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Mathématiques – Devoir surveillé 3 – 15/01/2022 (Durée 2h30)
La calculatrice est interdite. Les résultats doivent être justifiés et mis en valeur (encadrés ou soulignés).
Vous pouvez traiter les exercices et les problèmes dans l’ordre de votre choix.
Numérotez chaque page de votre devoir. Bon travail !
Questions de cours (15 minutes)
Vous commencez par traiter cet exercice. À 8h15, je ramasse le document réponse en annexe .
Sur ledocument réponse, compléter (sans justification) les trous.
SoientEetFdeux ensembles. On considère,AetBdeux parties deE,Cune partie deFet f :E→Fune application.
Q1. En utilisant des quantificateurs, donner la définition de :A⊂B.
...
Q2. En utilisant des quantificateurs, donner la définition de : f est une injection surE.
...
Q3. En utilisant des quantificateurs, donner la définition de : f est une surjection deEsurF.
...
Q4. Donner la définition de : l’image réciproque deCpar f.
...
Q5. Soit (un)n∈Nune suite de réels ou complexes et`∈C. Donner la définition deun−−−−−→n
→+∞ `.
...
Q6. Soit (un)n∈Nune suite de réels. Donner la définition deun−−−−−→n
→+∞ +∞.
...
Q7. Énoncer le théorème de la limite monotone dans le cas d’une suite croissante.
...
...
...
...
Q8. Soit (un)n∈Nune suite géométrique de raison q∈C. SoitmÉndes entiers. Exprimerunen fonction den,m, q etum.
...
Q9. Soitα∈R\Z. Une primitive dex7→xαsur ]0,+∞[ estx7→....
Q10. Une primitive dex7→ 1
1+x2 surRestx7→.... Q11. Une primitive dex7→ln(x) surR?+estx7→....
15/01/2022 (DURÉE2H30) MATHÉMATIQUES– DEVOIR SURVEILLÉ3
Exercice 1 : Exercices types (30 minutes)
Ne passez pas plus de 30 minutes sur cet exercice. Si vous n’avez pas terminé, tant pis ! Il est vivement conseillé de traiter les autres exercices et les problèmes.
Les questions de cet exercice sont indépendantes.
Q1. Déterminer une primitive de f :x7→(x2+2x+3)×e−xsurR. Q2. Résoudre surRl’équation différentielley00−y=e−t(E).
Q3. Calculer Z 1
2
−p12
p1−t2dtavec le changement de variablet=sin(x).
Q4. Exprimer en fonction denle terme général de la suite définie par :u0=2 et, pour toutn∈N,un+1=1
2×un+3.
Q5. SoientE,F etGdes ensembles et f :F→G, g1:E→Fetg2:E→Fdes applications.
On suppose quef est injective et quef◦g1=f◦g2. Montrer queg1=g2.
Q6. SoientEetFdes ensembles et f :E→F.
Montrer que, pour toutes partiesB1etB2etF, on af−1(B1∪B2)=f−1(B1)∪f−1(B2) etf−1(B1∩B2)=f−1(B1)∩f−1(B2).
Exercice 2 : Suite récurrente
Dans cet exercice, on s’intéresse à la suite (un)n∈Ndéfinie par :
u0∈R?+,
∀n∈N,un+1= 1 2+un. On définit la fonctionf :x7→ 1
2+x.
La méthode pour étudier une suite récurrenteun+1=f(un) présentée ici est différente de celle utilisée dans les exercices traités en classe. Laissez-vous guider par les questions de l’énoncé.
Q1. Déterminer les solutions de l’équation f(x)=xd’inconnuex.
Q2. Montrer que l’intervalleR?+est stable par f.
La question précédente montre que la suite (un)n∈Nest bien définie.
Q3. Montrer que, pour tout n∈N,un>0.
Q4. Montrer que si (un) converge vers un réel`, alors`=p 2−1.
L’objectif est maintenant de montrer que (un) converge effectivement vers p
2−1. Dans la suite, on posea=p 2−1.
Q5. Montrer que, pour tout (x,y)∈R?+×R?+,|f(x)−f(y)| É1
4× |x−y|. Q6. En déduire que, pour toutn∈N,|un+1−a| É1
4× |un−a|.
Exercice 3 : Arithmétique
On notea=525 etb=390.
Q1. Déterminer le PGCD deaetb.
Q2. En déduire le PPCM deaetb.
Q3. Donner les diviseurs communs deaetb.
