Culture Scientifique S2
Laura Fontanella
DUT MMI Universit´e Paris Est Cr´eteil
February 22, 2021
Plan du cours
Objectifs: d´ecouvrir les notions math´ematiques sur lesquelles se base l’informatique pour le multim´edia.
Math´ematiques pour l’informatique
I El´´ements de logique: calcul des propositions I Vocabulaire de la th´eorie des ensembles I Arithm´etique
Num´erisation et transmission du signal I Codage de l’information
I El´´ements de cryptographie
I Num´erisation (´echantillonnage, quantification, d´ebit).
I Transmission (´emetteur, r´ecepteur), support de transmission (filaire, optique, radio) et bande passante.
Comment suivre ce cours
I Pendant les CM: ´ecouter etposer des questions I Pendant les TD:
• chercher les solutions des exercices individuellement ou en groupe,
´
eventuellement `a l’aide des supports de cours
• prendre notedes solutions des exercices propos´es en TD
• poser des questions
I En cas d’absence:
• consulter les supports de cours
• faire le TD rat´e `a la maison
• demander les notes du TD rat´eaux copains
• contacter la prof pour toute question
Comment suivre ce cours
I Avant les ´evaluations:
• r´eviser le cours et surtout les TD ´eventuellement en groupe,
• contacter la prof par email ou sur Discord pour toute question, sachant que la prof ne r´eponds pas le jours avant l’´evaluation `a 23h30!
I Pendant les ´evaluations: travailler honnˆetement! Tout cas de fraude est sanctionn´e avec une note ´egale `a 0 `a la fois pour la personne qui a recopi´e et pour la personne qui a pass´e l’exercice
Logique
Motivations
En informatique, il est important d’avoir un langage rigoureux. La langue fran¸caise est souvent ambig¨ue:
I ”Le menu de mini comprends un dessert ou une salade de fruits”
signifie l’un ou l’autre mais pas les deux
I ”s’il pleut ou il fait trop froid, je resterai `a la maison”, veut dire que s’il pleut et il fait trop froid, `a fortiori je reste `a la maison
Motivations
La rigueur logique est importante sp´ecialement en programmation, par exemple lorsqu’on utilise les bool´eens, c.`a.d. types de variables susceptibles d’ˆetre vraies ou fausses.
name = input(" What is your name? ")
password = input(" What is the password? ") if name == "Josh" and password == "Friday":
print("Welcome Josh"’)
elif name == "Fred" and password == "Rock":
print("Welcome Fred") else:
print("I don’t know you.")
Assertions
Assertions
Une assertion est une phrase soit vraie, soit fausse, pas les deux en mˆeme temps.
Exemples:
I Il pleut
I je suis plus ˆag´ee que vous I 1 + 1 = 2
I 2 + 2 = 5
I tous les ´etudiants sont pr´esents I il neige et il fait froid
I il neige et il fait chaud
On notera les assertions par des lettres majuscules A, B, C... ou bien par des lettres minuscules p, q, r...
Assertions
”Monsieur, pourriez-vous m’indiquer l’heure, s’il vous plaˆıt ? ”
”oui, je peux.”
Connecteurs logiques
´Etant donn´e une ou deux assertions, on peut leur appliquer les connecteurs logiques pour construire des nouvelles assertions.
Les connecteurs binaires (i.e. qui relient deux assertions) sont:
I ETEx. ”je m’appelle Laura et j’enseigne `a l’UPEC”
I OU Ex. ”aujourd’hui il pleut ou il neige”
I IMPLIQUE / SI... ALORSEx. ”n = 2 implique que n est un nombre premier ” Ex. ”si je mange ce gateau, alors je prendrai du pois”
I Si ET SEULEMENT SI Ex. ”je prends le parapluie si et seulement si il pleut”
Le seul connecteur unaire (i.e. qui s’ applique `a une seule assertion) est:
I NONEx. ”non, il ne pleut pas”
Assertions et connecteurs
Une assertion est soit vraie, soit fausse, mais pas les deux en mˆeme temps. On notera par V la valeur ”vrai” et par F la valeur ”faux”. Les connecteurs alors sont des fonctions qui prennent en entr´ee la/les valeurs de v´erit´e des assertions auxquelles ils sont appliqu´es et renvoient une autre valeur de v´erit´e.
