D941 Une jolie miniature
On trace deux droites perpendiculaires qui passent par l’orthocentre d’un triangle ABC sans être parallèles à l’un quelconque des côtés du triangle. Elles déterminent trois segments sur les droites portant les côtés du triangle. Démontrer que les milieux de ces segments sont sur une même droite.
On démontre que les cercles ayant pour diamètres ces trois segments appartiennent à un même faisceau ayant pour points de base l'orthocentre H et un point X du cercle Ω circonscrit au triangle ABC, cela prouvera l'alignement des milieux de ces trois segments.
Soient K et L les symétriques de l'orthocentre H du triangle ABC, par rapport aux côtés AB et AC.
Le cercle Ω est identique au cercle (KAL).
Dans la figure ci-dessus, une seule droite Δ passant par H est tracée, couleur rose, elle coupe (AB) en M et (AC) en N. La droite Δ' perpendiculaire à Δ en H, qui couperait (AB) en M' et (AC) en N' n'est pas tracée : on n'a pas besoin des points M' et N' car les cercles (MHK) et (NHL) sont
identiques aux cercles de diamètre MM' et NN' (parce que angle MHM' = angle MKM' = 90° et, de même, parce que angle NHN' = angle NLN' = 90° ).
Soit X le deuxième point d'intersection des cercles (MHK) et Ω.
Égalité d'angles de droites : (XL,XH) = (XL,XK) + (XK, XH) = (AL,AK) + (MK,MH).
Mais (AL, AK) = 2(AC,AB) car la composée de 2 symétries axiales est une rotation , et (MK, MH) = 2(AB, NH). En ajoutant : (XL, XH) = 2(AC, NH) = (NL, NH).
Finalement (XL, XH) = (NL, NH) , cela prouve que le point X appartient au cercle (NHL) de diamètre NN'. Une démonstration analogue prouverait que ce même point X appartient aussi au cercle ayant pour diamètre le segment PP' déterminé sur la droite portant le côté AC par les droites perpendiculaires Δ et Δ'.
Les trois cercles qui passent par les points H et X ont donc leurs centres alignés.
