DEVOIRNONSURVEILLÉ1 MATHÉMATIQUES
Devoir Non Surveillé 1 – Mathématiques
Exercice 1
On considère la fonctionf définie, pour toutx∈[0,+∞[, par f(x)= x 1+x. 1. Montrer quef est croissante sur [0,+∞[.
2. En déduire que, pour tout (x,y)∈R2,
|x+y|
1+ |x+y|É |x|
1+ |x| + |y|+ |y| 1+ |x| + |y|. 3. Montrer que, pour tout (x,y)∈R2,
|x+y|
1+ |x+y|É |x|
1+ |x|+ |y| 1+ |y|.
Exercice 2
On considère la fonctionf définie par :
f : R?+ →R
x 7→ ex−1+ln(x)−1 1. Montrer quef réalise une bijection deR?+sur un intervalle Jà déterminer.
2. Déterminer la valeur def−1(0).
3. Étudier la dérivabilité de f−1surJ. 4. Calculer¡
f−1¢0 (0).
Exercice 3
Montrer que, pour toutx∈R+,
cos(x)Ê1−x2 2 .
G. BOUTARD 1 Lycée GAY-LUSSAC
MATHÉMATIQUES DEVOIRNONSURVEILLÉ1
Problème
Dans ce problème, on s’intéresse à la fonction :
f: R+ → R x 7→ p
x×e−x2.
Partie 1 : Préliminaire
1. Résoudre l’inéquation d’inconnuex>0 : 1 px−p
x>0.
Partie 2 : Étude générale de f
2. Calculer lim
x→0+
f(x)−f(0)
x−0 . Que peut-on en déduire sur f et sur son graphe ?
3. Après avoir justifié brièvement que f est dérivable surR?+, calculer, pour toutx>0,f0(x).
4. Déterminer la limite de f en+∞.
On rappelle la croissance comparée : lim
t→+∞
pt×e−t=0.
5. En déduire le tableau de variations de f. 6. Tracer le graphe def.
Partie 3 : Étude de f sur[0, 1]
7. Montrer quef réalise une bijection de [0, 1] sur un intervalleI à préciser.
Dans la suite, on notegla bijection réciproque correspondante.
8. Quel est l’ensemble de définition deg? Dresser le tableau de variations deg.
9. Sur le graphique de la question 6, ajouter le graphe de la fonctiong.
10. Justifier que la fonctiongest dérivable sur
¸ 0, 1
pe
·
et montrer que, pour toutx∈
¸ 0, 1
pe
·
, g0(x)= 2 x׳ 1
g(x)−1´.
Partie 4 : Étude de f sur[1,+∞[
11. Montrer que f réalise une bijection de [1,+∞[ sur un intervalleJ à préciser.
Dans la suite, on notehla bijection réciproque correspondante.
12. Quel est l’ensemble de définition deh? Dresser le tableau de variation deh.
13. Sur le graphique de la question 6, ajouter le graphe de la fonctionh.
Partie 5 : Étude d’une nouvelle fonction
On considère la fonctionϕ=g◦h−1. On noteDϕl’ensemble de définition deϕ. 14. Déterminer le tableau de variations de la fonctionϕ.
15. Soitx∈Dϕ.
En utilisant uniquement le graphe de f, expliquer comment obtenir graphiquementϕ(x).
PCSI 2021 – 2022 2 G. BOUTARD
![Soit f définie par f(x) = 1°) Montrer que f définit une bijection de l’intervalle ]1, +[ sur un intervalle à préciser. Soit alors g la bijection réciproque de f](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)