TD n°6 : Fourier - Correction

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TD n°6 : Fourier - Correction

Séries de Fourier Coefficient de Fourier

On considère une fonction f continue par morceaux et

T

-périodique.

c_n

(

f

)

=1 T

∫

T

❑

f

(

t

)

e^−¿

2π T t

dt

(

n∈Z

)

a

_n

( f )= 2 T ∫

[T]

❑

f (t ) cos ( ^{n 2} T ^π t ) ^{dt ;b}

ⁿ

^{( f )=} T ² ∫

[T]

❑

f (t ) sin ( ^{n 2} T ^π t ) ^{dt ( n}

^∈

^{N )}

a

_n

=c

_n

+c

_−n

;b

_n

=i ( ^c

n

− c

_−n

) ^;c

n

= a

_n

−i b

_n

2

Cas pratique :

Si f est paire : Si f impaire

{ ^a

ⁿ

^{(f )=2 × T 2 ∫}

^T02

^b

ⁿ

^{f =0 (t ) cos ( n 2 T π t ) dt} { ^b

ⁿ

^{( f )=2× T 2 ∫}

^T02

^a

ⁿ

^{f =0 ( t ) sin ( n 2 T π t ) dt}

Série de Fourier de f

a

_n

cos ( ^{n 2} T ^π x ) ⁺

^¿

^b

ⁿ

^sin ( ^{n 2} T ^π x )

Sf ( x )= a

0

2 + ∑

n=1

∞

¿

Sf ( x )= ∑

n=−∞

∞

c

_n

e

^¿

2π T x

Théorème de Dirichlet (1829)

Soit

f

définie sur ℝ, C¹ par morceaux sur ¿−

T 2 ; T

2

¿ ¿ _et

T

-périodique.

−¿ x

^¿

¿

+

¿

x

^¿

f

¿¿

Pour tout réel x : Sf ( x )=¿

Théorème de Parseval

Soit f définie sur ℝ, continue par morceaux sur ¿−

T 2 ; T

2

¿ ¿ _{et T} -périodique.

Page sur a_n²+¿b_n²=2

T

∫

T

❑

|

f

(

t

) |

²dt

n=−∞

∑

∞

|

^cn

|

²⁼_T¹

∫

T

❑

|

f

(

t

) |

²dt oua₀² 2 +

∑

n=1

∞

¿

On écrit aussi :

a

n2

+¿ b

n2

∑

n=1

∞

¿

¿

( ^{a 2}

⁰

)

²

^{+ 1 2}

^¿

Exercice 1 :

Soit f 2π-périodique définie par

f ( x )=x

sur ¿– π ;π¿ ¿ .

1. Montrer que :

Sf ( x )=2 ∑

n=1

∞

(−1)

ⁿ⁻¹

sin nx n

On a

a

_n

( f )=0

(car f est impaire) et par IPP

∀

n∈ N

^¿

, b

_n

(f )= 2 π ∫

0 π

t sin ( nt )dt =−2 cos nπ

n +2 sin nπ

n ² π =−2 (− 1)

ⁿ

n

∀

n∈ N

^¿

, b

_n

(f )=−2 (−1 )

ⁿ

n

Donc on obtient le résultat demandé.

2. Convergence.

a. Montrer que :

; ∑

n=1

∞

(−1)

ⁿ⁻¹

sin nx

n = x

2

∀

x

∈¿

– π ; π

¿

La fonction f n’est pas continue sur ¿– π ;π¿ ¿ puisque

f ( π )=π

mais −π^+¿f

(

x

)

=−π lim

¿ ¿ ^.

Il y a donc une discontinuité en

x=± π

.

Elle est bien C¹ par morceaux puisqu’elle est C¹ sur ¿

¿

– π ;π

¿ . le théorème de Dirichlet

affirme donc que la série va converger vers x sur ¿

¿

– π ;π

¿ ^{et vers}

−¿ x

^¿

+¿

¿

x

^¿

f

¿¿

¿

pour x=± π .

On obtient donc le résultat demandé.

Page sur b. Etudier le cas où x=π .

Dans ce cas, tous les termes de la série sont nuls, et la somme est bien nulle comme attendue.

3. Cas particulier. Montrer que :

π

4 =1− 1 3 + 1

5 − 1 7 … …

Pour

x= π

2

, on retrouve la série alternée demandée.

