Master 1 mathématiques
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Analyse Complexe
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Devoir surveillé du 11 mars 2016
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Durée : 2 heures
Les documents ne sont pas autorisés. Une attention particulière devra être apportée à la rédaction qui sera un élément important d’appréciation.
Le barème est indicatif.
Notation:dans toute la suite, ∆ :={z∈C | |z|<1} désigne le disque unité ouvert du plan complexeC.
Exercice 1 (4 points)
Soit P(z) = z4−6z+ 3 : combien l’équation P(z) = 0 a-t-elle de solutions (comptées avec leurs multiplicités) dans∆? dansC:={z∈C|1<|z|<2}?
Exercice 2 (4 points)
Soitf une fonction holomorphe dans∆, telle quef(0) = 1etRef(z)>0pour toutz∈∆. On pose
g(z) = f(z)−1 f(z) + 1.
Pour toutz∈∆, montrer que |g(z)| ≤ |z|, et en déduire que 1− |z|
1 +|z| ≤ |f(z)| ≤ 1 +|z|
1− |z|.
Exercice 3 (2 points)
Existe-t-il une fonction holomorphe bornée, non constante, sur le domaine Ω dans les cas suivants :
Ω = ∆ ; Ω =C; Ω ={z∈C| |z+i|>1}.
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Problème (10 points)
On rappelle que les fonctions sin etcos sont définies surC par les formules d’Euler :cosz= eiz+e2−iz etsinz= eiz−e2i−iz.
SoitU un ouvert deC. On appelledétermination holomorphe surU de la fonc- tion arctangentetoute fonction holomorphef surU, à valeurs dans le domaine C\ {π2 +kπ, k ∈Z}, telle que
∀z∈U, tan(f(z)) =z
1. Montrer que s’il existe une détermination holomorphe surU de la fonction arctangente, alors−i6∈U eti6∈U.
2. SoitU un ouvert deCne contenant nii, ni−i. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) fest une détermination holomorphe surU de la fonction arctangente, (ii) f est holomorphe surU et∀z∈U,e2if(z)= 1 +iz
1−iz .
3. SoitU un ouvert connexe deCne contenant nii, ni−i, sur lequel il existe une détermination holomorphe f0 de la fonction arctangente. Expliciter toutes les déterminations holomorphes surU de la fonction arctangente.
4. SoitU1 :=C\ {iy |y∈]− ∞;−1]∪[1; +∞[}.
a) Soitz∈C: vérifier que 1 +iz
1−iz ∈]− ∞; 0]⇐⇒(z∈iRet|Imz| ≥1).
b) Pour z ∈ U1, on pose f1(z) = 1 2iLog
1 +iz 1−iz
, où Log désigne la détermination principale du logarithme. Montrer que f1 définit bien une détermination holomorphe sur U1 de la fonction arctangente, et calculer f1(1)etf1(−1).
c) Déterminer f10(z). En déduire que f1 coïncide sur R avec la fonction arctanusuelle.
5. SoitU2 :=C\ {iy |y∈[−1; 1]}.
a) Soitα, βdeux chemins (de classeC1 par morceaux) dansU2, tous deux d’origine 1 et d’extrémité z : montrer queR
α 1
1+w2dw=R
β 1 1+w2 dw.
Indication - On pourra utiliser sans justification la version suivante du théorème des résidus appliqué à g(z) = 1+z12 : pour tout lacet γ dans U2, R
γg(w)dw= 2πiP
Resw(g)·ind(γ;w).
b) On rappelle que a) assure quef2(z) = π 4 +
Z
α
1
1 +w2 dw est indépen- dant du choix du chemin α dans U2 d’origine 1 et d’extrémité z, et définit une primitive holomorphe de 1
1+z2 sur U2.
A l’aide de la fonction auxiliaireφ(z) = 1+iz1−ize−2if2(z), en déduire quef2 est une détermination holomorphe sur U2 de la fonction arctangente.
6.∗ Calculerf2(1)etf2(−1). En déduire que, pour tout z /∈iR, f2(z) =f1(z) si Rez >0
f2(z) =f1(z) +π si Rez <0
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