Exemple:
I NON est la fonction qui au vrai associe le faux et vice versa.
NON : {V,F} → {V,F}
NON(V)= F NON(F)= V
NON est un connecteur unaire, i.e. une fonction `a un seul argument, alors que les autres connecteurs mentionn´es sont binaires, i.e. fonctions `a deux arguments.
La n´ egation (NON)
La n´egation, not´ee¬,renverse la valeur de v´erit´e de l’assertion.
Exemple: si A est l’assertion ”il pleut”,¬Aest l’assertion ”il ne pleut pas”. S’il pleut, alorsAest vraie et¬Aest fausse; s’il ne pleut pas, alors Aest fausse et ¬Aest vraie.
La table de v´erit´e du NON
A ¬A
F V
V F
La conjonction (ET)
AETB prends la valeur ”vrai” seulement quand `a la fois A et B sont vraies.
La conjonction est not´ee par∧.
Exemple: si A est l’assertion ”je mange bien” et B est l’assertion ”je fais du sport”, alorsA∧B est l’assertion ”je mange bien et je fais du sport”.
La table de v´erit´e du ET
A B A∧B
F F F
F V F
V F F
V V V
La disjonction (OU)
AOU B prends la valeur ”vrai” quandau moins l’une entre A et B est vraie. La disjonction est not´ee par∨.
Exemple: si A est l’assertion ”je veux un dessert” et B est l’assertion ”je veux une salade de fruits”, alorsA∨B est l’assertion ”je veux un dessert ou bien une salade de fruits”
La table de v´erit´e du OU
A B A∨B
F F F
F V V
V F V
V V V
Attention! Si les deux assertions sont vraies, la disjonction est vraie aussi.
Si vous offrez `a un logicien ”un dessert ou une salade de fruits” inclus dans le menu, il pr´etendra les deux.
Le ou exclusif (SOIT..., SOIT)
SOITA, SOITB prends la valeur ”vrai” seulement quand uneet une seuleentre les assertions A et B est vraie.
Le ou exclusif est not´e par⊕,on l’appelle aussiXOR.
Exemple: ”le menu comprends soit un dessert, soit une salade de fruits”
La table de v´erit´e du XOR
A B A⊕B
F F F
F V V
V F V
V V F
Remarque: le ou exclusif renvoie la valeur ”vrai” seulement quand les valeurs de v´erit´e des 2 assertions sont distincts.
L’implication (SI..., ALORS)
AIMPLIQUEB est fausse seulement quand A est vraie mais B est fausse. L’implication est not´ee⇒
Exemple: ”S’il pleut, alors je prends le paraplui”
La table de v´erit´e de l’IMPLICATION
A B A⇒B
F F V
F V V
V F F
V V V
Attention! si l’antecedente est faux, l’implication est vraie (”ex falso quodlibet”).
Il faut pas s’´etonner si on voit un logicien qui prends le parapluie mˆeme avec le soleil.
L’implication (SI..., ALORS)
AIMPLIQUEB est fausse seulement quand A est vraie mais B est fausse. L’implication est not´ee⇒
Exemple: ”S’il pleut, alors je prends le paraplui”
La table de v´erit´e de l’IMPLICATION
A B A⇒B
F F V
F V V
V F F
V V V
Attention! si l’antecedente est faux, l’implication est vraie (”ex falso quodlibet”).
Il faut pas s’´etonner si on voit un logicien qui prends le parapluie mˆeme avec le soleil.
L’´ equivalence (SI, ET SEULEMENT SI)
ASI ET SEULEMENT SIB est vraie quand A et B ont la mˆeme valeur de verit´e. L’´equivalence est not´ee ⇐⇒ .
Exemple: ”je prends le parapluie si, et seulement si, il pleut”
La table de v´erit´e du SSI
A B A ⇐⇒B
F F V
F V F
V F F
V V V
Remarque: l’´equivalence prends la valeur ”vrai” seulement quand les deux assertions ont la mˆeme valeur de v´erit´e
Les parenth` eses
Dans l’usage des parenth`eses, on convient que la n´egation a la priorit´e sur les autres connecteurs, c.`a.d. on l’applique toujours `a la premi`ere assertion qui le suit.
