Mathématiques – Devoir surveillé 2 – 27/11/2021 (Durée 2h)

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MATHÉMATIQUES– DEVOIR SURVEILLÉ2 27/11/2021 (DURÉE2H)

Mathématiques – Devoir surveillé 2 – 27/11/2021 (Durée 2h)

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Questions de cours (15 minutes)

Vous commencez par traiter cet exercice. À 8h15, je ramasse le document réponse en annexe .

Sur le document réponse, compléter (sans justification) les trous.

Q1. Formule d’Euler. Pour tout x ∈ R ^{, cos(x)} =

et sin(x) =

. Q2. Formule de Moivre. Pour tout x ∈ R ^{et n} ∈ Z ^{, ¡ cos(x)} + i sin(x) ¢

=

. Q3. Soient z

et z

deux nombres complexes non nuls. On a :

z

= z

⇐⇒

⇐⇒

Q4. Soit z un nombre complexe non nul. On a :

z ∈ i R ⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒

Q5. Soit z ∈ U ^{. On a z} =

.

Q6. Soit n ∈ N

. Donner l’expression des racines n-ième de l’unité.

U

= n

...

¯ ¯k ∈ …

...

† o . Q7. Soit M un point d’affixe z. Le plan est muni d’un repère orthonormé (O; ~ ı, ~  ).

a. Soit _ω ∈ C ^{. Le point M}

^{d’affixe z} + ω est l’image de M par

...

.

b. Soit _θ ∈ R ^{. Le point M}

^{d’affixe z} × e

est l’image de M par

...

Q8. Soit A, B et C trois points du plan deux à deux distincts d’affixes respectives a, b et c.

Les points A, B et C sont alignés si, et seulement si,

.

Q9. Soient n ∈ N

^{et (a, b)} ∈ C

. Factoriser : a

− b

=

. Q10. Soit (u

)

une suite géométrique de raison q ∈ C ^{\ {1}.}

Alors, pour tout (m, n) ∈ N

^{tel que m} É n,

n

X

k=m

u

=

.

Q11. Soient n et k des entiers tels que 0 É k É n. Donner la définition : Ã n

k

!

=

.

Q12. Énoncer la formule de Pascal. Pour tout (n, k) ∈ N

^{tel que 1} É k < n, on a : Ã n

k

!

=

.

G. BOUTARD 1 Lycée GAY-LUSSAC

27/11/2021 (DURÉE2H) MATHÉMATIQUES– DEVOIR SURVEILLÉ2

Exercice 1 (30 minutes)

Les questions de cet exercice sont indépendantes Q1. Déterminer les racines carrées de − 3 + 4 i.

Q2. Déterminer les racines cinquièmes de 1 + i 1 − p

3 i .

Q3. Soit _θ ∈ R . Mettre sous forme trigonométrique, lorsque que cela est possible, z = 1 + e

. Q4. Soit x ∈ R . Linéariser ¡

sin(x) ¢

× cos(2 x).

Q5. Soit n ∈ N ^{. Calculer}

n

X

k=1

(3 k + 2)

.

Q6. Soit n ∈ N ^{. Calculer}

n

X

k=1

5

11

.

Q7. Soit n ∈ N

^{. Calculer}

n

X

k=1

1 k × (k + 1) . Q8. Résoudre le système :







x − y + z = 1

− x − y + z = 3 2 x − 4 y + 4 z = 6.

Exercice 2 (15 minutes)

Soient n ∈ N ^{et x} ∈ R . On note :

S

(x) =

n

X

i=0 n

X

j=i

à j i

! x

.

Q1. Rappeler la formule du binôme de Newton, écrire les 6 premières lignes du triangle de Pascal et développer (a + b)

où (a, b) ∈ C

^.

Q2. Résoudre l’équation _α × ( _α + 1) = 1 d’inconnue réelle _α . Q3. Montrer que :

S

(x) =

n

X

j=0 j

X

i=0

à j i

! x

.

Q4. Soit j ∈ ‚ 0,n ƒ . Calculer

j

X

i=0

à j i

! x

.

Q5. En déduire la valeur de S

(x).

