Exercices 2, 8, 10 et 13 page 192

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N°2 page 192 :

1) ݂^ᇱሺݔሻ = ሺݔ݁^௫ሻ^ᇱ+ ሺ3ݔ − 1ሻ^ᇱ= 1 × ݁^௫+ ݔ݁^௫+ 3 = ሺݔ + 1ሻ݁^௫+ 3

2) ݃^ᇱሺݔሻ = ሺݔ^ଶ+ 2ݔ − 1ሻ^ᇱ× ݁^௫+ ሺݔ^ଶ+ 2ݔ − 1ሻ × ሺ݁^௫ሻ^ᇱ = ሺ2ݔ + 2ሻ݁^௫+ ሺݔ^ଶ+ 2ݔ − 1ሻ݁^௫

= ሺݔ^ଶ + 4ݔ + 1ሻ݁^௫

3ሻ ℎ^ᇱሺݔሻ =݁^௫× ሺ݁^௫+ ݔሻ − ݁^௫× ሺ݁^௫+ 1ሻ

ሺ݁^௫+ ݔሻ^ଶ = ݁^௫൫ሺ݁^௫+ ݔሻ − ሺ݁^௫+ 1ሻ൯

ሺ݁^௫+ ݔሻ^ଶ =݁^௫ሺ݁^௫+ ݔ − ݁^௫− 1ሻ ሺ݁^௫+ ݔሻ^ଶ

=݁^௫ሺݔ − 1ሻ ሺ݁^௫+ ݔሻ^ଶ

N°8 page 192 :

ܣ = ݁^ଷ௫× ݁^ିସ௫ = ݁^{ଷ௫ିସ௫} = ݁^ି௫ ܤ = 1

ሺ݁^ଶ௫ሻ^ଶ = 1

݁^ଶ௫×ଶ = 1

݁^ସ௫ = ݁^ିସ௫ ܥ = 1

ሺ݁^ି௫ሻ^଺ = 1

݁^ି଺௫ = ݁^଺௫ ܦ = 1

ሺ݁^ି௫ሻ^଺× ݁^ଷ௫ = 1

݁^ି଺௫ × ݁^ଷ௫ = ݁^଺௫× ݁^ଷ௫ = ݁^ଽ௫ ܧ =݁^ଷିଶ௫× ሺ݁^௫ሻ^ହ

݁^௫ିଶ =݁^ଷିଶ௫× ݁^ହ௫

݁^௫ିଶ = ݁^{ଷିଶ௫ାହ௫}

݁^௫ିଶ = ݁^ଷାଷ௫

݁^௫ିଶ = ݁ሺଷାଷ௫ሻିሺ௫ିଶሻ = ݁^{ଷାଷ௫ି௫ାଶ} = ݁^ଶ௫ାହ

N°10 page 192 : Pour tout réel ݔ ∶ 1

1 + ݁^ି௫ = 1 1 + 1݁^௫

= 1

݁^௫+ 1

݁^௫

= ݁^௫

݁^௫+ 1

N°13 page 192 : Pour cet exercice, vous pouvez bien sûr utiliser la notation ݁^௫ au lieu de expሺݔሻ… 1ሻ ݑ_௡ାଵ = exp൫−ሺ݊ + 1ሻ൯ = expሺ−݊ − 1ሻ = exp൫ሺ−݊ሻ + ሺ−1ሻ൯ = expሺ−݊ሻ × expሺ−1ሻ

= ݑ௡× exp ሺ−1ሻ

La suite ሺݑ௡ሻ est donc géométrique de raison exp ሺ−1ሻ et de premier terme ݑ_଴ = expሺ0ሻ = 1 2ሻ ݑ௡ = expሺ3݊ሻ × expሺ5݊ሻ = expሺ3݊ + 5݊ሻ = expሺ8݊ሻ

La suite ሺݑ_௡ሻ est donc géométrique de raison exp ሺ8ሻ et de premier terme ݑ_଴ = expሺ0ሻ = 1 3ሻ ݑ௡ =expሺ−݊ + 2ሻ × expሺ5݊ − 4ሻ

expሺ݊ − 2ሻ =expሺ4݊ − 2ሻ

expሺ݊ − 2ሻ = expሺሺ4݊ − 2ሻ − ሺ݊ − 2ሻሻ = exp ሺ3݊ሻ La suite ሺݑ_௡ሻ est donc géométrique de raison expሺ3ሻ et de premier terme ݑ_଴ = expሺ0ሻ = 1 4ሻ ݑ_௡ =expሺ2ሻ × expሺ−݊ + 5ሻ

exp ሺ7ሻ × expሺ6݊ሻ =expሺ−݊ + 7ሻ

expሺ6݊ + 7ሻ = expሺሺ−݊ + 7ሻ − ሺ6݊ + 7ሻሻ = exp ሺ−7݊ሻ La suite ሺݑ_௡ሻ est donc géométrique de raison exp ሺ−7ሻ et de premier terme ݑ_଴ = expሺ0ሻ = 1

Remarque : pour les questions 2, 3 et 4, on utilise la propriété 3 du cours. On peut aussi l’utiliser pour le 1) avec ܽ = −1.