Exemple 1: ¬A∧(B∨C) corresponds `a (¬A)∧(B∨C) et non pas `a
¬(A∧(B∨C)) Exemple 2:
A : je veux un th´e B : je veux un caf´e
Que signifie¬A∧B ? 1. je ne veux pas `a la fois un th´e et un caf´e 2. je ne veux ni de th´e ni de caf´e
3. je ne veux pas de th´e, mais je veux un caf´e
Condition n´ ec´ essaire et suffisante
I ”A est une condition suffisantepour avoir B” signifie que d`es que A est vraie, alors n´ecessairement B est vraie (A⇒B).
I ”A est une condition n´ec´essairepour avoir B” signifie que d`es que B est vraie, alors n´ecessairement A est vraie (B ⇒A).
I ”A est une condition n´ec´essaire et suffisantepour avoir B”
signifie que B implique A et A implique B ((B ⇒A)∧(A⇒B)).
Exercice: ´ecrivez la table de v´erit´e de (A⇒B)∧(B⇒A).Que remarquez vous?
Entreinement
A : ”Pierre est coupable”
B : ”Marie est coupable”
Formalisez les assertions suivantes:
I ”Pierre n’est pas coupable et Marie n’est pas coupable”
I ”Au moins l’un entre Pierre et Marie est coupable”
Entreinement
´Ecrivez la table de v´erit´e de¬(A ⇐⇒ B) et comparez-la `a celle deA⊕B.
Equivalences remarquables ´
Les assertions suivantes sont ´equivalentes, c. `a. d. elles ont la mˆeme table de v´erit´e
I ¬¬AetA
I ¬(A∧B) et¬A∨ ¬B (loi de De Morgan) I ¬(A∨B) et¬A∧ ¬B (loi de De Morgan) I ¬(A⇒B) etA∧ ¬B
I ¬(A ⇐⇒ B) etA⊕B I ¬(A⊕B) etA ⇐⇒ B
Compl´ etude Fonctionelle
I Certains connecteurs logiques sont en r´ealit´e redondants.
I Un ensemble de connecteurs logiques estfonctionnellement complet si ces connecteurs sont suffisant pour ´ecrire toute fonction binaire.
I Exemples:
• {ET, NON}
• {OU, NON}
Exercice
´Ecrire en fonction de ET et NON tous les autres op´erateurs.
Tautologies
Unetautologieest une assertion qui est toujours vraie quelques soit la valeurs de v´erit´es des assertions qui la composent.
Exemples:
I A⇒A
I A∨ ¬A(loi du tiers exclu)
I ¬(A∧ ¬A) (loi de non contradiction)
A A⇒A
F V
V V
Pr´ edicats, variables, constantes
”nest un entier”
Cette affirmation est vraie ou fausse selon la valeur denqui peut ˆetre un r´eel, un nombre complexe, une personne... On reconnait un sujetnet un pr´edicat ”ˆetre un entier” qu’on peut noterP.
L’affirmation pr´ec´edente alors se formalise parP(n)
Pr´ edicats
Les pr´edicats logiques sont des propri´et´es que les objets ou individus du domaine de discours peuvent avoir ou pas.
I A(c): ” c a un BAC L”
I M(a, b): ”b est la m`ere de a”
I C(a,b,c): ”a,b etc sont colocatairs”
Pr´ edicats, variables, constantes
”nest un carr´e”
npeut ˆetre un symbole deconstante, c’est `a dire un symbole qui identifie une valeur fixe.
(ex. ca peut d´enoter 36 et dans ce casP(n) est une assertion vraie)
D’autre part,npeut d´enoter unevariable, c’est `a dire une valeur non d´efinie, dans ce casP(n) signifie ”... est un carr´e”, ce n’est donc pas une assertion (sa valeur de v´erit´e n’est pas d´etermin´ee).
Pour ´eviter toute confusion, on utilisera pour les variables les lettres
”x,y,z,t,u” (ou encore ”x1,x2...,y1,y2...” si n´ecessaire), et on utilisera des lettres minusculesa,b,c....pour les symboles de constantes.
Pr´ edicats, variables, constantes
”nest un carr´e”
npeut ˆetre un symbole deconstante, c’est `a dire un symbole qui identifie une valeur fixe.