Exercice 3 (15 minutes)

Résoudre l’équation 2 z

+ (2 + 4 i) × z

+ (8 + 5 i) × z + 3 + 6 i = 0 d’inconnue complexe z sachant qu’il existe une solution imaginaire pure.

PCSI 2021 – 2022 2 G. BOUTARD

MATHÉMATIQUES– DEVOIR SURVEILLÉ2 27/11/2021 (DURÉE2H)

Problème : Calcul de cos ^{³ π} 5

´

(45 minutes)

On considère l’équation :

(E) : z

+ 1 = 0, d’inconnue complexe z.

Q1. Déterminer les cinquièmes de − 1. En déduire l’ensemble des solutions de (E) sous forme trigonométrique.

Dans la suite, on résout (E) sans passer par les formes trigonométriques.

Q2. Déterminer une fonction polynomiale Q telle que, pour tout z ∈ C ^, z

+ 1 = (z + 1) × Q(z).

Q3. Déterminer des réels a, b et c tels que, pour tout z ∈ C

^, Q(z)

z

= a × µ

z + 1 z

¶

+ b × µ

z + 1 z

¶ + c.

Q4. Déterminer les solutions de l’équation a × Z

+ b × Z + c = 0. On notera ces solutions _α

et _α

avec _α

< α

. Q5. Résoudre les équations z + 1

z = α

et z + 1

z = α

d’inconnue complexe z ∈ C

^. Les expressions trouvées feront intervenir des racines carrées, ne vous inquiétez pas, c’est prévu !

Q6. En déduire de nouvelles expressions des solutions de (E).

Q7. En utilisant les deux expressions trouvées pour les solutions de (E), déterminer les valeurs de cos ³ _π 5

´ et sin ³ _π 5

´ .

Q8. Facultatif. En déduire cos ³ _π 10

´ .

Exercice bonus

Vous ne traitez cet exercice qu’après avoir traité tout le reste du sujet.

Résoudre l’équation 1 + e

+ e

= 0 d’inconnue complexe z.

G. BOUTARD 3 Lycée GAY-LUSSAC

DOCUMENT RÉPONSE MATHÉMATIQUES– DEVOIRSURVEILLÉ2

Mathématiques – Devoir Surveillé 2 – Document réponse

Nom Prénom :

Sur ce document réponse, compléter (sans justification) les trous.

Q1. Formule d’Euler. Pour tout x ∈ R ^{, cos(x)} =

et sin(x) =

. Q2. Formule de Moivre. Pour tout x ∈ R ^{et n} ∈ Z ^{, ¡ cos(x)} + i sin(x) ¢

=

. Q3. Soient z

et z

deux nombres complexes non nuls. On a :

z

= z

⇐⇒

⇐⇒

Q4. Soit z un nombre complexe non nul. On a :

z ∈ i R ⇐⇒

⇐⇒

⇐⇒

Q5. Soit z ∈ U ^{. On a z =}

^.

Q6. Soit n ∈ N

. Donner l’expression des racines n-ième de l’unité.

U

= n

...

¯ ¯k ∈ …

...

† o . Q7. Soit M un point d’affixe z. Le plan est muni d’un repère orthonormé (O; ~ ^ı, ~  ).

a. Soit ω ∈ C ^{. Le point M}

^{d’affixe z} + ω est l’image de M par

...

.

b. Soit θ ∈ R ^{. Le point M}

^{d’affixe z} × e

est l’image de M par

...

Q8. Soit A, B et C trois points du plan deux à deux distincts d’affixes respectives a, b et c.

Les points A, B et C sont alignés si, et seulement si,

.

Q9. Soient n ∈ N

^{et (a, b) ∈} C

. Factoriser : a

− b

=

. Q10. Soit (u

)

une suite géométrique de raison q ∈ C ^{\ {1}.}

Alors, pour tout (m, n) ∈ N

^{tel que m} É n,

n

X

k=m

u

=

.

Q11. Soient n et k des entiers tels que 0 É k É n. Donner la définition : Ã n

k

!

=

.

Q12. Énoncer la formule de Pascal. Pour tout (n, k) ∈ N

^{tel que 1 É k < n, on a :} Ã n

k

!

=

.

PCSI 2021 – 2022 4 G. BOUTARD