4. Application du Théorème de Parseval : Montrer que :

∑

n=1

∞

1

n ² = π

²

6

En appliquant la formule de Parseval, ce qui est l légitime car f est continue par morceaux sur ¿– π ;π¿ ¿ donc

a

_n²

+¿ b

_n²

= 1 π ∫

−π π

| f ( t ) |

²

dt a

₀²

2 + ∑

n=1

∞

¿

{ ^∑

^n=1∞

^{π b 1}

^n−π

^∫

^2π

^{= t ∑}

^n2=1∞

^{dt= ( −2 1 π (−1) ( 2 n 3 π}

³ⁿ

^{) ) =}

²

^{= 2 ∑}

ⁿ⁼¹

^{3 π}

^∞

^{² n 4 ²}

∑

n=1

∞

1

n ² = π

²

6

Exercice 2 :

Soit f 2π-périodique, impaire, définie par :

¿

¿

f (nπ )=0 pour n

∈

Z f (x )=1 sur ;π

¿

¿ 1. Représenter f.

2. Montrer que : ∀

x

∈

R , f ( x )= ∑

n=0

∞

4

π (2 n+ 1) sin ( ( 2 n+1) x )

Ona a

_n

( f )=0( car f est impaire ) et par IPP ,

∀

n

∈

N

^¿

, b

_n

( f )= 2 π ∫

0 π

sin (nt ) dt= 2

πn ( 1−(−1)

ⁿ

)

∀

p

∈

N

^❑

, b

_2p

=0 , b

_2p+1

= 4 π (2 p +1)

f définie sur ℝ,

C

¹ par morceaux sur ℝ et 2π-périodique donc on peut appliquer le théorème de Dirichlet

La série de Fourier réelle de f converge simplement et a pour somme la régularisée

~ f

de

f

. Or ici f est égale à sa régularisée, donc on obtient le résultat demandé.

Page sur 3. Montrer que :

∑

n=0

∞

(−1)

ⁿ

2 n+1 = π

4

. Il suffit de prendre

x = π 2

4. Montrer que :

∑

n=0

∞

1

( 2 n+ 1)

²

= π ² 8

On peut appliquer la formule de Parseval puisque f est continue par morceaux.

a

_n²

+¿ b

_n²

= 1 π ∫

−π π

| f ( t ) |

²

dt a

₀²

2 + ∑

n=1

∞

¿

{ ^∑

^n=1∞

^b

ⁿ²

^{= ∑}

^n=0∞

^{1 π ( π ∫}

^−ππ

^{(2 1 4 n+ dt = 1) 1 π )}

²

^{(2 = π 16 π )=2 ² ∑}

^n=0∞

^{(2 n+ 1 1)²}

∑

n=0

∞

1

(2 n+1) ² = π

²

8

5. En déduire que :

∑

n=1

∞

1

n

²

= π ²

6 , et que ∑

n=1

∞

(−1)

ⁿ

n

²

= − π ²

12

Comme

∑

n=1 2N+1

1 n ² = ∑

p=1

N

1

(2 p) ² + ∑

p=0

N

1

(2 p+1 )²

On peut passer à la limite (en N) car toutes ces séries converges donc

∑

n=1 +∞

1 n ² = ∑

p=1 +∞

1

(2 p)² + ∑

p=0

+∞

1

(2 p+ 1) ² = 1 4 ∑

p=1 +∞

1 p ² + π

²

8 3

4 ∑

n=1 +∞

1

n ² = π

²

8 donc : ∑

n=1

∞

1

n

²

= π ² 6

∑

n=1

∞

(−1)

ⁿ

n

²

= ∑

p=1 +∞

1

(2 p )² − ∑

p=0 +∞

1

(2 p+1 )² = 1 4

π ² 6 − π

²

8 donc ∑

n=1

∞

(−1)

ⁿ

n

²

= − π

²

12

Le regroupement de termes est légitime car on a convergence absolue donc commutative des séries.

Transformée de Fourier

La transformée de Fourier (notée

F

ou TF) d’une fonction f donnée est une opération qui transforme une fonction f intégrable sur ℝ en une autre fonction notée

f ou F ^

^.

F : f

⟶

^ f (ou F )

f ^ ( x )= 1

√ ^{2 π} ∫

−∞

+∞

f (t ) e

^ixt

dt

Remarque : Cette définition est celle adoptée par les physiciens, on peut aussi définir

f ^

sans le facteur

1

√ ^{2 π}

. Il suffit en fait que le produit des constantes dans (1) et (2) fasse 1/2π

Existence : Une condition suffisante d’existence de

f ^

est que la fonction f soit absolument intégrable.