(ex. ca peut d´enoter 36 et dans ce casP(n) est une assertion vraie)
D’autre part,npeut d´enoter unevariable, c’est `a dire une valeur non d´efinie, dans ce casP(n) signifie ”... est un carr´e”, ce n’est donc pas une assertion (sa valeur de v´erit´e n’est pas d´etermin´ee).
Pour ´eviter toute confusion, on utilisera pour les variables les lettres
”x,y,z,t,u” (ou encore ”x1,x2...,y1,y2...” si n´ecessaire), et on utilisera des lettres minusculesa,b,c....pour les symboles de constantes.
Pr´ edicats, variables, constantes
Une variable joue le rˆole d’une ”case vide” qui peut ˆetre occup´ee par des valeurs justement ”variables”. Consid´erons par exemple la phrase suivante:
”toutx est un carr´e”
Pour que cette phrase ait une valeur de v´erit´e, il faut sp´ecifier le contexte dans lequel on travail. Si on se place par exemple dans le domaine des nombres entiers, alors pour v´erifier la v´eridicit´e de cette assertion, on remplacex par chaque ´el´ement deNet on d´etermine si ”x est un carr´e”
est vrai ou pas:
I 0 est un carr´e?
I 1 est un carr´e?
I 2 est un carr´e?
I ...
Quantificateur universel (POUR TOUT)
”toutx est un carr´e”
Pour formaliser cette assertion, nous introduisons le symbole∀qui signifie ”pour tout” et s’appelle lequantificateur universel. Alors l’assertion devient
∀xP(x)
Une assertion de la forme∀x R(x) est vraie lorsque les assertionsR(x) sont vraies pour tous les valeurs possibles dex
Quantification existentielle (IL EXISTE)
”il existe unx qui n’est pas un carr´e”
Pour formaliser cette assertion, nous introduisons le symbole∃qui signifie ”il existe” et s’appelle lequantificateur existentiel. Alors l’assertion devient
∃x¬P(x)
Une assertion de la forme∃x R(x) est vraie lorsque on peut trouverau moinsune valeur dex pour laquelleR(x) est vrai.
Quantificateurs
”tout entier est positif”
On reconnait dans cette affirmation deux pr´edicats ”ˆetre un entier” qu’on notera par la lettreA,et ”ˆetre positif”, qu’on notera par la lettreB.Ainsi
”A(x)” signifie ”... est un entier” et ”B(x)” signifie ”... est positif”.
Alors la bonne formalisation de cette assertion est
∀x(A(x)⇒B(x))
De mˆeme ”il existe un entierx qui n’est pas positif” se traduit par
∃x(A(x)∧ ¬B(x))
Quantificateurs
On peut interpr´eter ”x est un entier” aussi comme une relation binaire entrex etN,c.`a.d ”x est un ´el´ement deN”. Alors, il faudrait mieux introduire un symbol de relation binaire qu’on noteraE, telle queE(a,b) signifie ”a est un ´el´ement de b”
Dans ce cas, la phrase ’”tout entier est un carr´e” se formalise par
∀x(E(x,N)⇒P(x))
En math´ematique, l’expression ”a est un ´el´ement de b” est not´eea∈b et souvent on ´ecrit∀x∈N...et∃x ∈N....pour abr´eger ”pour tout entier ... ”, mais c’est important de comprendre la v´eritable signification logique de ces expressions qui correspondent `a∀x(x ∈N⇒...) et
∃x(x∈N∧....) resp.
Exemples/entrainement
Formaliser les ´enonc´es suivants en introduisant les pr´edicats et constantes n´ecessaires:
I tous les hommes sont mortels I je suis mortelle
I personne a pass´e l’examen I tous le monde a une maman
Remarques
Attention! L’ordre des quantificateurs est important:
M(x, y): ”y est la m`ere de x”
∀x∃y M(x,y)
∃y∀x M(x,y)
Remarque: La n´egation de∀xP(x) est∃x¬P(x); et la n´egation de∃xP(x) est∀x¬P(x)
Remarques
Attention! L’ordre des quantificateurs est important:
M(x, y): ”y est la m`ere de x”
∀x∃y M(x,y)
∃y∀x M(x,y)
Remarque: La n´egation de∀xP(x) est∃x¬P(x);
et la n´egation de∃xP(x) est∀x¬P(x)
Raisonnement
Tous les chats sont mortels, je suis mortelle, donc je suis un chat.
