D1995 - La saga de l’angle de 60° (13ème épisode) [*** à la main]
Problème proposé par Dominique Roux
Dans un triangle ABC, les médiatrices des côtés AB et AC coupent respectivement les droites (AC) et (AB) aux points B₁ et C₁ tels que la droite B₁C₁ coupe le côté BC en son intérieur.
Démontrer que la droite B₁C₁ est tangente au cercle inscrit du triangle ABC si et seulement si l’angle en A est égal à 60°
Solution proposée par Marie-Christine Picquet
Dans la construction qui suit , la droite (B₁C₁) est sous le cercle inscrit de telle sorte que la droite B₁C₁ coupe le côté BC en son intérieur.
Par construction , les deux triangles AB1B & AC1C sont respectivement isocèles en B1 et en C1 . Ces deux triangles possédant le même angle de base BAC sont donc semblables .
Quelle que soit la valeur de l'angle BAC , les 3 angles BAC , ABB1 & ACC1 restent égaux et pour une valeur de l'angle BAC = 60°,les deux triangles ABB1 et AC1C deviennent
équilatéraux. Dans ce cas seulement , les segments BB1 et CC1 sont parallèles , les 2 triangles ABC et AB1C1 deviennent symétriques par rapport à la bissectrice de l'angle A. Les segments BC et B1C1 sont symétriques par rapport à cette bissectrice et comme BC est tangent au cercle inscrit , B1C1 l'est aussi.
