Preuve de l’inégalité

Problème : Inégalités de Cauchy-Schwarz, de Milne et de Grüss

Dans ce problème, on démontre la célèbre inégalité de Cauchy-Schwarz et on étudie quelque unes de ses innombrables conséquences.

Partie N^o1 : Inégalité de Cauchy-Schwarz Dans cette première partie, on cherche à prouver le résultat qui suit.

Pour tous x1,· · · , xn, y1,· · ·, yn∈R,

n

X

k=1

x_ky_k

6 v u u t

n

X

k=1

x²_k× v u u t

n

X

k=1

y_k²

avec égalité si, et seulement si, x1 =· · ·=xn= 0 ou s’il existeλ∈Rtel que, pour tout 16k6n, y_k=λx_k.

Théorème 1:Inégalité de Cauchy-Schwarz

1. Preuve de l’inégalité.

Soientx1,· · ·, xn, y1,· · · , yn∈R.

(a) Montrer l’inégalité dans le cas oùx₁=· · ·=x_n= 0.

(b) On suppose à présent que l’un des réelsx₁,· · · , x_n est non nul et on pose, pour t∈R, P(t) =

n

X

k=1

(txk+yk)².

Montrer queP est une fonction polynomiale de degré2 positive surRpuis conclure.

Où l’hypothèse de non-nullité de l’un des réels x1,· · · , xn a-t-elle servi ? 2. Cas d’égalités.

(a) Montrer que si,x1 =· · ·=xn= 0 ou que s’il existeλ∈R tel que, pour tout 16k6n, y_k=λx_k alors il y a égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

(b) Montrer la réciproque en utilisant 1..

Partie N^o2 : Somme parallèle et inégalité de Milne

Pour tous a, b >0, on appelle somme parallèle de aetb, et on notea||b le réel a||b= ab

a+b.

1. Vérifier les assertions qui suivent et leur donner un nom.

(a) ∀a, b >0,a||best bien définie, (b) ∀a, b >0,a||b=b||a,

(c) ∀a, b, c >0,a||(b||c) = (a||b)||c.

On cherche ensuite à prouver le résultat qui suit.

1

Pour tous a₁,· · ·, a_n, b₁,· · · , b_n>0,

n

X

k=1

(a_k||b_k)6

n

X

k=1

a_k

n

X

k=1

b_k

!

avec égalité si, et seulement si, il existe λ∈R^+? tel que, pour tout16k6n ,b_k =λa_k. Théorème 2:Inégalité de Milne

2. Preuve de l’inégalité.

Soienta₁,· · · , a_n, b₁,· · ·, b_n>0. On pose A=

n

X

k=1

a_k etB =

n

X

k=1

b_k. (a) Montrer que

A²6

n

X

k=1

a²_k ak+bk

!

(A+B).

(b) Montrer l’inégalité de Milne en remarquant que, pour tout 16k6n, _a^akbk

k+bk =a_k−_a^a2k

k+bk. 3. Cas d’égalités.

(a) Montrer que si il existeλ∈R^+? tel que, pour tout16k6n,b_k=λa_k alors il y a égalité dans l’inégalité de Milne.

(b) Montrer la réciproque en utilisant 2..

4. Une application.

Parmi les deux circuits électriques qui suivent, lequel dissipe le plus de chaleur ?

Partie N^o3 : Inégalité discrète de Grüss 1. Soientm, M ∈R avec m6M etx1,· · ·, xn∈[m, M].

(a) Montrer que

1 2

X

16i,j6n

(x_i−x_j)²=n

n

X

k=1

x²_k−

n

X

k=1

x_k

!2

.

(b) En déduire l’égalité 1

2 X

16i,j6n

(x_i−x_j)²+n

n

X

k=1

(M−x_k)(x_k−m) = (nM−s)(s−nm) oùs=

n

X

k=1

x_k.

(c) En déduire que

X

16i,j6n

(x_i−x_j)² 6 n²(M −m)²

2 .

(d) Lorsquenest pair, donner un exemple non trivial où l’inégalité précédente et une égalité.

2

On souhaite pour finir établir l’inégalité qui suit.

Soienta₁,· · · , a_n, b₁,· · ·, b_n∈R.

On note amax (respectivement amin) la plus grande (respectivement petite) des valeurs des réels a1,· · ·, an.

On définit de manière analogue les réelsb_max etb_min. Alors

1 n

n

X

k=1

a_kb_k− 1 n

n

X

k=1

a_k

!

× 1

n

n

X

k=1

b_k

!

6 1

4(amax−amin)(bmax−bmin).

Théorème 3:Inégalité de Grüss

2. (a) Montrer que

n

n

X

k=1

a_kb_k−

n

X

k=1

a_k

!

×

n

X

k=1

b_k

!

= 1 2

X

16i,j6n

(a_i−a_j)(b_i−b_j).

(b) En déduire l’inégalité

1 n

n

X

k=1

akbk− 1 n

n

X

k=1

ak

!

× 1

n

n

X

k=1

bk

!

6 1 2n²

s X

16i,j6n

(ai−aj)²× s

X

16i,j6n

(bi−bj)².

(c) Prouver l’inégalité discrète de Grüss

3. La constante ¹₄ de l’inégalité discrète de Grüss est-elle optimale ?

* * * FIN DU SUJET * * *

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