Mathématiques – Devoir surveillé 2 – 27/11/2021 (Durée 2h)

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MATHÉMATIQUES– DEVOIR SURVEILLÉ2 27/11/2021 (DURÉE2H)

Mathématiques – Devoir surveillé 2 – 27/11/2021 (Durée 2h)

La calculatrice est interdite. Les résultats doivent être justifiés et mis en valeur (encadrés ou soulignés).

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Questions de cours (15 minutes)

Vous commencez par traiter cet exercice. À 8h15, je ramasse le document réponse en annexe .

Sur le document réponse, compléter (sans justification) les trous.

Q1. Formule d’Euler. Pour tout x ∈ R ^{, cos(x)} =

e^ix+e^−ix

2 et sin(x) =

e^ix−e^−ix

2 i . Q2. Formule de Moivre. Pour tout x ∈ R ^{et n} ∈ Z ^,

^¡

^cos(x) + i sin(x)

¢n

= cos(n

×x)+

i sin(n

×x).

Q3. Soient z

₁

et z

₂

deux nombres complexes non nuls. On a :

z

₁

= z

₂

⇐⇒ Re(z

₁

)

=

Re(z

₂

) et Im(z

₁

)

=

Im(z

₂

)

⇐⇒

|z₁| = |z₂|

et arg(

z₁

)

≡

arg(z

₂

)[2

_π

]

Q4. Soit z un nombre complexe non nul. On a :

z ∈ i R ⇐⇒ Re(z)

=

0

⇐⇒

z= −z

⇐⇒ arg

z≡^π

2 [

_π

] Q5. Soit z ∈ U ^{. On a z} = 1

z

.

Q6. Soit n ∈ N

^?

. Donner l’expression des racines n-ième de l’unité.

U

n

=

n e^2inkπ¯

¯k

∈

…

0,

n−

1

†o

.

Q7. Soit M un point d’affixe z. Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;

~

ı,

~

).

a. Soit

_ω

∈ C ^{. Le point M}

⁰

^{d’affixe z} +

ω

est l’image de M par la translation de vecteur d’affixe

_ω

. b. Soit

_θ

∈ R ^{. Le point M}

⁰

^{d’affixe z} × e

^iθ

est l’image de M par la rotation de centre O et d’angle

_θ

. Q8. Soit A, B et C trois points du plan deux à deux distincts d’affixes respectives a, b et c.

Les points A, B et C sont alignés si, et seulement si,

b−a c−a∈

R ^.

Q9. Soient n ∈ N

^?

^{et (a, b)} ∈ C

²

. Factoriser : a

ⁿ

− b

ⁿ

= (a

−b)×

n−1X

k=0

a^k×b^n−1−k

.

Q10. Soit (u

_n

)

_n∈N

une suite géométrique de raison q ∈ C ^{\ {1}.}

Alors, pour tout (m, n) ∈ N

²

^{tel que m} É n,

n

X

k=m

u

_k

=

u_m×

1

−q^n−m+1

1

−q

..

Q11. Soient n et k des entiers tels que 0 É k É n. Donner la définition :

Ã

n

k

!

=

n!

k!×

(n

−k)!

.

Q12. Énoncer la formule de Pascal. Pour tout (n, k) ∈ N

²

^{tel que 1} É k < n, on a :

Ã

n

k

!

=

Ãn−

1

k−

1

! +

Ãn−

1

k

!

.

G. BOUTARD 1 Lycée GAY-LUSSAC

27/11/2021 (DURÉE2H) MATHÉMATIQUES– DEVOIR SURVEILLÉ2

Exercice 1 (30 minutes)

Les questions de cet exercice sont indépendantes Q1. Déterminer les racines carrées de − 3 + 4 i.

Q2. Déterminer les racines cinquièmes de 1 + i 1 − p

3 i .

Q3. Soit

_θ

∈ R . Mettre sous forme trigonométrique, lorsque que cela est possible, z = 1 + e

^iθ

. Q4. Soit x ∈ R . Linéariser

¡

sin(x)

¢3

× cos(2 x).

Q5. Soit n ∈ N ^{. Calculer}

n

X

k=1

(3 k + 2)

²

.

Q6. Soit n ∈ N ^{. Calculer}

n

X

k=1

5

^2k+1

11

^k+2

.

Q7. Soit n ∈ N

^?

