2D dans 3D

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Problème D333 de Diophante

Q1- Six points A, B, C, D, E et F dans l’espace sont tels, que les segments AB, BC et CD sont respectivement parallèles aux segments DE, EF et FA. Par ailleurs la

distance AB est strictement supérieure à la distance DE. Démontrer que les six points sont dans un même plan.

Q2 - On considère quatre points A, B, C et D dans l’espace qui n’appartiennent pas à un même plan. Les segments AB, BC, CD et DA sont tangents à une même sphère aux points I, J, K et L. Démontrer que les quatre points I, J, K et L sont dans un même plan.

Solution

La première question est triviale. En effet, les plans BCD et EFA ont la même direction, définie par les directions des droites BC (parallèle à EF) et CD (parallèle à FA). Ils sont donc parallèles. S’ils n’étaient pas confondus, les segments AB et DE auraient même longueur, contrairement à l’énoncé. Ainsi les six points A, B, C, D, E et F sont dans un même plan.

La deuxième question ressort du rappel suivant :

Etant donnés quatre points I, J, K, L sur un même cercle de centre O, les droites IJ et LK se coupent en M ; IK et JL en N ; IL et JK en P. Ce dernier point est le pôle de la droite MN par rapport au cercle, de même que M est celui de NP et N celui de PM.

La droite MN coupe le cercle en U et V, la division (M,N;U,V) est harmonique ainsi que (M,N;X,Y), où X et Y sont sur MN et PL et JK respectivement.

I

J

K N L

P M

U V

O Y X

Partant de là, menons les tangentes au cercle en I, J, K, et L

I

J

K N L

P M

B

U

C V

A

O

E F

G

X Y

Z

Miracle ! Elles se coupent aux points A, B, C, E, F, G situés aussi sur les droites MN, MP et NP.

Cette même figure peut se construire en partant de deux segments BA et BC tangents en I et J à un même cercle de centre O. On mène alors les tangentes AL et CK qui se coupent en F. Les droites IL, JK se coupent en P. Les droites IK et JL se coupent en N, qui appartient aussi à AC et à BP, etc.

Tout cela, pour constater que la division (M,N;X,Y) étant harmonique alors (M,Z;I,J) l’est aussi, par le faisceau partant de P et aussi (M,N;A,C) par le faisceau partant de B. Autrement dit, les points A, C, U, V étant fixés les points M et N sont tels que les deux divisions (M,N;A,C) et (M,N;U,V) sont harmoniques. Ceci

indépendamment du point O sur la médiatrice de UV.

Venons en, enfin au but. Etant donné quatre segments AB, BC, CD et DA tangents à une même sphère aux points I, J, K et L, supposons que AC coupe la sphère en deux points U et V alors, dans le plan ABC, la droite IJ coupe AC en l’un des deux points M ou N mis en évidence précédemment. Il en va de même de la droite KL, dans le plan ADC.

Il s’avère que le point (M ou N) est le même dans les deux cas, car l’énoncé précise bien que ce sont les segments AB, BC, CD, DA qui sont tangents à la sphère.

Il n’en serait pas de même, s’il s’agissait seulement des droites.

Ainsi les points I, J, K et L étant sur deux droites concourantes en M (ou N) sont dans un même plan.

Dans l’hypothèse, où ni AC ni BD ne coupent la sphère, le résultat est le même en considérant que U et V sont imaginaires