DEVOIRNONSURVEILLÉ2 – POUR LE09/11/21 MATHÉMATIQUES
Devoir Non Surveillé 2 – Pour le 09/11/21 – Mathématiques
Les résultats doivent être justifiés et mis en valeur (encadrés ou soulignés).
Numérotez chaque page de votre devoir.
Exercice à travailler avec le corrigé: exercice 19 du TD2.
Exercice 1
Montrer que, pour toutx∈R,x2+x+1>0 et Arctan(x+1)−Arctan(x)=Arctan
µ 1
x2+x+1
¶ .
Exercice 2
On posez= q
2+p 2+i
q 2−p
2.
1. Mettrez2sous forme trigonométrique.
2. En déduire une forme trigonométrique dez.
3. Déterminer les entiersn∈Ntels quezn est un réel.
Exercice 3
Résoudre l’équation d’inconnue complexez: z8+¡ 9−p
3 i¢
×z4+8−8×p 3 i=0.
On pourra définir une nouvelle inconnue pour se ramener à une équation de degré 2.
Exercice 4
Résoudre l’équationz3+(1+5 i)×z2+(4 i−9)×z−9 i−3=0 d’inconnue complexezsachant qu’il existe une solution imaginaire pure.
Exercice 5
Résoudre l’équation d’inconnue complexez: ez=2−i.
Exercice 6 (plus difficile)
Soitθ∈Retn∈N?. Résoudre l’équation d’inconnue complexez: µz−1
z+1
¶n
+ µz+1
z−1
¶n
=2 cos(θ).
On pourra définir une nouvelle inconnue pour se ramener à une équation de degré 2.
Exercice 7
Soitn∈N?.
1. Calculer les sommes :U= Xn k=0
Ãn k
! etV=
Xn k=0
(−1)k× Ãn
k
! .
2. En déduire l’expression deS=
n
X
k=0 kpair
Ãn k
! etT=
n
X
k=0 kimpair
Ãn k
! .
G. BOUTARD 1 Lycée GAY-LUSSAC
MATHÉMATIQUES DEVOIRNONSURVEILLÉ2 – POUR LE09/11/21
Problème 1 : Fonctions usuelles (chapitres 1 à 4)
On considère les fonctionsf et gdéfinies par : f(x)=1
2×Arctan¡ sh(x)¢
et g(x)=Arctan
µ sh(x) 1+ch(x)
¶ .
Nous allons montrer que f=gde deux manières différentes, puis appliquer ce résultat pour obtenir la tangente d’un angle.
1. Rappeler les définitions, les tableaux de variations et les graphes de sh et ch.
2. Donner la relation reliant¡ ch(x)¢2
et¡ sh(x)¢2
.
On montre que f =gen dérivant
3. Déterminer (soigneusement) les domaines de définition def etg.
4. Déterminer le domaine de dérivation def et calculerf0. 5. Déterminer le domaine de dérivation deget calculerg0. 6. En déduire quef =g.
On montre que f =gà l’aide de la trigonométrie
7. Donner un exemple de réelsθ∈i
−π 2,π
2 h
etϕ∈]−π,π[ tels queθ,ϕet tan(θ)=tan(ϕ).
8. Justifier que, pour toutx∈R, 2f(x)∈i
−π 2,π
2
h, puis simplifier tan¡ 2f(x)¢
. 9. Dresser le tableau de variation de la fonctionh:x7→ sh(x)
1+ch(x). 10. En déduire que, pour toutx∈R,−1< sh(x)
1+ch(x)<1.
11. Démontrer la formule d’addition tan(a+b)= tan(a)+tan(b)
1−tan(a)×tan(b)et la formule de duplication tan(2θ)= 2 tan(θ) 1−¡
tan(θ)¢2. Préciser pour quelles valeurs dea,betθces formules sont valables.
12. Simplifier alors, pour toutx∈R, tan¡2g(x)¢. 13. En déduire (soigneusement) que f =g.
Application
14. Simplifier ch µln(3)
2
¶ et sh
µln(3) 2
¶ . 15. A l’aide de l’égalité f
µln(3) 2
¶
=g µln(3)
2
¶
, en déduire la tangente d’un angle.
PCSI 2021 – 2022 2 G. BOUTARD
DEVOIRNONSURVEILLÉ2 – POUR LE09/11/21 MATHÉMATIQUES
Problème 2 : Nombres complexes (chapitre 5)
Soientn∈N?etz∈C. Dans ce problème, on s’intéresse à la somme : Sn(z)=1+z+z2+ · · · +zn−1=
n−1X
k=0
zk.
Questions de cours
1. Donner sous forme trigonométrique les éléments deUn(racinesn-ièmes de l’unité).
2. Donner sous forme algébrique les éléments deUn et placer les dans le plan complexe, avec n∈{1, 2, 3, 4} (un schéma par valeur den).
3. Soitz∈Un. CalculerSn(z).
Étude du casn=3
4. Résoudre l’équationS3(z)=i.
5. Déterminer l’ensemble desz∈Ctels queS3(z)∈R. Représenter l’ensemble des solutions dans le plan complexe.
Étude du casz=eiπn
6. Donner un exemple deN∈Ntel quez∈UN. 7. Montrer queSn(z)= 2
1−z
8. Déterminer le module et un argument deSn(z).
Étude du casnÊ3et z∈Un−2\ {1}
9. Montrer queSn(z)=1+z.
10. En déduire le module et un argument deSn(z).
Étude d’un ensemble SoitnÊ2. On noteS1=©
z∈U¯¯|Sn(z)| =1ª . 11. Montrer que¡
Un−1∪Un+1¢
\ {1}⊂S1. 12. Soitz∈S1. Montrer que¯
¯zn−1¯
¯= |z−1|et en déduire quezn+zn=z+z.
13. Déterminer les éléments deS1.
G. BOUTARD 3 Lycée GAY-LUSSAC
