Devoir Non Surveillé 3 – Pour le 04/01/22 – Mathématiques

DEVOIRNONSURVEILLÉ3 – POUR LE04/01/22 MATHÉMATIQUES

Devoir Non Surveillé 3 – Pour le 04/01/22 – Mathématiques

Les résultats doivent être justifiés et mis en valeur (encadrés ou soulignés).

Numérotez chaque page de votre devoir.

À faire par tous :

Ï Exercices 1 et 2 du DNS₃ Ï Travailler les points suivants.

• Manipulation des symbolesX

(Ce symbole se comporte bien avec les sommes_λ.a_i+µ.b_i et mal avec les produitsa_i×b_iet quotients a_i

b_i).

• Dérivées et primitives usuelles.

• Résolution des équations différentielles.

• Travailler le chapitre sur les suites numériques. En priorité, apprendre les définitions de limites (finies et infinies) et travailler les paragraphes III.4, III.5, IV et V (refaire les exemples et exercices).

Ï Travailler les exercices 1 à 3 du DS₂: mettre l’accent sur la rédaction ! (Ne pas me le rendre) Travail différencié :vous choisissez de faire l’un ou l’autre, ou les deux.

• L’exercice 3 permettra de revoir certaines capacités à connaître. Il sera plus adapté si vous éprouvez des difficultés à assimiler les méthodes. Vous n’êtes pas obligés de faire les questions de l’ordre. Vous pouvez ajouter des capacités à la liste.

• Le problème permettra d’aller plus loin avec un exercice qui sort des sentiers battus. Ceux à qui j’ai conseillé dans le DS₂ de traiter des exercices plus délicats ou des problèmes sont invités à travailler ce problème.

Exercice 1

Traiter au moins deux des trois questions Les questions de cet exercice sont indépendantes.

1. Déterminer une primitive dex7→ 1

(3x+6)² sur ]−2,+∞[.

2. Déterminer une primitive surR^{de f :x}7→ 1

x²+x+1, puis de g:x7→ x x²+x+1.

Indication :pour g, on pourra réécrire le numérateur pour y faire apparaître la dérivée du dénominateur.

3. A l’aide du changement de variableu=e^t, calculer l’intégrale :I= Z 1

0

1 e^t+e^−tdt.

Retrouver la valeur deI sans changement de variable mais en réécrivant l’intégrande pour faire apparaître la dérivée d’une composée.

Exercice 2

Ordre 1 : appliquer au moins une fois la méthode de variation de la constante et une fois la méthode du second membre exponentiel.

Ordre 2 : Résoudre au moins deux des trois équations différentielles.

Résoudre les équations différentielles suivantes sur l’intervalleI.

1. y⁰+y=t³+1 oùI=R

2. y⁰−3y=e^3t+e^t×sin(t)+5 oùI=R 3. t×y⁰+y=Arctan(t) où I=]0,+∞[.

4. y⁰⁰−4y⁰+4y=e^2t surI=R^. 5. y⁰⁰+2y⁰−3y=cos(3t) surI=R^. 6. y⁰⁰+iy=sin(t) sur I=R^.

G. BOUTARD 1 Lycée GAY-LUSSAC

MATHÉMATIQUES DEVOIRNONSURVEILLÉ3 – POUR LE04/01/22

Exercice 3

Consigne

Pour chaque capacité (voir bas de la page) :

• Noter le numéro du chapitre et la page où est détaillée cette capacité.

• Chercher dans le cours ou dans les TDs une application de la capacité et refaire l’exercice.

• Écrire les étapes pour mettre en place la capacité (vous pouvez bien sûr vous aider des points méthodes du poly en les reformulant mais il ne faut pas les recopier).

Exemples

Exemple 1 : réaliser le changement d’indice j=k+2dans la somme

n

X

j=2

j!×n^j+1. ÏChapitre 6, bas de la page 5.

ÏExemple 6.2, page 6.

ÏÉtapes pour mettre en place la capacité.

a. On écrit les différentes valeurs prises par jet les valeurs prises par k dans un tableau. Pour cela, il faut peut-être exprimerken fonction de j.

On ak=j−2 et

j 2 3 . . . n k 0 1 . . . n−2

b. Dans l’expression des termes de la somme (ici j!×n^j+1), on remplace tous les jpark+2. Attention, l’indice de la somme estkmaintenant.

n

X

j=2

j!×n^j+1=

n−2X

k=0

(k+2)!×n^k+3.

Exemple 2 : Déterminer une primitive de x7→ 1

a×x²+b×x+c où b²−4a×c<0.

ÏChapitre 9, page 19.

ÏExercice 9.7, page 20.

ÏÉtapes pour mettre place la capacité

a. Dans ce cas, on met le trinôme sous forme canonique (= faire apparaître une identité remarquable à l’aide de a×x²+b×x).

b. On fait apparaître la dérivée de la fonction composée Arctan(u).

Capacités à traiter

1. Déterminer les racines carrées d’un nombre complexe par la méthode algébrique.

2. Déterminer une primitive dex7→ 1

a×x²+b×x+c oùb²−4a×c>0.

3. Déterminer une primitive dex7→cos(3x)×e^−2x.

4. Résoudre l’équation différentielley⁰+a(t)×y=b(t) oùaetbsont des fonctions continues sur un intervalleI.

5. Déterminer une solution particulière de l’équation différentielle : y⁰⁰+b y⁰+c y=α×e^K×toù (_α,K)∈K^2. 6. Réaliser un changement de variable dans une intégrale.

PCSI 2021 – 2022 2 G. BOUTARD

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Problème : une équation différentielle d’Euler

Dans cet exercice on considère les équations différentielles :

x×y⁰+y=cos(x)−x×sin(x), (E₁)

et

x²×y⁰⁰+3x×y⁰+y=cos(x)−x×sin(x). (E₂) L’objectif de l’exercice est de résoudre (E₂) surR^?₊. Pour cela, on utilise l’équation auxiliaire (E₁).

1. Résoudre (E₁) surR^?₊^.

2. Peut-on résoudre (E₂) directement à l’aide des théorèmes du cours ? Justifier en une phrase.

3. Soit_α∈Z. On considèreh_α:x7→x^α.

Déterminer une valeur de_αpour laquelleh_αest solution surR^?₊^{de (H) :x2}×y⁰⁰+3x×y⁰+y=0.

Soitf :R^?₊→R^{. On note g:x}7→x×f(x).

4. Justifier que f est deux fois dérivable surR^?₊ si, et seulement si,gest deux fois dérivable surR^?₊^. Dans la suite, on suppose cette condition vérifiée.

5. Montrer quef est solution de (E₂) surR^?₊ si, et seulement si,g⁰est solution de (E₁) surR^?₊^. 6. En déduire les solutions de (E₂).

Merci pour les cadeaux ! Bonnes vacances !

G. BOUTARD 3 Lycée GAY-LUSSAC