D624. La M-configuration
Soit un triangle acutangle. On considère les trois points , et respectivement sur les segments , et tels que les quatre segments , , et constitutifs de la M-configuration associée à sont de même longueur. De la même manière on considère les deux autres M-configurations et associées respectivement aux sommets et .
Construire à la règle et au compas les trois M-configurations avec le minimum de manipulations possibles.
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Notons , , les angles aux sommets , , . Considérons le cercle circonscrit à . Notons son centre et son rayon. Etudions la M-configuration associée à . Notons la longueur . Appelons , , les projetés orthogonaux de , , sur . Notons enfin l’intersection de et de située du même côté de que le point .
On établit les relations :
cos ; cos ; 2 cos ! cos "
sin ; 2 sin sin ; cos ; sin Puis :
tan , " ' '
sin ' cos sin ' cos
sin sin ' cos ! cos " cos sin cos
' cos ! " ' cos cos
sin cos cos ' cos cos
sin cos 1 ' cos sin tan
2 tan , " '
' sin ' cos
sin ' cos sin sin ' cos ! cos " cos sin cos ' cos ! " ' cos cos
sin cos cos ' cos cos
sin cos 1 ' cos sin tan
2 Ce qui implique que :
) ! 2 ; ) ! 2 * ) + ' ) On a en outre :
) ! 2 ! + * ) ! 2 )
On en conclut finalement que , , , , sont cocycliques. C'est-à-dire qu’on peut construire et aux intersections du cercle circonscrit à avec respectivement et . Le point s’obtient alors par un simple report de longueur.
Les points , puis peuvent s’obtenir par une construction analogue (car , , , , sont cocycliques). Les points , puis également (car , , , , sont cocycliques).
A1
P B C
M
A
O
E D
F
N r
l α
β γ
l
On peut donc construire les points , , , , , , , , grâce à 23 manipulations de la règle ou du compas :
• Tracer 3 cercles de centre , , d’un même rayon arbitraire ,.
• Tracer 3 droites reliant les intersections des cercles précédents pour former les médiatrices de , concourantes en .
• Tracer le cercle de centre circonscrit au triangle et repérer les points , , à l’intersection des médiatrices.
• Tracer le cercle de centre et de rayon ,. Tracer 3 cercles de centre , , et de rayon ,.
• Tracer les 6 droites reliant les intersections idoines des cercles déjà tracés, pour former les médiatrices de , , , , , et repérer les points -, -, - à l’intersection de , , et de
respectivement , , .
• Tracer les 3 cercles de centres -, -, - circonscrits à , , . Repérer les points , , , , , aux intersections de ces cercles et des côtés du triangle.
• Traces 3 cercles finaux pour un report de longueurs permettant d’obtenir les points , , restants.
Une construction alternative peut-être considérée en remarquant que ", ", " sont concourantes. En effet : 2 cos ; 2 cos
* barycentre de , , " muni des coefficients 70, 1 cos , 1
cos 9 Et pareillement que :
barycentre de , , " muni des coefficients 7 1 cos , 0,
1 cos 9 barycentre de , , " muni des coefficients 7 1
cos , 1 cos , 09 Ce qui permet d’affirmer que ", ", " sont concourantes au point :
: barycentre de , , " muni des coefficients 7 1 cos ,
1 cos ,
1 cos 9
A
C K
H
I E
J
B2 A2
C2 G
F
B1
A1
O
L C1 D
B
On en déduit alors une construction alternative de la troisième M-configuration : on construit T à l’intersection de ", " puis K à l’intersection de :", " puis et à l’intersection de ", " et des médiatrices de
;<, ;<.
Soit finalement, également 23 manipulations :
• Tracer 3 cercles de centre , , d’un même rayon arbitraire ,.
• Tracer 2 droites reliant les intersections des cercles précédents pour former les médiatrices de et , sécantes en .
• Tracer le cercle de centre circonscrit au triangle et repérer les points , à l’intersection des médiatrices précédentes.
• Tracer le cercle de centre et de rayon ,. Tracer 2 cercles de centre , et de rayon ,.
• Tracer les 4 droites reliant les intersections idoines des cercles déjà tracés, pour former les médiatrices de , , , et repérer les points -, - à l’intersection de , et de respectivement , .
• Tracer les 2 cercles de centres -, - circonscrits à , . Repérer les points , , , aux intersections de ces cercles et des côtés du triangle.
• Tracer 2 cercles pour un report de longueurs permettant d’obtenir les points , restants.
• Tracer les 2 droites " et ", sécantes en :. Tracer la droite :", coupant " en .
• Tracer le cercle de centre K et de rayon ,, puis grâce à lui, les 2 droites médiatrices de ;<, ;<, qui coupent ", " en , .
