Chapitre 8 : Suites.
Première 6
1 Définition et notations
1.1 Notation
Définition 1 Une suite u est une fonction définie sur l’ensembleNdes entiers naturels. L’image du nombre entier n est appeléterme de rang nde la suite et est noté un.
Remarque :Une suiteuest parfois notée par(un).
Remarque :Dans un repère, on appelle représentation graphique d’une suiteun l’en- semble des pointsMde coordonnées(n;un)pour tout entier n∈ N.
1.2 Définition par une formule explicite
Une suite est donnée par une formule explicite si son terme de rangnpeut être donné par une formule explicite.
Exemple :udéfinie par la formuleun =n2+1.u1 =. . . ;u2 =. . . ;u3 =. . ..
1.3 Définition par une relation de récurrence
Une suiteudéfinie par une relation de récurrence est caractérisée par : 1. son terme initial, noté u0.
2. une relation du typeun+1 = f(un).
Exemple : la suite définie par u0 = 1; un+1 = 2un +3. est une suite définie par récurrence dont les premiers termes valentu1 =. . . ;u2=. . . ;u3=. . .Exemples :
2 Sens de variation
Définition 2 Soit u une suite.
— On dit que u est croissante si pour tout entier naturel
— On dit que u est décroissante si pour tout entier naturel
— On dit que u est constante si pour tout entier naturel
Méthode :Pour déterminer si une suite est croissante il suffit d’étudier le signe de la différenceun+1−un.
— Si, pour tout entier natureln,un+1−un ≥0 alors la suiteuest
— Si, pour tout entier natureln,un+1−un ≤0 alors la suiteuest
Exemple :Déterminer le sens de variation deudéfinie paru0=1 et la relationun+1= un+4.
Théorème 1 Si la suite u est définie par une formule explicite un = f(n), alors :
— Si la fonction f est croissante sur[0;+∞[, alors la suite u
— Si la fonction f est décroissante sur[0;+∞[, alors la suite u
Remarque : On parle de stricte croissance ou de stricte décroissance quand les inégalités sons strictes.
Exemple : Soit u la fonction définie pour tout entier naturel n par un =3n−4. Quel est son sens de variation ?
Interprétation graphique :Si u est croissante alors les points de coordonnées(n;un)ont des ordonnées croissantes.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
2.
4.
6.
8.
10.
12.
14.
16.
0
Si u est décroissante alors les points de coordonnées(n;un)ont des ordonnées décroissantes.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
−7.
−6.
−5.
−4.
−3.
−2.
−1.
1.
0
3 Suites arithmétiques
3.1 Définition par une relation de récurrence
Définition 3 Une suite u est une suite arithmétique de raison r si u est définie : 1. Par la donnée d’un terme initial u0.
2. Par une relation de récurrence du type un+1 =un+r.
Remarque :L’entierrest un nombre fixé.
Exemple :La suite définie paru0 =7 etun+1 =un+3 est une suite arithmétique.
3.2 Formule explicite
Proposition 1 Si u est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0alors, pour tout n deN, un =u0+nr. Réciproquement, si un = a+bn alors u est arithmétique de raison b et de premier terme a.
Exemples :
1. uest la suite arithmétique de raisonr =3 et de premier termeu0 = 5. Calculeru1 et u42.
2. uest la suite arithmétique de raisonr = −3 et de premier termeu0 = 12. Calculer u1etu42.
Théorème 2 Si u est une suite arithmétique de raison r et de m−ème terme um alors, pour tout n deN, un =um+ (n−m)r.
1. uest la suite arithmétique de raisonr = 3 et de cinquième termeu4 =3. Calculer u1etu42.
2. uest la suite arithmétique de raisonr=−1 et telle queu8=12. Calculeru1etu42.
3.3 Sens de variation
Proposition 2 Soit u une suite arithmétique de raison r,
— Si r>0alors u est strictement croissante.
— Si r<0alors u est strictement décroissante.
Remarque :Sir =0 la suite est constante.
4 Suites géométriques
4.1 Définition par une relation de récurrence
Définition 4 Une suite u est une suite géométrique s’il existe un nombre q tel que : un+1 =q×un.
q s’appelle la raison de la suite géométrique.
Exemple :Siuest définie paru0=4 etun+1=3un alorsu1 =12,u2 =36 etc.
4.2 Formule explicite
Proposition 3 Si u est une suite géométrique de raison q et de premier terme u0alors, pour tout n deN, un = u0×qn. Réciproquement, si un = aqn alors u est arithmétique de raison q et de premier terme a.
Exemples :
1. uest la suite géométrique de raisonq = 3 et de premier termeu0 = 5. Calculeru1
et u42.
2. uest la suite géométrique de raisonq =−3 et de premier termeu0 = 12. Calculer u1etu42.
Théorème 3 Si u est une suite géométrique de raison q et de m−ème terme um alors, pour tout n deN, un =q(n−m)um.
1. uest la suite géométrique de raisonr = 3 et de cinquième termeu4 = 3. Calculer
4.3 Représentation graphique
Exemple 1 : u0=1,un+1 =2un.
−2. 2. 4. 6. 8. 10. 12.
2.
4.
6.
8.
10.
12.
0
Exemple 2 : u0=8,un+1 = 12un.
−4. −2. 2. 4. 6. 8.
−2.
2.
4.
6.
8.
0
Exemple 3 : u0=4;un+1 = −2un.
−4. −3. −2. −1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
−3.
−2.
−1.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
0
4.4 Sens de variation
Proposition 4 Soit u une suite géométrique de raison q,
— Si q >1alors u est strictement croissante.
— Si0<q <1alors u est strictement décroissante.
Exemples :
Déterminer le sens de variation des suites suivantes :
1. uest la suite géométrique de raisonr=2 et de premier terme 11.
2. vest la suite géométrique de raisonr= 12 et de premier terme 19.
Remarque : Siq < 0, alors la suite a un comportement oscillant (elle alterne entre le négatif et le positif.
