Culture Scientiﬁque S2 Laura Fontanella

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Culture Scientifique S2

Laura Fontanella

laura.fontanella@u-pec.fr

February 5, 2021

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Codage de l’information

(3)

Le bit

L’ordinateur ne comprends que le langage binaire (soit le courant

´ electrique passe, soit il ne passe pas). Donc, en informatique toute donn´ ee est repr´ esent´ ee par une suite de bits.

I bit = contraction de binary digit (chiffre binaire) I Un bit a pour valeur 0 ou 1.

I codage = traduire les donn´ ees en suites de bits

I d´ ecodage le proc´ ed´ e inverse.

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Une suite de 8 bits est appel´ ee un octet.

Une suite de 4 bits est appel´ ee un quartet.

Notation

Pour pr´ eciser le syst` eme (binaire ou d´ ecimal) dans lequel est ´ ecrit un nombre on utilise un indice (2 ou 10).

Exemples :

I 10101

2

est un nombre binaire I 10101

₁₀

est un nombre d´ ecimal

Si l’indice n’est pas pr´ ecis´ e, on sous-entend que le nombre est ´ ecrit dans

le syst` eme d´ ecimal.

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Bits de poids fort/faible

I Etant donn´ ´ ee une s´ equence de bits b

_n−1

b

_n−2

. . .b

0

, on appelle :

• bit de poids faible, le bit le plus ` a droite b

0

• bit de poids fort, le bit le plus ` a gauche b

n−1

• bit de poids p, le bit b

p

I Par exemple, dans la s´ equence 101010110010

₂

:

• Le bit de poids faible est 0.

• Le bit de poids fort est 1.

• Le bit de poids 4 est 1.

(6)

Unit´ es de repr´ esentation de l’information

kilo-bit Kb 10

³

bits mega-bit Mb 10

⁶

bits giga-bit Gb 10

⁹

bits tera-bit Tb 10

¹²

bits peta-bit Pb 10

¹⁵

bits exa-bit Eb 10

¹⁸

bits

kilo-octet Ko 10

³

octets mega-octet Mo 10

⁶

octets giga-octet Go 10

⁹

octets tera-octet To 10

¹²

octets peta-octet Po 10

¹⁵

octets exa-octet Eo 10

¹⁸

octets Exemples :

I un document office = 10–100 Ko I un fichier de musique = 1–10 Mo I un DVD = 4–8 Go

I un disque dur standard = 1–10 To = 1 millier de DVDs

(7)

Capacit´ e de codage

I avec 1 bit on peut ´ ecrire 2 s´ equences binaires : 0 et 1.

I avec 2 bits on peut ´ ecrire 4 s´ equences binaires : 00, 01, 10 et 11.

I . . .

I avec n bits? 2

ⁿ

s´ equences binaires.

L’ajoute d’un bit permet de doubler la capacit´ e de codage.

(8)

Capacit´ e de codage

Chaque s´ equence binaire repr´ esente une valeur (un nombre, une nuance de gris, un caract` ere de texte, . . . ).

Pour trouver le nombre de bits n´ ecessaires au codage de n valeurs, il faut trouver la plus petite puissance de 2 sup´ erieure ` a n. (pour cela il suffit de calculer log

₂

(n).)

Exemple : Codage de l’alphabet latin

I Pour repr´ esenter les 26 caract` eres de l’alphabet latin, il nous faut 5

bits (car 2

⁴

= 16 < 26 et 2

⁵

= 32 ≥ 26.)