Voici un ”faux syllogisme” c.`a.d. un raisonnement incorrect. Nous allons ´etudier les r`egles de raisonnement qui nous empˆechent de tomber dans un faux syllogisme comme celui ci.
Raisonnement
Un syllogisme/raisonnement logique comporte despr´emisseset une conclusion.
Tous les ˆetres humains sont mortels je suis un ˆetre humain
donc je suis mortelle
Les r` egles pour la conjonction
(∧e) De A∧B on d´eduit (en particulier)A(´elimination du∧`a gauche) (∧e) De A∧B on d´eduit (en particulier)B (´elimination du∧`a droite)
(∧i) De AetB on d´eduitA∧B (introduction du∧) Exemples:
I Je suis italienne, brune et mari´ee, donc en particulier je suis italienne.
I Je suis italienne et je suis une maman, donc je suis une maman italienne
Les r` egles pour la disjonction
(∨i) De Aon d´eduit (en particulier)A∨B (introduction du∨`a gauche) (∨i) De B on d´eduit (en particulier)A∨B (introduction∨`a droite) (∨e) De A∨B,A⇒C etB ⇒C on d´eduitC (´elimination du∨/
raisonnement par cas) Exemples:
I Je suis italienne, donc en particulier je suis italienne ou anglaise I Il pleut ou il n`eige, s’il pleut, je prends le parapluie, s’il neige, je
prende le parapluie, donc (dans tous les cas) je prends le parapluie
Les r` egles pour l’implication
(⇒e) De AetA⇒B,on d´eduitB (´elimination de⇒/ modus ponens) (⇒i) Si en supposantA,on peut montrer B,alors on en d´eduit que
A⇒B (introduction de⇒) Exemples:
I S’li pleut, je prends le parapluie. Il pleut. Donc je prends le parapluie I En supposant que Marie ait un alibi, je peux vous montrer que
Pierre est l’assassin, j’en d´eduit que l’alibi de Marie implique la coupabilit´e de Pierre
Un exemple
Si Alice vient `a Paris, elle fera visite `a Bob et Charles. Si Alice fait visite
`a Bob, Charles sera jaloux. Si Alice fera visite `a Charles, et si Charles sera jaloux, il ne lui ouvrira pas la porte. Mais Alice se rendra `a Paris, donc Charles ne lui ouvrira pas la porte.
Raisonnement par contrapos´ ee
Lorsqu’on veut montre une implicationA⇒B,il peut se r´ev´eler parfois plus facile de montrer l’´enonc´e ´equivalent¬B⇒ ¬A,c’est le
raisonnement par contrappos´ee. Voici un exemple.
Theorem: Sin2 est un entier pair, alorsnest un entier pair.
Preuve: Supposons quensoit impair, alorsn= 2k+ 1 pour un entierk. Doncn2= (2k+ 1)2= 4k2+ 4k+ 1 = 2(2k2+ 2k) + 1 doncn2est impair.
Les r` egles pour le faux
On d´enote par⊥le Faux (l’assertion fausse). Alors on peut remarquer que¬Aest ´equivalente `aA⇒⊥(exo)
(⊥i) De Aet¬A,on d´eduit⊥(introduction de⊥)
(⊥e) De ⊥,on d´eduit (n’importe quelle assertion)A(´elimination du⊥/ex falso quodlibet)
Remarque: (⊥i) est une version du modus ponens, car
¬A=A⇒⊥ Exemple:
I le chat est `a la fois vivant (A) et mort (A⇒⊥), donc ⊥ (contradiction). On en d´eduit que je suis le P`ere Noel (ex falso quodlibet).
Les r` egles pour le faux
On d´enote par⊥le Faux (l’assertion fausse). Alors on peut remarquer que¬Aest ´equivalente `aA⇒⊥(exo)
(⊥i) De Aet¬A,on d´eduit⊥(introduction de⊥)
(⊥e) De ⊥,on d´eduit (n’importe quelle assertion)A(´elimination du⊥/ex falso quodlibet)
Remarque: (⊥i) est une version du modus ponens, car
¬A=A⇒⊥
Exemple:
I le chat est `a la fois vivant (A) et mort (A⇒⊥), donc ⊥ (contradiction). On en d´eduit que je suis le P`ere Noel (ex falso quodlibet).
