• Aucun résultat trouvé

D1964. Un parallélogramme qui tombe... à pic

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "D1964. Un parallélogramme qui tombe... à pic"

Copied!
1
0
0

Texte intégral

(1)

D1964. Un parallélogramme qui tombe... à pic

Le cercle inscrit d’un triangle ABC a pour centre I et touche les côtés BC,CA et AB aux points D,E et F. M étant le milieu de BC, la droite MI coupe la hauteur AH au point P. La droite DE coupe au point Q la parallèle issue de A au côté BC. La droite FQ coupe le cercle inscrit au point K.

Démontrer que APIK est un parallélogramme.

Solution proposée par Pierre Gineste

Notation des angles : ^CAB = a ^ABC = b ^BCA = g

D, E, F étant les points de contact du cercle inscrit de rayon R' avec les côtés du triangle ABC, on a : AE = AF = R1

BD = BF = R2 CD = CE = R3 Soit les groupements S = R1 + R2 + R3

D = R1.R2 + R2.R3 + R3.R1 T = R1.R2.R3

On a aussi la surface donnée par la formule de Héron : Su = S.T et R' = Su/S

Les triangles CDE et AQE sont isocèles et semblables.

==> AQ = AE = = AF = R1 l'angle ^AQE = p/2 – g/2 ^AQF = b/2

==> ^DQK = a/2

Considérons le triangle DKQ :

^DQK = a/2 ^KDQ = g/2 ^DKQ = p/2 + b/2

et DK/sin(a/2) = DQ/sin(p/2 + b/2) = DQ/cos(b/2) On a : DQ = AH/cos(g/2)

==> DK = AHsin(a/2)/[cos(b/2)cos(g/2)]

==> DK = AHsin(a)/[2cos(a/2)cos(b/2)cos(g/2)]

Soit A = cos(a/2)cos(b/2)cos(g/2)

==> A^2 = (cos(a)+1)(cos(b)+1)(cos(g)+1)/8

et puisque cos(a) = (-R2.R3 + R1.S)/[(S-R2)(S-R3)]

cos(a) + 1 = 2R1.S/[(S-R2)(S-R3)]

==> A^2 = S^3.T/[(S-R2)(S-R2)(S-R3)] = S^3.T/[SD-T]^2 et A = S.Su/[SD-T]

==> DK = 2 Su/S = 2 R' et IK = ID = Su/S = R' Que vaut AP ?

Les triangles MDI et MHP sont semblables. Donc HP = DI.HM/DM HM = BH – BM

DM = BD - BM

sachant que BH = (-R1.R3 + R2.S)/(S-R1) et BM = (S-R1)/2 on a :

AP = AH – HP = Su/S

Donc AP = IK et AP//IK ==> APIK est un parallélogramme.

Références

Documents relatifs

M étant le milieu de BC, on trace la droite AM qui coupe le cercle (Γ) en un deuxième point N.. Le cercle circonscrit au triangle AME coupe le cercle (Γ) en un deuxième point

Avec le premier cercle: on a PH*HQ = BH*HK = CH*HL car les quatre points B,C,K,L sont cocycliques avec les triangles rectangles BCK et BCL. Les points Q et Q'

1) La simediana

Virage à angle droit ***. Soit un

Soit un triangle ABC dont le cercle inscrit (γ) touche les côtés BC,CA et AB respectivement aux points D,E et F.. Soient M le deuxième point d'intersection de la droite (AD) avec

L'équation (3) n'a donc qu'une racine réelle et le triplet a, b, c

Dans un triangle ABC dont le périmètre vaut quatre fois la longueur du côté BC, le cercle passant par B, C et le centre du cercle inscrit I est égal au cercle de diamètre IA. Sur

symétriques passeront par ce point.(Inversement si l’on veut trouver le point du cercle ayant pour droite de SIMSON une droite d’orientation donnée, on trace à partir de l’un des