(9)

Repr´ esentation des entiers naturels

Dans le syst` eme d´ ecimale, le nombre n

k

n

_k−1

...n

0

corresponds ` a

n

_k

× 10

^k

+ n

_k−1

× 10

^k−1

... + n

₀

× 10

⁰

=

k−1

X

i=0

n

_i

× 10

ⁱ

De mˆ eme, dans le syst` eme binaire une suite binaire b

_k₋₁

b

_k−2

. . .b

₀

corresponds ` a

b

_k−1

× 2

^k−1

+ b

_k−2

× 2

^k⁻²

+ . . . + b

0

× 2

⁰

=

k−1

X

i=0

b

i

× 2

ⁱ

En d’autres termes, si dans le syst` eme d´ ecimale la valeur associ´ ee au chiffre en position k est 10

^k

, dans le syst` eme binaire la valeur d´ ecimale associ´ ee au bit de poids k est 2

^k

Exemple :

1001101

2

= 1 ×2

⁶

+ 1 ×2

³

+ 1 ×2

²

+ 1 ×2

⁰

= 64 + 8 + 4 + 1 = 77

(10)

G´ en´ eralisation ` a une base B quelconque

On peut utiliser d’autres syst` emes de num´ eration...

Un syst` eme de num´ eration qui utilise un alphabet de B symboles s’appelle syst` eme en base B.

I Exemple: le syst` eme binaire est bas´ e sur les bits donc sur les deux symboles 0 et 1, le syst` eme d´ ecimal est bas´ e sur les neuf chiffres arabes 0, 1, 2, ...., 9.

D’o` u: syst` eme binaire = base 2; syst` eme d´ ecimal = base 10 Pour convertire en d´ ecimal une s´ equence x

n−1

x

n−2

. . .x

0

dans une base B on calcule

x

_n−1

× B

ⁿ⁻¹

+ x

_n−2

× B

ⁿ⁻²

+ . . . + x

₀

× B

⁰

Dans une base B, n chiffres permettent de coder B

ⁿ

valeurs diff´ erentes.

I Exemples :

• 5670

8

= 5 × 8

³

+ 6 × 8

²

+ 7 × 8

¹

+ 0 × 8

⁰

= 3000

• En base 5 on peut coder, avec 3 chiffres, 5

³

= 125 valeurs distinctes.

(11)

Les bases courantes

B Nom Chiffres Exemple :

´ ecriture de 13

2 binaire 0, 1 1101

2

8 octale 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 15

8

10 d´ ecimale 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 13

10

16 hexad´ ecimale 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, D

16

8, 9, A, B, C, D, E , F

(12)

Base 10 → Base B

Conversion d’un nombre d´ ecimal N en un nombre en base B I On divise N par B, le reste forme le chiffre de poids faible.

(remarquez que le reste est forc´ ement dans l’intervalle [0...B − 1].) I On divise par B le quotient obtenu ` a l’´ etape pr´ ec´ edente, le reste

forme le chiffre de poids 1.

I ...

I On divise par B le quotient obtenu ` a l’´ etape n-1, le reste forme le chiffre de poids n.

I On repete cette op´ eration jusqu’` a obtenir un quotient nul.

(13)

Base 10 → Base B — Exemple

conversion de 157 en binaire

157 = 2 × 78 + 1 r

₀

78 = 2 × 39 + 0 r

₁

39 = 2 × 19 + 1 r

2

19 = 2 × 9 + 1 r

3

9 = 2 × 4 + 1 r

4

4 = 2 × 2 + 0 r

5

2 = 2 × 1 + 0 r

6

1 = 2 × 0 + 1 r

7

On trouve 157

₁₀

= 1 0 0 1 1 1 0 1

r

₇

r

₆

r

₅

r

₄

r

₃

r

₂

r

₁

r

₀

(14)

Base 16 → Base 2

Conversion d’un nombre hexad´ ecimal en un nombre binaire I On code chaque chiffre hexad´ ecimal en une suite de 4 bits.

I Exemples :

• B 7

16

= 1011 0111

2

• 6EF

16

= 0110 1110 1111

2

(15)

L’addition

I Quelle que soit la base, l’addition se fait comme en base 10.

I Exemple en base 2: addition de 149 = 10010101

2

et 305 = 100110001

2

en binaire

1 1 1 retenues

0 1 0 0 1 0 1 0 1

+ 1 0 0 1 1 0 0 0 1

1 1 1 0 0 0 1 1 0

On obtient 111000110

₂

= 454 = 149 + 305

(16)

Le d´ epassement de capacit´ e

Avant d’ effectuer une op´ eration, l’ordinateur stocke les op´ erandes dans

des registres (emplacement de m´ emoire tr` es rapides d’acc` es). de tailles

limit´ ees (1 octet, 32, 64 bits). Il se peut que le r´ esultat d’une op´ eration

ne tient pas dans le registre, alors certains bits sont oubli´ es et le r´ esultat

est incorrect. On appelle ce ph´ enom` ene d´ epassement de capacit´ e ou

overflow.