Raisonnement par absurde
Leraisonnement par absurde: on veut montrerA,on suppose ¬Aet on trouve une contradiction (⊥), on en d´eduitA.
Cela corresponds `a montrer ¬A⇒⊥ce qui ´equivaut `a¬¬Ac. `a. d A.
Raisonnement par absurde - Exemple
Theorem: √
2 n’ est pas rationnel.
Preuve: Supposons par absurde que√
2 soit un rationnel. Alors il existe deux entiersp,q avecq6= 0 tels que√
2 = pq et pq est une fraction irr´eductible. Il s’ensuit 2 = pq22 et 2q2=p2.Doncp2est pair, d’ o`up est pair. Alors il existe un entierntel quep= 2n,d’o`up2= 4n2 et
2q2= 4n,doncq2= 2n.Par cons´equent,q2est pair, doncqest pair, donc on peut l’´ecrireq= 2k pour un entierk.Alors pq =2n2k ce qui contredit que pq est irr´eductible.
R` egles pour les quantificateurs - pour tout
(∀e) De ∀x A(x) on d´eduit en particulierA[a] (pour n’importe quelle constantea)
(∀i) Si on peut montrer A(i) pour un individu quelconquei (c.`a.d. sans supposer aucune propri´et´e particuli`ere de cette individu), alors on en d´eduit que∀xA(x)
Exemples:
I tous les hommes sont mortels, je suis un homme, donc je suis mortel I soit i une personne quelconque, comme elle existe il faut forcement
qu’une femme lui ait donn´e naissance, sa m`ere biologique, on en d´eduit que tous le monde a une maman.
Attention! Dans la r`egle [∀i] ”quelconque” ne veut pas dire
”arbitrairement choisi par vous”
Exemple
Theorem: Pour tout entiern,sin2 est un entier pair, alorsnest un entier pair.
Preuve: Soitnun entier quelconque. Supposons que nsoit impair, alors n= 2k+ 1 pour un entierk.Donc
n2= (2k+ 1)2= 4k2+ 4k+ 1 = 2(2k2+ 2k) + 1 doncn2est impair.
R` egles pour les quantificateurs - il existe
(∃i) S’il y a (au moins) un individu i (une constante) tel queA(i),alors on en d´eduit∃x A(x)
(∃e) Supposons∃x A(x) et supposons que si on fixe un individu
particulieratel queA(a),on peut montrer B, alors on en d´eduit que B
Exemples:
I je suis italienne et je ne boit pas de caf´e, donc il existe au moins une italienne qui ne boit pas de caf´e.
I Il existe une italienne qui ne boit pas de caf´e, je consid`ere une telle personne (tout ce qu’on sait sur cette personne est qu’elle est italienne et elle ne boit pas de caf´e), je peux montrer que le monde est vari´e, j’en d´eduit que le monde est vari´e.
Exemple - Le paradoxe du buveur
Avec les r`egles qu’on vient de voir on montre l’´enonc´e suivant:
∃x(B(x)⇒ ∀y B(y))
Dans un caf´e (non vide), il existe une personne qui, si elle boit, alors tout le monde boit.
Entreinement
Consid´erez les affirmations suivantes:
1. Soitf une fonction r´eelle d’une variable r´eelle. Sif est d´erivable, alors elle est continue.
2. Soitf la fonction r´eelle d’une variable r´eelle d´efinie parx7→ |x|.Alorsf est continue mais pas d´erivable.
3. Soitf une fonction r´eelle d’une variable r´eelle. On dit qu’elle est paire si quelques soitxdans le domain de d´efinition def,on af(−x) =f(x).
4. Soitf la fonction r´eelle d’une variable r´eelle d´efinie parx7→ |x|.Soitaun r´eel, on a| −a|=|a|.
Compte tenu des ´enonc´es pr´ec´edents, qu’est ce qu’on peut affirmer?
(a) toute fonctions d´erivable est continue
(b) toute fonction continue mais pas d´erivable est paire
(c) quelque soit la fonctionf et le r´eela,sif(−a) =aalors la fonction est paire (d) toute fonction paire est continue mais pas d´erivable