^{. Calculer}

n

X

k=1

1 k × (k + 1) . Q8. Résoudre le système :







x − y + z = 1

− x − y + z = 3 2 x − 4 y + 4 z = 6.

Réponse

Q1. On résout l’équation z²= −3+4 i d’inconnue complexe z. On cherche z sous forme algébrique : z=a+ib avec (a,b)∈R^2.

On az²=a²−b²

| {z }

∈R

+i 2a×b

| {z }

∈R

et|−3+4 i| =5. D’où, en identifiant parties réelles, parties imaginaires et module dans l’égalité z²= −3+4 i, on a :

z²= −3+4 i ⇐⇒







a²−b²= −3 2a×b=4 a²+b²=5

⇐⇒





 a²=1 2a×b=4>0 b²=4

⇐⇒

½ a= −1 b= −2 ou

½ a=1 b=2

⇐⇒ z= −1−2 i ouz=1+2 i Les racines carrées de−3+4 i sont−1−2 i et 1+2 i.

Q2. On résout l’équationz⁵= 1+i 1−p

3 i d’inconnue complexez.

On a :|1+i| =p 2. D’où,

1+i=p 2×

µ 1 p2+i 1

p2

¶

=p 2×e^iπ4. On a :¯

¯

¯1−p 3 i¯

¯

¯=2. D’où,

1−p 3 i=2×

Ã1 2−i

p3 2

!

=2e^−iπ3. Donc,

1+i 1−p

3 i=

p2×e^iπ4

2e^−iπ3 =2⁻¹²×e^i7π12.

MATHÉMATIQUES– DEVOIR SURVEILLÉ2 27/11/2021 (DURÉE2H)

On a :

z⁵=2⁻¹²×e^i7π12 ⇐⇒ z⁵=³

2⁻¹⁰¹ ×e^i12×57π ´5

⇐⇒

µ z

2⁻¹⁰¹ ×e^i7π60

¶5

=1

⇐⇒ z

2⁻¹⁰¹ ×e^i7π60 ∈U5

⇐⇒ ∃k∈ ‚0, 4ƒ, z

2⁻¹⁰¹ ×e^i7π60 =e^i2kπ5

⇐⇒ ∃k∈ ‚0, 4ƒ,z=2⁻¹⁰¹ ×eⁱ

³_7π 60+^2kπ₅ ´

Les racines cinquièmes de 1+i 1−p

3 isont 2⁻¹⁰¹ ×eⁱ

³7π 60+^2kπ₅ ´

oùk∈ ‚0, 4ƒ. Q3. On notez=1+e^iθ. On a :

1+e^iθ=e^iθ2×

³

e^−iθ2+e^iθ2´

=2 cos µθ

2

¶ e^iθ2. D’où,

|z| =

¯

¯

¯

¯ 2 cos

µθ 2

¶¯

¯

¯

¯ Cas 1:θ≡π[2π].

Dans ce cas,|z| =

¯

¯

¯

¯ 2 cos

µθ 2

¶¯

¯

¯

¯=0 etz=0 ne possède pas de forme trigonométrique.

Cas 2:θ∈ [

k∈Z

]−π+4k×π,π+4k×π[.

Dans ce cas,|z| =2 cos µθ

2

¶

>0.

Donc,

z= |z| ×e^iθ2 où|z| =2 cos µθ

2

¶

>0 et arg(z)≡θ 2[2π].

Cas 3:θ∈ [

k∈Z

]π+4k×π, 3π+4k×π[.

Dans ce cas,|z| = −2 cos µθ

2

¶

>0.

z=2 cos µθ

2

¶

×e^iθ2= µ

−2 cos µθ

2

¶¶

×

³

−e^iθ2´

= |z| ×

³

−e^iθ2´ . De plus,−1=e^iπ. Donc,z= |z| ×e^iθ2+π.

z= |z| ×e^{i (θ2+π)}où|z| = −2 cos µθ

2

¶

>0 et arg(z)≡θ

2+π[2π].

