D651. Vite fait,bien fait
Problème proposé par Pierre Leteurtre
Etant donné deux points A et B et une droite (Δ) qui coupe la droite AB en un point C, discuter, selon la position de C sur la droite AB, l'existence et le nombre de cercles passant par A et B et tangents à (Δ). En donner une construction à la règle et au compas.
Le problème est de construire les cercles du faisceau à points de base A et B tangents à (Δ).
Les points de contact T' et T'' de ces cercles avec (Δ) sont tels que CT'² = CT''² = Puissance de C par rapport à ces cercles = CA*CB.
Soit I le milieu de AB, et Γ le cercle de diamètre AB. Soit T l'un des deux points d'intersection de Γ avec le cercle de diamètre CI. L'angle ITC est droit donc CT est bien la tangente en T à Γ .
La puissance de C par rapport à Γ est CA.CB = CT². Le cercle de centre C et rayon CT coupe (Δ) en T' et T''. Les intersections de la médiatrice de AB avec les perpendiculaires à (Δ) en T' et T'' donnent les centres des cercles cherchés.
Ces deux cercles existent si et seulement si le point C n'est pas situé entre A et B.
