D324. Trois tournées spatiales
A l'occasion de ces trois tournées, on se place toujours dans l'espace à 3 dimensions :
1ère tournée : soient quatre points A,B,C et D non coplanaires. Les quatre côtés AB,BC,CD et DA du quadrangle ABCDA touchent une sphère en quatre points P,Q,R et S. Démontrer que ces quatre points sont coplanaires.
2ème tournée : on considère toujours les quatre points A,B,C et D non coplanaires. Combien de parallélépipèdes ont pour sommets ces quatre points ?
3ème tournée : on considère n - 1 points P1P2…Pn-1 qui ont tous pour point le plus proche un nième point Pn . Quelle est la valeur maximale de l'entier n ?
1ère tournée : Si O est le centre de la sphère, et si a=AP=AS, b=BP=BQ, c=CQ=CR, d=DR=DS, nous avons les égalités vectorielles :
(a+b)OP=bOA+aOB, (b+c)OQ=cOB+bOC, (c+d)OR=dOC+cOD, (d+a)OS=aOD+dOA.
Donc (1/a+1/b)OP+(1/c+1/d)OR=OA/a+OB/b+OC/c+OD/d=(1/b+1/c)OQ+(1/d+1/a)OS : Les quatre points P, Q, R, S sont donc coplanaires, puisqu’il existe une combinaison linéaire nulle des vecteurs OP, OQ, OR et OS.
2ème tournée : Dans un parallélépipède, le segment joignant deux sommets est une des 12 arêtes, des 12 diagonales de face ou des 4 grandes diagonales.
Il y a quatre dispositions possibles pour quatre points non coplanaires:
I) Les sommets de trois arêtes concourantes (les trois autres segments sont des diagonales de face)
II) Les sommets de trois diagonales de face concourantes (les trois autres segments sont aussi des diagonales de face).
III) Les sommets de deux arêtes concourantes et de la diagonale principale issue du sommet commun
IV) Les sommets de deux diagonales non concourantes de faces adjacentes, donc d’une chaîne de trois arêtes non coplanaires.
Etant donnés quatre points non coplanaires, il y a 4 façons de les ajuster à la
configuration I (choix du sommet commun), une seule à la configuration II, 12 façons pour la configuration III (choix du sommet commun et du sommet diagonalement opposé),et enfin 12 façons pour la configuration IV (permutations à la symétrie près) Ce qui fait en tout 29 parallélépipèdes distincts.
3ème tournée : Deux points à la surface d’une sphère dont la distance linéaire est
supérieure au rayon délimitent un arc de grand cercle d’angle au centre supérieur à π/3.
Soit un triangle sphérique dont chaque coté est un arc supérieur à π/3 : son angle solide, égal à la somme des angles dièdres diminués de π, sera minimal si les trois cotés sont des arcs égaux à π/3, auquel cas chaque angle dièdre est égal à
d=arccos(1/3)=0,3918*π, et l’angle solide est égal à s=3d-π=0,1755π.
Soit un ensemble de points à la surface de la sphère dont les distances linéaires sont supérieures au rayon. Prenant un point pour sommet, on peut construire au maximum 5
triangles ne contenant aucun autre point (puisque 5<2π/d<6) ; or la sphère ne peut être recouverte de plus de 22 triangles disjoints (puisque 22<4π/s<23) : le nombre maximum de points est donc inférieur à 22*3/5=13,2, donc inférieur ou égal à 13.
Il n’existe pas de disposition de 13 points répondant à la contrainte. Pour 12 points, la disposition en icosaèdre régulier convient : si a est le coté, la distance le rayon de la sphère circonscrite vaut a√(1+ϕ2)/2≈0,95 a (ϕ nombre d’or).
