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HAPITRE4 - L
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nET LA NOTION D
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ESPACE VECTORIELJulie Scholler - Bureau B246
novembre 2019
I. Vecteurs de Rn
Élément de Rn un vecteur
x1
xn
Opérations dans Rn
• Addition de deux vecteurs :
x1
xn
+
y1
yn
=
x1 + y1
xn + yn
• Multiplication par un scalaire : λ
x1
xn
=
λx1
λxn
I. Vecteurs de Rn
Combinaison linéaire de vecteurs v1, . . . ,vp de Rn tout élément de la forme
λ1v1 +· · ·+ λpvp, où λ1, . . . , λp sont des scalaires.
Ensemble des combinaisons linéaires de v1, . . . ,vp de Rn Vect(v1, . . . ,vn) = {λ1v1 + · · ·+ λpvp, λi ∈ R}
=
M ×
λ1
λn
, λi ∈ R
avec M la matrice dont les colonnes correspondent aux coefficients des vecteurs v1, . . . ,vn : M = (v1|v2| · · · |vn)
I. Vecteurs de Rn
Exemples
1. Vect(0Rn) = {0Rn} 2. Vect(u) = {λu, λ ∈ R}
Si u est un vecteur non nul de Rn, alors cet ensemble est appelé la droite vectorielle engendrée par u.
Si n = 2, alors c’est la droite du plan de vecteur directeur u passant par 0R2.
Si n = 3, alors c’est la droite de l’espace de vecteur directeur u passant par 0R3.
I. Vecteurs de Rn
Exemple
Dans R4, on considère les vecteurs suivants :
u1 =
1 2 0 1
, u2 =
2 1 3
−1
, u3 =
3 3 3 0
et v =
5 4 6
−1
v ∈ Vect (u
1, u
2, u
3) ?
oui : v = 1
2u1 + 3
2u2 + 1 2u3
I. Vecteurs de Rn
Famille libre
Famille libre
une famille finie (v1, . . . ,vp) de vecteurs de Rn telle que les vecteurs v1, . . . ,vp sont linéairement indépendants, c’est-à-dire si aucun vecteur n’est combinaison linéaire des autres.
Dans le cas contraire, on dit que la famille (v1, . . . ,vp) est liée.
Proposition
Une famille finie (v1, . . . ,vp) de vecteurs de Rn est libre si et seulement si
∀λ1, . . . , λp ∈ R, λ1v1 +· · ·+ λpvp = 0Rn =⇒ λ1 = · · · = λp = 0 Proposition
La famille v1,· · · ,vp est libre de Rn si et seulement si rang(M) = p, avec M = (v1|v2| · · · |vp)
I. Vecteurs de Rn
Famille génératrice de R
nFamille génératrice de Rn
une famille finie (v1, . . . ,vp) de vecteurs de Rn telle que Vect(v1, . . . ,vp) = Rn
On dit aussi que ette famille engendre Rn. Remarque
Si (v1, . . . ,vp) est une famille génératrice de Rn, alors
∀x ∈ Rn, ∃λ1, . . . , λp ∈ R, x =
p
X
i=1
λivi.
Proposition
La famille v1,· · · ,vp est génératrice de Rn si et seulement si rang(M) = n, avec M = (v1|v2| · · · |vp)
I. Vecteurs de Rn
Base de Rn
une famille finie de vecteurs libre et génératrice de Rn Proposition
La famille v1,· · · ,vp est une base de Rn si et seulement si rang(M) = p = n, avec M = (v1|v2| · · · |vp)
Base canonique de Rn
la famille de vecteurs (e1, . . . ,en) telle que pour tout entier k entre 1 et n, le vecteur ek est le vecteur dont toutes les coordonnées sont nulles sauf la ke qui vaut 1.
I. Vecteurs de Rn
Théorème
Soit F une famille de n vecteurs de Rn et M sa matrice colonne.
Les propriétés suivantes sont équivalentes.
• F est libre.
• F est génératrice.
• F est une base.
• rang(M) = n
• det(M) 6= 0
I. Vecteurs de Rn
Étude de l’ensemble des solutions dans R3 des systèmes d’équations linéaires
• n2x + y = z
•
(2x + y = z x − y = 0
•
(2x + y = z x − y = 1
II. Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels de R
nSous-espace vectoriel de Rn sous-ensemble E de Rn qui est :
1. non vide
2. stable par addition
∀x ∈ E, ∀y ∈ E, x + y ∈ E 3. stable par multiplication par les scalaires
∀x ∈ E, ∀λ ∈ R, λ·x ∈ E
En pratique
E est un sous-espace vectoriel de Rn si et seulement si 1. le vecteur nul 0Rn appartient à E
2. E est stable par combinaison linéaire
∀x ∈ E, ∀y ∈ E, ∀λ ∈ R, λx +y ∈ E
II. Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels
Exemples de sous-espaces vectoriels de Rn
• Rn
• les espaces engendrés par des vecteurs de Rn
• les ensembles de solutions d’un système linéaires homogène de n inconnues
Exemples d’ensembles qui ne sont pas des sous-espaces vectoriels de Rn
• Rn+
• les ensembles de solutions d’un système linéaires non homogène de n inconnues
•
( x y
!