Page sur La transformée de Fourier inverse. Soit f une fonction donnée admettant une TF

−¿ x

^¿

¿

+

¿

x

^¿

f

¿¿

¿

Exercice 3 :

Calculer la TF f pour f définie par :

{ ^f f ^{( x} ( x ⁾⁼¹ )=0 ^si sinon ^{| x | ≤ a}

Réponse :

Si x non nul , f ^ ( x )= √ ^{2 π sin x ax} ,et pour x=0 ^ f (0)=a √ ^{π 2}

Exercice 4 :

1. Montrer que si f est paire :

f ^ ( x )= √ ^{π 2 ∫}

^+∞0

^{f (t ) cos} xt dt et que f ( x )= √ ^{2 π ∫}

^+0∞

^{f ^ ( t ) cos xt dt}

2. Montrer que si f est impaire :

f ^ ( x )=i √ ^{2 π ∫}

^+∞0

^{f ( t )sin} xt dt et que f ( x )=−i √ ^{2 π ∫}

^+∞0

^{f ^ (t ) sin xt dt}

Exercice 5 :

1. Montrer que la TF f pour f définie par :

{ ^{f ( x} f ^)=1−x ( x )=0 si ^² | ^si x | ^| >1 ^{x | ≤1}

^est

f ^ ( x )= −4 x cos x +4 sin x

x

³

√ 2 π

2. Montrer que :

∫

0

∞

x cos x −sin x x

³

cos x

2 dx = −3 π 16

Exercices complémentaires autocorrectifs : Exercice 6 :

Soit f 2π-périodique, paire, définie par : ∀x∈

[

0; π

]

, f

(

x

)

=x .

Page sur 1. Montrer que : ∀

x

∈

R , f ( x )= π

2 − 4 π ∑

n=0

∞

1

(2 n+1) ² cos ( 2 n+1 ) x

On a

b

_n

( f )=0

(car f est paire) et par IPP

{

^∀

ⁿ

^∈

^N

^¿

^{, a}

ⁿ

^{(f )= a}

⁰

^{2 π ( f ∫}

^0π

^{)= t cos π 2 ∫}

^π0

^{(nt t dt ) dt= = π πn 2 ² ( (−1)}

ⁿ

^{−1 )}

{

^∀

^p

^∈

^N

^❑

^{, a a}

^2p+10

^{(f ( )=π f )= π (2 − p+1) 4 ²}

2. En déduire que :

∑

n=0

∞

1

(2 n+ 1)

²

= π ² 8

On prend

x=0

.

Exercice 7 :

Soit f 2π-périodique, impaire, définie par : ∀

x

∈

[ 0 ; π ] , f ( x )=sin ² x

.

1. Montrer que : ∀

x

∈

R , f ( x )= −8

π ∑

n=0

∞

1

(2 n−1)( 2 n+1 )(2 n+3 ) sin ( 2 n+1) x

{

^∀

^p

^∈

^{N , b}

^2p+∀1∀

^{= p n}

^∈

^π

^∈

^{( N 2 N , a}

^¿

^{p−1) (2 ,b}

ⁿ²

⁼⁰

^p

^{=0 −8 p+1)(2 p+3)}

2. En déduire que :

∑

n=0

∞

(−1 )

ⁿ

(2 n−1) (2 n +1)(2 n +3) = − π 8

Avec

x= π / 2

3.

∑

n=0

∞

1

( 2 n−1) ² ( 2 n+1) ² (2 n+3) ² = 3 π ² 256

On applique Parseval

Exercice 8 :

1. En utilisant le résultat de l’exercice 3, montrer que

∫

−∞

+∞

sin at cos xt

t dt= { ^{π 2 π si 0 si si | | | x x x | | | = >a < a a}

Page sur

La transformée de Fourier inverse.

−¿ x

^¿

+¿

¿

x

^¿

f

¿¿

¿

donc

1

√ 2 π ∫

−∞

+∞

√ ^{2 π sin a ax e}

^−ixt

^dt= { ^{1 2 1 0 si si si | | | x x x | | | < =a > a a}

1 π ∫

−∞

+∞

sin ax

a cos xt dt +i 1 π ∫

−∞

+∞

sin ax

a sin xt dt= { ^{1 2 1 0 si si si | | | x x x | | | < = >a a a}

La partie imaginaire est nulle (fonction impaire) donc on obtient le résultat demandé.

2. En déduire que :

∫

0 +∞

sin t

t dt= π

2

Suffit de prendre

x=0 et a=1.