D333. 2D dans 3D
Q1*** - Six points A,B,C,D,E et F dans l’espace sont tels que les segments AB,BC et CD sont respectivement parallèles aux segments DE,EF et FA. Par ailleurs la distance AB est
strictement supérieure à la distance DE. Démontrer que les six points sont dans un même plan.
Q2**** - On considère quatre points A,B,C et D dans l’espace qui n’appartiennent pas à un même plan .Les segments AB, BC, CD et DA sont tangents à une même sphère aux points I,J ,K et L. Démontrer que les quatre points I, J, K et L sont dans un même plan.
Solution de Jean Nicot
Q1
. AB parallèle à DE donc le plan P=ABDE contient BE et AD qui se coupent en M.BC parallèle à EF, donc le plan P’=BCEF contient BE et CF, sécantes en M’ dans le plan P. CD parallèle à FA, donc le plan P’’=CDFA contient AD et CF, sécantes en M’’
dans le plan P.
Si M’ est distinct de M, M’’ l’est aussi et la droite FC est dans le plan P, donc les six points sont coplanaires.
SI M’ et M’’ sont confondus en M, M est alors le point commun aux plans P, P’ et P’’.
On a MA/MD = MB/ME = MC/MF = MF/MC. M est le milieu de AD, BE et CF. Les côtés opposés sont égaux.
La condition AB > DE est incompatible avec ce dernier cas. Les points M, M’ et M’’
sont distincts et les six points A, B, C, D, E, F coplanaires.
Q2
. Dans le plan ABC, la droite IJ coupe AC en un point P, éventuellement àl’infini. Le théorème de Menelaüs appliqué au triangle ABC et à la sécante IJ fournit PA/PC = JB/JC. IA/IB. Comme IB = JB on obtient PA/PC = IA/JC.
Dans le plan ADC, la droite KL coupe AC en P’ et on obtient pareillement
P’A/P’C= LA/KC. L’égalité des tangentes IA=LA et JC=KC c’est-à-dire PA/PC = P’A/P’C.
Les points P et P’ sont confondus. Le plan IJL contient P donc P’ et K.
Si P est à l’infini, IJ est parallèle à AC ainsi que KL.
Les points I, J, K et L sont coplanaires.