Q4. Par la formule d’Euler, puis le binôme de Newton, on a :

¡sin(x)¢3

=

µe^ix−e^−ix 2 i

¶³

=e^{3 ix}−3e^ix+3e^−ix−e^{−3 ix}

−2³i . D’où, en appliquant de nouveau la formule d’Euler et en développant :

¡sin(x)¢3

×cos(2x)=e^{3 ix}−3e^ix+3e^−ix−e^{−3 ix}

−2³i ×e^{2 ix}+e^{−2 ix}

2 =e^{5 ix}−3e^{3 ix}+4e^ix+3−e^{5 ix}+3e^{3 ix}−4e^ix

−2⁴i .

En utilisant les formules d’Euler, on a :

¡sin(x)¢3

×cos(2x)=2 i sin(5x)−3×2 i sin(3x)+4×2 i sin(x)

−2⁴i = −sin(5x)−3 sin(3x)+4 sin(x)

2³ .

G. BOUTARD 3 Lycée GAY-LUSSAC

27/11/2021 (DURÉE2H) MATHÉMATIQUES– DEVOIR SURVEILLÉ2

Q5. On a :

n

X

k=1

(3k+2)²=

n

X

k=1

(9k²+12k+4)=9

n

X

k=1

k²+12

n

X

k=1

k+

n

X

k=1

4=9×n×(n+1)×(2n+1)

6 +12×n×(n+1) 2 +4n.

En factorisant parn, on a :

n

X

k=1

(3k+2)²=n× µ3

2×(n+1)×(2n+1)+6 (n+1)+4

¶

=n× µ

3n²+21

2 ×n+23 2

¶ .

Q6. On a :

n

X

k=1

5^2k+1 11^k+2=

n

X

k=1

25^k×5 11^k×11²= 5

121

n

X

k=1

µ25 11

¶k

.

Or, on reconnaît la somme des termes d’une suite géométrique de raison 25

11,^{1. Donc,}

n

X

k=1

5^2k+1 11^k+2= 5

121×25 11×

¡₂₅

11

¢n

−1

25

11−1 = 125 1694×

µµ25 11

¶n

−1

¶ .

Q7. En reconnaissant une somme télescopique, on a :

n

X

k=1

1 k×(k+1)=

n

X

k=1

µ1 k− 1

k+1

¶

=1− 1 n+1= n

n+1. Q8. On applique la méthode du pivot :







x − y + z = 1

−x − y + z = 3 2x − 4y + 4z = 6

⇐⇒







x − y + z = 1

−2y + 2z = 4 L₂←L₂+L₁

−2y + 2z = 4 L3←L3−2 L1

⇐⇒







x − y + z = 1

y − z = −2 L₂←₋₂¹.L₂

−2y + 2z = 4

⇐⇒







x = −1 L₁←L₁+L₂

y − z = −2

0 = 0 L₃←L₃+2 L₂

⇐⇒







x = −1 L₁←L₁+L₂

y = z−2

0 = 0. L3←L3+2 L2

Ainsi, l’ensemble des solutions est :

S=©

(−1,z−2,z)|z∈R^ª.

Exercice 2 (15 minutes)

Soient n ∈ N ^{et x} ∈ R . On note :

S

_n

(x) =

n

X

i=0 n

X

j=i

Ã

j i

!

x

^i+j

.

Q1. Rappeler la formule du binôme de Newton, écrire les 6 premières lignes du triangle de Pascal et développer (a + b)

⁵

où (a, b) ∈ C

²

^.

Q2. Résoudre l’équation

_α

× (

_α

+ 1) = 1 d’inconnue réelle

_α

.

MATHÉMATIQUES– DEVOIR SURVEILLÉ2 27/11/2021 (DURÉE2H)

Q3. Montrer que :

S

_n

(x) =

n

X

j=0 j

X

i=0

Ã

j i

!

x

^i+j

.

Q4. Soit j ∈ ‚ 0,n ƒ . Calculer

j

X

i=0

Ã

j i

!

x

^i+j

.

Q5. En déduire la valeur de S

_n

(x).

Exercice 3 (15 minutes)

Résoudre l’équation 2 z

³

+ (2 + 4 i) × z

²

+ (8 + 5 i) × z + 3 + 6 i = 0 d’inconnue complexe z sachant qu’il existe une solution imaginaire pure.

Réponse

On cherche ix∈Rune solution de l’équation. On a :

ixest solution ⇐⇒ 2 (ix)³+(2+4 i)×(ix)²+(8+5 i)×(ix)+3+6 i=0

⇐⇒ −2x²−5x+3

| {z }

∈R

+i (−2x³−4x²+8x+6

| {z }

∈R

)=0.