(17)

Le d´ epassement de capacit´ e

I Exemple : addition sur 8 bits de 77 = 01001101

2

et 201 = 11001001

2

.

1 1 1 1 retenues

0 1 0 0 1 1 0 1

+ 1 1 0 0 1 0 0 1

1 0 0 0 1 0 1 1 0

⇒ Lorsque l’ordinateur effectue 77

₁₀

+ 201

₁₀

avec des registres de 8 bits, il trouve 00010110

₂

= 22

₁₀

I Le d´ epassement de capacit´ e est la source de nombreux bugs.

Exemple : crash du lanceur Ariane 5 en 1996

(18)

Op´ erateurs logiques

I Un ordinateur peut traiter une proposition logique. Dans ce cas, une s´ equence binaire ne repr´ esente plus un nombre mais une suite de valeurs vrai (1) ou faux (0).

I Des circuits ´ el´ ectroniques calculent les connecteurs logiques avec des

portes sp´ eciales appel´ ees portes logiques

(19)

Op´ erateurs logiques

I Les connecteurs logiques sont des op´ erateurs bit ` a bit : dans le r´ esultat, le bit de poids p d´ epend uniquement du (ou des) bit(s) de poids p dans le(s) op´ erandes.

I Les op´ erateurs logiques sont d´ efinis par les tables de v´ erit´ e qui

donnent, en fonction des bits des op´ erandes, le bit r´ esultant de

l’op´ eration.

(20)

Le NON logique

a NON a

0 1

1 0

I Exemple :

NON 0 1 1 1 0 0 1 1

1 0 0 0 1 1 0 0

(21)

Le ET logique

a b a ET b

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Exemple :

1 1 0 1 1 0 0 1

ET 0 1 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 0 0 1

(22)

Le OU logique

a b a OU b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

I • Exemple :

1 1 0 1 1 0 0 1

OU 0 1 1 1 0 0 1 1

1 1 1 1 1 0 1 1

(23)

Le OU excusif (XOR)

a b a XOR b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

I Exemple :

1 1 0 1 1 0 0 1

XOR 0 1 1 1 0 0 1 1

1 0 1 0 1 0 1 0

(24)

Codage du texte

L’ordinateur traduit chaque caract` ere d’un texte en une s´ equence de bits en utilisant une table de codage. Il y a plusieures tables de caract` eres qui se diff´ erencient par

I types de caract` eres qu’elles permettent de coder

I nombre de bits utilis´ es pour coder chaque caract` ere

Nous allons discuter les codages ASCII et UTF-8

(25)

Codage ASCII

ASCII = American Standard Code for Information Interchange Permet de coder : les lettres de l’alphabet latin, les chiffres arabes, les caract` eres de ponctuation et d’autres caract` eres sp´ eciaux (ex : +, -, DEL... ).

Les caract` eres ASCII sont cod´ es sur 7 bits:

3 bits pour les lignes (poids fort), 4 bits pour les colonnes (poids faible)

Exemple: le caract` ere E est cod´ e par 100 0101

(26)

Codage UTF-8

UTF-8 = Universal character set Transformation Format - 8 bits Les caract` eres UTF-8 sont cod´ es sur plusieurs octets ( de 1 ` a 4 octets) Permet de coder ` a peu pr` es n’importe quel alphabet (arabe, chinois, grec, indien, latin, . . . )

Le codage UTF-8 est compatible avec l’ASCII : Un texte cod´ e en ASCII est cod´ e de la mˆeme mani` ere en UTF-8 sauf que les caract` eres ASCII sont cod´ es sur 7 bits donc on rajoute un bit de poids fort ` a 0 pour obtenir un caract` ere UTF-8 sur 1 octet.