∈ R2
x = y2 )
•
( x y
!
∈ R2
x2 = y2 )
II. Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels
Dimension
Existence et cardinal d’une base
Tout sous-espace vectoriel de Rn possède une base et toutes ses bases ont même cardinal.
Soit E un sous-espace vectoriel de Rn.
Dimension d’un sous-espace vectoriel E de Rn le cardinal d’une (et donc de toute) base de E Notation dim(E)
II. Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels
Matrices
Quand on a étudié Vect
1 2 0 1
,
3 3 3 3
, on a regardé A =
1 3 2 3 0 3 1 0
.
Quand on a étudié l’ensemble des solutions de n2x + y − z = 0 , on a regardé B = 2 1 −1.
II. Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels
Soit A une matrice de Mn,p(R).
Image d’une matrice
le sous-espace vectoriel de Rn engendré par les vecteurs correspondant aux colonnes de A
Notation Im(A)
Im(A) = Vect(v1,v2, . . . ,vp)
=
A
x1
xp
tels que
x1
xp
∈ Rp
(⊂ Rn)
=
y1
yn
∈ Rn tels que ∃
x1
xp
∈ Rp, A
x1
xp
=
y1
yn
Remarque dim(Im(A)) = rang(A)
II. Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels
Soit A une matrice de Mn,p(R).
Noyau d’une matrice
le sous-espace vectoriel de Rn correspondant à l’ensemble des solutions de AX = 0n
Notation Ker(A)
Ker(A) =
x1
xp
∈ Rp, A
x1
xp
= 0n.
Remarque dim(Ker(A)) = n −r = n− rang(A)
II. Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels
Théorème du rang
dim(Ker(A)) + rang(A) = p
III. Espaces vectoriels
Soit E un ensemble.
Soient + : E × E → E et · : R× E → E deux applications.
(E,+, ·) (ou plus simplement E s’il n’y a pas d’ambigüité) est un R-espace vectoriel si et seulement s’il vérifie 8 propriétés :
• 4 par rapport à l’addition interne +
• 4 principalement par rapport à la multiplication ·
Les éléments de E s’appellent les vecteurs et les éléments de R s’appellent les scalaires.
III. Espaces vectoriels
Propriétés de l’addition interne
l’application + : E × E → E, (x,y) 7→ x + y, appelée addition, vérifie les propriétés suivantes.
1. L’addition est commutative :
∀(x,y) ∈ E2, x + y = y +x. 2. L’addition est associative :
∀(x,y,z) ∈ E3, x + (y +z) = (x + y) +z.
3. L’addition admet un élément neutre, noté 0E et appelé vecteur nul, tel que ∀x ∈ E, x + 0E = x = 0E + x. 4. Tout élément x de E admet un opposé, c’est-à-dire que
∀x ∈ E, ∃y ∈ E, x + y = 0E = y +x
III. Espaces vectoriels
Propriétés de la multiplication scalaire
l’application
· : R ×E → E, (λ,x) 7→ λ·x (souvent noté λx),
appelée multiplication scalaire, vérifie les propriétés suivantes.
1. La multiplication scalaire vérifie la règle d’associativité mixte : ∀(λ, µ) ∈ R2, ∀x ∈ E, λ·(µ·x) = (λµ)·x. 2. Le scalaire 1 de R est un élément neutre à gauche de la
multiplication scalaire : ∀x ∈ E, 1·x = x.
3. La multiplication scalaire est distributive à droite par rapport à l’addition dans R :
∀(λ, µ) ∈ R2, ∀x ∈ E, (λ+µ)·x = λ·x + µ·x. 4. La multiplication scalaire est distributive à gauche par
rapport à l’addition dans E :
∀λ ∈ R, ∀(x,y) ∈ E2, λ·(x +y) = λ·x + λ·y.
III. Espaces vectoriels
Exemples d’espaces vectoriels
• Rn
• l’ensemble Mp,q(R) des matrices de même type (non nécessairement carrées)
• l’ensemble R[X] des polynômes
• l’ensemble des fonctions de R dans R
• l’ensemble des suites réelles (ou complexes)
