C

Im(z )<<<<Im(z )<<<<Im(z ). Donc z_A ====3, z_B= += += += +2 2i et z_C = += += += +6 4i .

G barycentre du système

{{{{

(A;2),(B;-2),(C;2)

}}}}

. G est alors le quatrième sommet du parallélogramme ABCG.

L’affixe de G est : z_G ^2z^A ^2z^B ^2z^C 2 2 2

− +

=

= − +− +− +− +

G

2(3) 2(2 2i) 2(6 4i) 14 4i

z 7 2i

2 2

− + + + +

= = = +

2) L’application f_kdu plan P dans lui-même qui à tout point M du plan associe le point M ' tel que :

MM '====2MA−−−−2MB++++(3−−−−k )MC

JJJJJGJJJJJG JJJJGJJJJG JJJGJJJG JJJGJJJG

.

Cette question sera traitée par deux méthodes : Calcul vectoriel ou nombres complexes Méthode1 : Calcul vectoriel

a) L’application f_k est une translation si et seulement si le vecteur MM ' JJJJJG JJJJJGJJJJJG JJJJJG

est constant.

La fonction vectorielle de Leibniz (M 2MA−−−−2MB++++(3−−−−k )MC)

JJJJG JJJG JJJG

6 66

6 est constante si et

seulement si le poids du système

{{{{

(A; 2), (B; -2), (C; 3 - k )

}}}}

est nul. Ce qui équivaut à 3 - k====0 . Soitk====3.

Alors, f_k est une translation si et seulement si k====3. On obtient son vecteur en remplaçant M dans l’expression vectorielle v====2MA−−−−2MB++++(3−−−−k )MC

JJJJG JJJG JJJG

G GG

G par n’importe

quel point. Pour M en C on obtientv====2CA−−−−2CB====2BA

G JJJG JJJG JJJG

.

A B

(5)

$ + !"+%

b) Si k≠≠≠≠3, le poids du système

{{{{

(A; 2), (B; -2), (C; 3 - k )

}}}}

est non nul. Donc ce système admet un barycentre G_k et on a pour tout point M du plan

2MA−−−−2MB++++(3−−−−k )MC====(3−−−−k )MGk

JJJJG JJJG JJJG JJJJJG

. D’où :

k k

f (M )====M '⇔⇔⇔⇔MM '====(3−−−−k )MG

JJJJJG JJJJJG

.

k k k k

k k

f (M) M ' MG G M ' (3 k )MG G M ' (2 k )MG

= ⇔ + = −

⇔ = −

JJJJJG JJJJJJG JJJJJG JJJJJGJJJJJG JJJJJJGJJJJJJG JJJJJGJJJJJG JJJJJG JJJJJJG JJJJJG

JJJJJJG JJJJJG

Enfin , f (M )_k ====M '⇔⇔⇔⇔G M '_k ====(k−−−−2)G M_k

JJJJJJG JJJJJG

Particulièrement, pour k====2 on a : f (M)₂ ====M'⇔⇔⇔⇔G M'₂ = ⇔= ⇔= ⇔= ⇔0 M' G==== ₂ JJJJJJG G

JJJJJJGJJJJJJG GG JJJJJJG G

donc l’application f₂ est constante.

G2 est le barycentre du système

{{{{

(A; 2), (B; -2), (C;1)

}}}}

. Alors C G₂ ====2C A−−−−2C B====2B A

JJJJG JJJG JJJG JJJG

. Donc CG₂====2C G

JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG

. Alors G₂ est le symétrique de C par rapport à G.

