Sorbonne Universit´e Pr´epa agreg 2018-19
TD d’analyse 8 : Fourier
Exercice 1. Soit f : R → R la fonction paire et 2π-p´eriodique d´efinie par f(x) =π−x pour x∈[0, π].
(a) Calculer la s´erie de Fourier def. (b) En d´eduire la valeur de
+∞
X
n=1
1 n2 et
+∞
X
n=1
1 n4.
Exercice 2. Soit une fonction f :R → C, 2π-p´eriodique, de classeC1 et telle que
Z 2π
0
f(t)dt= 0. D´emontrer l’in´egalit´e Z 2π
0
|f(t)|2dt≤ Z 2π
0
|f0(t)|2dt et caract´eriser le cas d’´egalit´e.
Exercice 3.
(a) Calculer la transform´ee de Fourier de l’indicatrice de [−1,1].
(b) Que vaut Z
R
(sinx)2 x2 dx?
Exercice 4. Soit une fonction f :R→Cde la classe de Schwarz.
(a) Pour x ∈ R, on pose F(x) =
+∞
X
n=−∞
f(x+ 2πn). Montrer que cette formule d´efinit une fonction 2π-p´eriodique et de classeC∞.
(b) Exprimer les coefficients de Fourier de F en fonction de la transform´ee de Fourier ˆf de f.
(c) En d´eduire la formule sommatoire de Poisson :
∀x∈R,
+∞
X
n=−∞
f(x+ 2πn) = 1
√2π
+∞
X
n=−∞
f(n)eˆ inx.
(d) D´emontrer la formule d’inversion de la transform´ee de Fourier `a l’aide de cette formule.
Indication : utiliser f(x) =g(x)e−itx, o`u test un param`etre r´eel et g dans la classe de Schwarz.
1
2
Exercice 5. (Polynˆomes de Hermite)
On va travailler dans l’espace de Hilbert H = L2(R, µ) associ´e `a la mesure de probabilit´eµ surRd´efinie par dµ(x) = e−x2
√π dx. Pourn∈Net x∈R, on note hn(x) =ex2g(n)(x), o`u g(x) =e−x2.
(a) Montrer que les fonctions hn sont polynˆomiales. D´eterminer leurs degr´es et coefficients dominants.
(b) Montrer que (hn)n∈Nforme une famille orthogonale deHet calculer la norme λn de chaque ´el´ement hn.
(c) On veut montrer que la famille (λ−1n hn)n∈N est une base hilbertienne deH.
(i) Pourf ∈H etx∈R, on noteψf(x) =f(x)e−x2. Montrer que sa trans- form´ee de Fourier ψcf est bien d´efinie sur R et s’´etend en une fonction holomorphe surC.
(ii) Pour toute n∈ N, calculer la d´eriv´ee n-i`eme ψcf(n)(0). En d´eduire que sif est orthogonale `a tous les polynˆomes, alors f est nulle.
(iii) Conclure.
(d) (i) Soit b∈ C. Montrer que l’int´egrale Z +∞
−∞
e−(x+b)22 dx est bien d´efinie et ne d´epend pas deb.
(ii) Soient ξ, t∈R. Calculer l’int´egrale Iξ(t) = Z +∞
−∞
ex
2
2−(x+t)2−ixξ
dx.
(iii) En calculant les d´eriv´eesIξ(n)(0) de deux fa¸cons diff´erentes, montrer que les fonctions ϕn :x 7→ hn(x)e−x
2
2 ,n ∈N, sont des vecteurs propres de la transform´ee de Fourier.
(iv) En d´eduire une base hilbertienne deL2(R, dx) qui diagonalise la trans- form´ee de Fourier.
Exercice 6. Calculer la transform´ee de Fourier def :x7→1/(coshx)2.
Indication on pourra int´egrer une certaine fonction holomorphe sur le bord du rectangle ΩR={z∈C/|Re(z)|< Ret 0<Im(z)< π}, R >0.