Problème 1 : Études de séries
Partie 1
Pour toutn∈N?, on pose :
un=
n
X
k=1
p1 k. Q1. Montrer que, pour tout n∈N?,unÊp
n.
Q2. En déduire la limite de la suite (un)n∈N?. Q3. Montrer que, pour tout entierkÊ1,
pk+1−p kÉ 1
2p kÉp
k−p k−1.
Q4. En déduire que, pour toutn∈N?,
pn+1−1Éun 2 Ép
n.
Q5. Déterminer la limite de la suite µ un
2p n
¶
n∈N?
.
Partie 2
Pour toutn∈N?, on note
vn=
n
X
k=1
(−1)k
pk , wn=v2n et xn=v2n+1. Q6. Montrer que les suites (wn) et (xn) sont adjacentes.
Q7. En déduire que la suite (vn) converge vers une limite`∈Rqu’on ne cherchera pas à calculer.
Q8. Soitn∈N?. Donner une suite d’inégalités vérifiées parw1,wn,wn+1, x1,xn,xn+1et`. En déduire le signe de`. Q9. Montrer que, pour tout n∈N?,|vn−`| É 1
pn+1. Q10. Déterminer un entierntel que|vn−`| É10−10.
15/01/2022 (DURÉE2H30) MATHÉMATIQUES– DEVOIR SURVEILLÉ3
Problème 2 : Résolution d’une équation différentielle du second ordre à coefficients non constants
Dans ce problème, on cherche les solutions sur ]0, 1[ de l’équation différentielle d’ordre 2 : 2 (t2−t)×y00+(2t−1)×y0=p
t. (E1)
Une solution de (E1) sur ]0, 1[ est une fonction f :]0, 1[→Rqui vérifie les deux propriétés suivantes : 1. f est deux fois dérivables sur ]0, 1[ ;
2. pour toutt∈]0, 1[, 2 (t2−t)×f00(t)+(2t−1)×f0(t)=p t.
Partie 1 : Résultats préliminaires
Soithla fonction définie, pour toutt∈]0, 1[, parh(t)=Arcsin(2t−1).
Q1. Montrer quehest dérivable sur ]0, 1[ et que, pour toutt∈]0, 1[, h0(t)= 1
pt×(1−t). Je vous donne l’expression de h0(t), j’attends donc un calcul détaillé.
Q2. Déterminer une primitive de la fonctiont7→2t−1
t2−t sur ]0, 1[.
Partie 2 : Équation différentielle intermédiaire
Q3. Résoudre sur ]0, 1[ l’équation différentielle :
2 (t2−t)×y0+(2t−1)×y=p
t. (E2)
Q4. Déterminer l’unique solution de (E2) qui s’annule en 1 2. Partie 3 : Résolution de(E1)par analyse-synthèse
Soitf :]0, 1[→Rune fonction.
Analyse.On suppose que f est solution de (E1).
Q5. Montrer que f0est solution de (E2).
Q6. En déduire l’expression de f0puis l’expression de f. Synthèse.
Q7. Rédiger la synthèse.
Q8. En déduire l’ensemble des solutions de (E1).
Bonus : à ne traiter que si vous avez terminé les exercices et problèmes
Mathématiques – Devoir Surveillé 3 – Document réponse
Nom Prénom :
Sur cedocument réponse, compléter (sans justification) les trous.
SoientE etF deux ensembles. On considère, AetBdeux parties deE,C une partie deF et f :E→F une application.
Q1. En utilisant des quantificateurs, donner la définition de : A⊂B.
Q2. En utilisant des quantificateurs, donner la définition de : f est une injection surE.
Q3. En utilisant des quantificateurs, donner la définition de : f est une surjection de Esur F.
Q4. Donner la définition de : l’image réciproque deC par f.
Q5. Soit (un)n∈Nune suite de réels ou complexes et`∈C. Donner la définition deun−−−−−→
n→+∞ `.
Q6. Soit (un)n∈Nune suite de réels. Donner la définition deun−−−−−→
n→+∞ +∞.
Q7. Énoncer le théorème de la limite monotone.
Q8. Soit (un)n∈N une suite géométrique de raisonq∈C. Soit mÉndes entiers. Exprimerunen fonction den,m,q etum.
Q9. Soitα∈R. Une primitive dex7→xα sur ]0,+∞[ estx7→....
Q10. Une primitive dex7→ 1
1+x2 surRestx7→.... Q11. Une primitive dex7→ln(x) surR?+estx7→....