Maintenant, si ^k^∈^∈^∈^∈^\^\^\^\^{\ 2; 3}

{{{{ }}}}

êt ^M ûn ^point învariant ^par fk, alors

k k k k k

f (M )====M⇔⇔⇔⇔G M====(k−−−−2)G M⇔⇔⇔⇔G M====0⇔⇔⇔⇔M====G

JJJJJG JJJJJG JJJJJG G

JJJJJGJJJJJG JJJJJGJJJJJG JJJJJGJJJJJG GG

JJJJJG JJJJJG JJJJJG G

. D’où f_k admet un unique point invariant Ω =Ω =Ω =Ω =k Gk====bar (A;2),(B;-2),(C;3- k)

{{{{ }}}}

.

fk est l’homothétie de centre ΩΩΩΩ_k et de rapport k−−−−2. c) On a Ω =Ω =Ω =Ω =k Gk====bar (A;2),(B;-2),(C;3- k)

{{{{ }}}}

Donc 2ΩΩΩΩ_kA 2− Ω− Ω− Ω− Ω_kB (3 k)++++ − Ω− Ω− Ω− Ω_kC 0====

JJJJG JJJJG JJJJG G

JJJJGJJJJG JJJJGJJJJG JJJJGJJJJG GG

JJJJG JJJJG JJJJG G

2BA (3 k)++++ − Ω− Ω− Ω− ΩkC 0====

JJJG JJJJG G

JJJGJJJG JJJJGJJJJG GG

JJJG JJJJG G

k

C 2 AB

Ω =3 k ΩΩ == Ω =

−−

JJJJG JJJG

Alors ΩΩΩΩ_k est situé sur la droite passant par C et parallèle à (AB).

Comme ² 0

3 k ≠≠≠≠

−

−−

− et AB 0≠≠≠≠ JJJG G JJJG G JJJG G JJJG G

, on a ΩΩΩΩ_kC 0≠≠≠≠ JJJJG G JJJJGJJJJG GG JJJJG G

donc Ω ≠Ω ≠Ω ≠Ω ≠_k C. Comme k≠≠≠≠2, on a ΩΩΩΩ_kC 2AB≠≠≠≠

JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG

donc Ω ≠Ω ≠Ω ≠Ω ≠_k G₂ où G₂ est le point tel que G C 2AB₂ ==== JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG

. G₂ est le symétrique de C par rapport à G. C’est aussi le quatrième sommet du parallélogramme ABGG₂.

Conclusion : Le lieu géométrique des points ΩΩΩΩ_k lorsque k décrit ^\^\^\^\^{\ 2; 3}

{{{{ }}}}

est la droite passant par C et parallèle à (AB) privée de C et G₂.

d) Le centre de gravité R du triangle AMM’ est le barycentre du système

{{{{

(A;1), (M;1), (M ';1)

}}}}

. Alors pour tout point M du plan on a, pour k====1 :

3M R====M A++++ M M JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG

M M ' M A (2M A 2M B 2M C ) 3M A 2BC

+ = + − + = +

JJJJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJG JJJJG JJJG

D’où 3M R−−−−3M A====2BC⇔⇔⇔⇔3AR====2BC

JJJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG

. Enfin AR ²BC

=3

==

= JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG

. D’où le centre de gravité R du triangle AMM’ est un point fixe indépendant de la position de M. Le lieu géométrique de R est un point fixe.

On peut aussi remarquer que, pour k====1, la transformation f_k est l’homothétie de centre Ω =Ω =Ω =Ω =1 bar (A;2),(B;-2),(C;2)

{{{{ }}}}

====Get de rapport k− = −− = −− = −− = −2 1. Alors c’est une symétrie centrale de centre G. Donc G est le milieu du segment MM'ªªªª¬¬¬¬ ºº¼¼ºº¼¼.

D’où le barycentre R du système

{{{{

(A;1), (M;1), (M ';1)

}}}}

est celui de

{{{{

(A;1), (G; 2)

}}}}

. Donc AR 2AG

=3

==

= JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG

. Comme AG====BC JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG

on retrouve le résultat précédent AR ²AG ²BC

3 3

= =

JJJG JJJG JJJG JJJGJJJG JJJGJJJG JJJGJJJG JJJG JJJG JJJG . Le centre de gravité R du triangle AMM’ est fixe car le milieu G des points variables M et M’ est un point fixe.