Sorbonne Universit´e Pr´epa agreg 2020-21
TD d’analyse 8 : analyse fonctionnelle
Exercice 1.
(a) Soit f : X → Y une application entre deux espaces m´etriques. Pour tout n∈N∗, on noteOn={x∈X /∃δ >0,∀y, z ∈B(x, δ), d(f(y), f(z))<1/n}. V´erifier que lesOnsont des ouverts et que l’ensemble des points de continuit´e de f est \
n∈N∗
On.
(b) Utiliser le th´eor`eme de Baire pour en d´eduire qu’il n’existe pas de fonction continue sur Qet discontinue surR\Q.
Exercice 2. Pour tout N ∈Netx∈R, on noteDN(x) =
N
X
n=−N
einx.
(a) Montrer que Z 2π
0
|DN|tend vers +∞ quand N tend vers +∞.
Indication : la fonction sinus cardinal n’est pas int´egrable sur R+.
(b) Soit X l’espace des fonctions continues et 2π-p´erodiques de R dans C, muni de la norme uniforme. Soit N ∈N. Prouver que la formule
∀f ∈X, TN(f) = Z 2π
0
DN(x)f(−x)dx
d´efinit une forme lin´eaire continue TN surX et calculer sa norme.
(c) Utiliser le th´eor`eme de Banach-Steinhaus pour en d´eduire qu’il existe une fonctionf de X dont la s´erie de Fourier diverge en au moins un point.
Exercice 3. SoitH un espace de Hilbert poss´edant une base hilbertienne (ei)i∈N. On consid`ere une autre famille orthonorm´ee (fi)i∈Ntelle que
+∞
X
i=0
kei−fik2 <+∞.
(a) Montrer que la formule TN
+∞
X
i=0
xiei
!
=
N−1
X
i=0
xiei+
+∞
X
i=N
xifi
d´efinit un isomorphisme TN :H →H si on choisit N assez grand.
(b) Prouver que (fi)i∈N est une base hilbertienne de H.
Indication : que dire du sous-espace V orthogonal `a Vect(fi)i≥N?
Exercice 4.(Op´erateurs compacts) SoitHun espace de Hilbert. L’espaceL(H) des applications lin´eaires continues de H dans H (= op´erateurs) est muni de la norme d’op´erateur usuelle. On noteK(H) le sous-espace des op´erateurs compacts (i.e. tels que l’image de la boule unit´e est d’adh´erence compacte) et L0(H) celui des op´erateurs dont l’image est de dimension finie.
(a) Montrer queu est dansK(H) ssi il existe une suite d’´el´ements un de L0(H) qui converge vers udans L(H).
1
2
(b) Montrer que, siu est dans K(H), alors u∗ aussi.
(c) Montrer que, si u est dans K(H), alors Ker(id +u) et Im(id +u)⊥ sont de dimension finie.
(d) Montrer que, siu est dans K(H), alors Im(id +u) est ferm´e.
Exercice 5.(Op´erateurs de Hilbert-Schmidt) On reprend les notations de l’exer- cice pr´ec´edent et on suppose queH est muni d’une base hilbertienne (ei)i∈N. Pour u∈ L(H), on pose : kukHS =
v u u t
+∞
X
i=0
ku(ei)k2.On dit queuest de Hilbert-Schmidt si kukHS est fini. On note HS(H) l’ensemble des op´erateurs de Hilbert-Schmidt.
(a) Soient u ∈ L(H) et (fj) une (autre) base hilbertienne deH. V´erifier la for- mule : X
i,j
hu(ei), fji2 =kuk2HS. (b) En d´eduire que, pour u∈ L(H),
— ku∗kHS =kukHS;
— kukHS ne d´epend pas de la base hilbertienne (ei) choisie.
(c) Montrer queHS(H) est un id´eal bilat`ere de l’alg`ebreL(H).
(d) Montrer que tout u∈ HS(H) v´erifiekuk ≤ kukHS. (e) Montrer que (HS(H),k.kHS) est un espace de Banach.
(f) Montrer queL0(H) est un sous-espace dense de cet espace de Banach.
(g) En d´eduire que les op´erateurs de Hilbert-Schmidt sont compacts.
Exercice 6. (Espace de Bergman) Soit Ω un ouvert deC. On noteH(Ω) l’espace des fonctions f : Ω→Cqui sont holomorphes et de module au carr´e int´egrable.
(a) Montrer que, si le disqueD(z, r) est inclus dans Ω,|f(z)|2 ≤ 1 πr2
Z
D(z,r)
|f|2. (b) En d´eduire que, si K est un compact inclus dans Ω, il existe une constante
cK telle que : sup
K
|f| ≤cKkfkL2(Ω).
(c) Montrer que (H(Ω),k.kL2(Ω)) est un espace de Hilbert.
(d) D´ecrireH(C).
(e) Maintenant, on s’int´eresse au cas du disque unit´e : Ω = D. Montrer que les fonctionsen:z7→
rn+ 1
π zn,n∈N, forment une base hilbertienne deH(D).
(f) D´emontrer la formule :
∀f ∈H(D), ∀z∈D, f(z) = Z
D
f(w)
π(1−wz)¯ 2dλ(w), o`u λest la mesure de Lebesgue surR2 =C.