Un nombre complexe est nul si, et seulement si, ses parties réelle et imaginaire sont nulles.

Donc, ixest solution si, et seulement si,

−2x²−5x+3=0 et −2x³−4x²+8x+6=0.

On résout−2x²−5x+3=0. Le discriminant est :∆=25+4×3×2=49=7². Donc, les solutions de−2x²−5x+3=0 sont 5−7

2× −2=1

2et 5+7 2× −2= −3.

On a :

−2×(−3)³−4×(−3)²+8×(−3)+6=54−36−24+6=0.

Donc, −3 i est solution de l’équation .

On factorise alors par (z−(−3 i))=z+3 i. Il vient :

2z³+(2+4 i)×z²+(8+5 i)×z+3+6 i=(z+3 i)ס

2z²+a×z+2−i¢ , oùa∈C^.

On développe et on a :

(z+3 i)ס

2z²+a×z+2−i¢

=2z³+(a+6 i)×z²+(2−i+3 ia)×z+6 i+3.

En identifiant les coefficients, on a :

a+6 i=2+4 i et 2−i+3 ia=8+5 i.

Dans les deux équations, on trouvea=2−2 i.

Donc,

(z+3 i)ס

2z²+a×z+2−i)¢

=0 ⇐⇒ z= −3 i ou 2z²+(2−2 i)×z+2−i=0.

On résout 2z²+(2−2 i)×z+2−i=0.

Le discriminant est∆1=(2−2 i)²−4×2×(2−i)= −16=(4 i)². Les solutions de 2z²+(2−2 i)×z+2−i=0 sont−2+2 i−4 i

4 =−1−i

2 et −2+2 i+4 i

4 =−1+3 i

2 .

Ainsi, l’ensemble des solutions de l’équation est : S=

½

−3 i,−1−i

2 ,−1+3 i 2

¾ .

G. BOUTARD 5 Lycée GAY-LUSSAC

27/11/2021 (DURÉE2H) MATHÉMATIQUES– DEVOIR SURVEILLÉ2

Problème : Calcul de cos ^{³ π} 5

´

(45 minutes)

On considère l’équation :

(E) : z

⁵

+ 1 = 0, d’inconnue complexe z.

Q1. Déterminer les cinquièmes de − 1. En déduire l’ensemble des solutions de (E) sous forme trigonométrique.

Dans la suite, on résout (E) sans passer par les formes trigonométriques.

Q2. Déterminer une fonction polynomiale Q telle que, pour tout z ∈ C ^, z

⁵

+ 1 = (z + 1) × Q(z).

Q3. Déterminer des réels a, b et c tels que, pour tout z ∈ C

^?

^, Q(z)

z

²

= a ×

µ

z + 1 z

¶2

+ b ×

µ

z + 1 z

¶

+ c.

Q4. Déterminer les solutions de l’équation a × Z

²

+ b × Z + c = 0. On notera ces solutions

_α1

et

_α2

avec

_α1

<

α2

. Q5. Résoudre les équations z + 1

z =

α1

et z + 1

z =

α2

d’inconnue complexe z ∈ C

^?

^. Les expressions trouvées feront intervenir des racines carrées, ne vous inquiétez pas, c’est prévu !

Q6. En déduire de nouvelles expressions des solutions de (E).

Q7. En utilisant les deux expressions trouvées pour les solutions de (E), déterminer les valeurs de cos

³_π

5

´

et sin

³_π

5

´

.

Q8. Facultatif. En déduire cos

³_π

10

´

.

Exercice bonus

Vous ne traitez cet exercice qu’après avoir traité tout le reste du sujet.

Résoudre l’équation 1 + e

^z

+ e

^2z

= 0 d’inconnue complexe z.

Réponse

Soitz∈C^.

ÏOn noteX=e^z. On aX²=e^2z. Donc,

1+e^z+e^2z=0 ⇐⇒ 1+X+X²=0.

Le discriminant de 1+X+X²=0 est∆=1−4= −3=¡ ip

3¢2

. Donc,

1+X+X²=0 ⇐⇒ X=−1+ip 3

2 ouX=−1−ip 3

2 .

ÏOn résoute^z=−1+ip 3

2 .

On a −1+ip 3

2 =j=e^i2π3.

