D1964. Un parallélogramme qui tombe... à pic
Le cercle inscrit d’un triangle ABC a pour centre I et touche les côtés BC,CA et AB aux points D,E et F. M étant le milieu de BC, la droite MI coupe la hauteur AH au point P. La droite DE coupe au point Q la parallèle issue de A au côté BC. La droite FQ coupe le cercle inscrit au point K.
Démontrer que APIK est un parallélogramme.
Solution proposée par Pierre Gineste
Notation des angles : ^CAB = a ^ABC = b ^BCA = g
D, E, F étant les points de contact du cercle inscrit de rayon R' avec les côtés du triangle ABC, on a : AE = AF = R1
BD = BF = R2 CD = CE = R3 Soit les groupements S = R1 + R2 + R3
D = R1.R2 + R2.R3 + R3.R1 T = R1.R2.R3
On a aussi la surface donnée par la formule de Héron : Su = S.T et R' = Su/S
Les triangles CDE et AQE sont isocèles et semblables.
==> AQ = AE = = AF = R1 l'angle ^AQE = p/2 – g/2 ^AQF = b/2
==> ^DQK = a/2
Considérons le triangle DKQ :
^DQK = a/2 ^KDQ = g/2 ^DKQ = p/2 + b/2
et DK/sin(a/2) = DQ/sin(p/2 + b/2) = DQ/cos(b/2) On a : DQ = AH/cos(g/2)
==> DK = AHsin(a/2)/[cos(b/2)cos(g/2)]
==> DK = AHsin(a)/[2cos(a/2)cos(b/2)cos(g/2)]
Soit A = cos(a/2)cos(b/2)cos(g/2)
==> A^2 = (cos(a)+1)(cos(b)+1)(cos(g)+1)/8
et puisque cos(a) = (-R2.R3 + R1.S)/[(S-R2)(S-R3)]
cos(a) + 1 = 2R1.S/[(S-R2)(S-R3)]
==> A^2 = S^3.T/[(S-R2)(S-R2)(S-R3)] = S^3.T/[SD-T]^2 et A = S.Su/[SD-T]
==> DK = 2 Su/S = 2 R' et IK = ID = Su/S = R' Que vaut AP ?
Les triangles MDI et MHP sont semblables. Donc HP = DI.HM/DM HM = BH – BM
DM = BD - BM
sachant que BH = (-R1.R3 + R2.S)/(S-R1) et BM = (S-R1)/2 on a :
AP = AH – HP = Su/S
Donc AP = IK et AP//IK ==> APIK est un parallélogramme.