Donc, en identifiant module et argument :

e^z=e^i2π3 ⇐⇒ e^Re(z)=1 et Im(z)≡2π 3

⇐⇒ Re(z)=0 et ∃k∈Z^{, Im(z)}=2π

3 +2π×k

⇐⇒ ∃k∈Z^,z=i µ2π

3 +2π×k

¶

MATHÉMATIQUES– DEVOIR SURVEILLÉ2 27/11/2021 (DURÉE2H)

ÏOn résoute^z=−1−ip 3

2 .

On a −1−ip 3

2 =j=e^−i2π3.

Donc, en identifiant module et argument :

e^z=e^−i2π3 ⇐⇒ e^Re(z)=1 et Im(z)≡ −2π 3

⇐⇒ Re(z)=0 et ∃k∈Z^{, Im(z)}= −2π

3 +2π×k

⇐⇒ ∃k∈Z^,z=i µ

−2π

3 +2π×k

¶

ÏDonc, l’ensemble des solutions est : S=

½ i

µ2π

3 +2π×k

¶¯

¯

¯k∈Z

¾

∪

½ i

µ

−2π

3 +2π×k

¶¯

¯

¯k∈Z

¾ .

G. BOUTARD 7 Lycée GAY-LUSSAC

DOCUMENT RÉPONSE MATHÉMATIQUES– DEVOIRSURVEILLÉ2

Mathématiques – Devoir Surveillé 2 – Document réponse

Nom Prénom :

Sur ce document réponse, compléter (sans justification) les trous.

Q1. Formule d’Euler. Pour tout x ∈ R ^{, cos(x)} = e

^ix

+ e

^−ix

2 et sin(x) = e

^ix

− e

^−ix

2 i . Q2. Formule de Moivre. Pour tout x ∈ R ^{et n} ∈ Z ^{, ¡ cos(x)} + i sin(x) ¢

n

= cos(n × x) + i sin(n × x).

Q3. Soient z

₁

et z

₂

deux nombres complexes non nuls. On a :

z

₁

= z

₂

⇐⇒ Re(z

₁

) = Re(z

₂

) et Im(z

₁

) = Im(z

₂

)

⇐⇒ | z

₁

| = | z

₂

| et arg(z

₁

) ≡ arg(z

₂

)[2 π ]

Q4. Soit z un nombre complexe non nul. On a :

z ∈ i R ⇐⇒ Re(z) = 0

⇐⇒ z = − z

⇐⇒ arg z ≡ π 2 [ π ] Q5. Soit z ∈ U ^{. On a z} = 1

z .

Q6. Soit n ∈ N

^?

. Donner l’expression des racines n-ième de l’unité.

U

n

= n

e

^2inkπ

¯

¯k ∈ …

0, n − 1 † o .

Q7. Soit M un point d’affixe z. Le plan est muni d’un repère orthonormé (O; ~ ^ı, ~  ).

a. Soit ω ∈ C ^{. Le point M}

⁰

^{d’affixe z} + ω est l’image de M par la translation de vecteur d’affixe ω . b. Soit θ ∈ R ^{. Le point M}

⁰

^{d’affixe z × e}

^iθ

est l’image de M par la rotation de centre O et d’angle θ . Q8. Soit A, B et C trois points du plan deux à deux distincts d’affixes respectives a, b et c.

Les points A, B et C sont alignés si, et seulement si, b − a c − a ∈ R ^.

Q9. Soient n ∈ N

^?

^{et (a, b)} ∈ C

²

. Factoriser : a

ⁿ

− b

ⁿ

= (a − b) ×

n−1

X

k=0

a

^k

× b

^n−1−k

.

Q10. Soit (u

_n

)

_n∈N

une suite géométrique de raison q ∈ C ^{\ {1}.}

Alors, pour tout (m, n) ∈ N

²

^{tel que m} É n,

n

X

k=m

u

_k

= u

_m

× 1 − q

^n−m+1

1 − q ..

Q11. Soient n et k des entiers tels que 0 É k É n. Donner la définition : Ã n

k

!

= n!

k! × (n − k)! .

Q12. Énoncer la formule de Pascal. Pour tout (n,k) ∈ N

²

^{tel que 1} É k < n, on a : Ã n

k

!

= Ã n − 1

k − 1

! +

à n − 1 k

!

.