Une leçon de Géométrie
dans un Centre d'apprentissage
Au c o u r s des j o u r n é e s p é d a g o g i q u e s qui se sont t e n u e s à S t r a s b o u r g , Metz et Mulhouse pour l'Aca -démie de' S t r a s b o u r g , j ' a i eu l'occasion de p r é s e n t e r d e v a n t t o u s les p r o f e s s e u r s et d i r e c t e u r s i n t é r e s s é s une leçon de g é o m é t r i e qui, à m o n sens, r e p r é s e n t e l ' o r i e n t a t i o n que doivent donne r les p r o f e s s e u r s à l ' e n s e i g n e m e n t des m a t h é m a t i q u e s d a n s les C e n t r e s d ' a p p r e n t i s s a g e .
L a leçon c o n s i s t a i t d a n s l'étude de cette pro-p r i é t é t r è s simpro-ple :
L a somme' des a n g l e s d'un t r i a n g l e est c o n s t a n t e et é g a le à 180°.
Première partie. — CINQ M I N U T E S DE. C A L C U L M E N T A L
Il est bon d ' a x e r a u t a n t que possible les exer-cices de calcul m e n t a l sur la leçon p r o p r e m e n t dite. L e s o p é r a t i o n s sur les n o m b r e s complexes sont, d a n s ce cas, p a r t i c u l i è r e m e n t indiquées.
a ) Addition des nombres complexes. E x e m p l e I. — 38° 35' + 27° 17' 63,13 gr. + 48,63 g r . L a s o m m e des m i n u t e s ou des c e n t i g r a d e s n e dépasse p a s le de'gré ou le g r a d e . E x e m p l e II. — 19° 45' + 37" 47' 33,43 gr. + 38,67 g r .
L a s o m m e des m i n u t e s ou des c e n t i g r a d e s est s u p é r i e u r e a u d e g r é ou au g r a d e d'où une t r a n s f o r -m a t i o n s u p p l é -m e n t a i r e — insister sur cette diffi-culté — a j o u t e r quelques e x e r c i c e s du m ê m e g e n r e . c h e n t d i r e c t e m e n t ou en a j o u t a n t u n d e g r é ou u n g r a d e . E x e m p l e I. — 73° 48' — 27° 33' 63,78 g r . — 31,39 g r . E x e m p l e II. — 25° 37' — 13° 48' 51,18 g r . — 33,48 g r .
D o n n e r quelques exercices d'applicatio n en t e m p s limité.
D e u x i è m e partie. — L E Ç O N P R O P R E M E N T D I T E Il est essentiel de ne p a s f o r m u l e r la p r o p r i é t é . Cette' leçon p e u t se décomposer ainsi :
a) C o n s t a t a t i o n et v é r i f i c a t i o n de la p r o p r i é t é ; b) D é m o n s t r a t i o n de la p r o p r i é t é ;
c) A p p l i c a t i o ns p r a t i q u e s de cette p r o p r i é t é . a) Constatation et vérification de la propriété.
L a classe est divisée en deux sections.
T o u s les élèves, s a n s exception, d e s s i n e n t sur leur cahier de cours, a v ec le' plus g r a n d soin, u n t r i a n g l e quelconque.
L a première section m e s u r e avec le r a p p o r t e u r les t r o i s a n g l e s et en e f f e c t ue m e n t a l e m e n t , puis p a r écrit la s o m m e .
T r a c e r p a r exemple une m é d i a n e (vérifier encore que, d a n s les d e u x n o u v e a u x t r i a n g l e s obtenus, la s o m m e est t r è s voisine de 180° ou 200 g r . ) . Il est bon de f a i r e e f f e c t u e r s i m u l t a n é m e n t les m e s u r e s en d e g r é s et en g r a d e s .
D e u x i è m e section : Vérification p a r le g r a p h i q u e .
b) Soustraction des nombres complexes.
C o m m e d a n s les exemple s p r é c é d e n t s — deux c a s s u i v a n t que les m i n u t e s ou les g r a d e s se r e t r a n
-E n dehors du triangle', f a i r e c o n s t r u i r e en a n g l e s a d j a c e n t s les t r o i s a n g l e s du t r i a n g l e .
C ' e s t u n excellent exercice de révision : Cons-52
t r u i r e avec la r è g l e et le c o m p a s u n ang'le ég al à un angle.' donpé.
F a i r e vérifier que les d e m i - d r o i t e s OX et OY sont s e n s i b l e m e n t d a n s le p r o l o n g e m e n t l'une de l'autre, ce qui p e r m e t d e prévoir l a p r o p r i é t é puisqu e les t r i a n g l e s sont t o u s d i f f é r e n t s et que les r é s u l t a t s o b t e n u s sont identiques .
P e n d a n t que les deux sections t r a v a i l l e n t , un élève, au t a b l e a u , e f f e c t u e les m ê m e s c o n s t r u c t i o n s (avec la r è g l e et le c o m p a s ) et les m ê m e s m e s u r e s sur un t r i a n g l e unique.
Ainsi la p r o p r i é t é est vérifiée — les élèves o n t t r a v a i l l é — ont dessiné ; s a n s avoir dicté un cours, le cahier p o r t e d é j à trace' de la leçon.
Le p r o f e s s e u r doit f a i r e r e s s o r t i r à ce m o m e n t le « merveilleux » de c e t te c o n s t a t a t i o n . E n effet, il est r e m a r q u a b l e et quelque peu é t r a n g e de c o n s t a t e r que, quelle que soit la f o r m e du t r i a n g l e , la s o m m e des t r o is a n g l e s est c o n s t a n t e. D'ailleurs, a p r è s la d é m o n s t r a t i o n , ou lorsque le m a î t r e t r a i t e r a du cercle et n o t a m m e n t de la p r o p r i é t é : p a r troi s points n o n en ligne droite, on p e u t t o u j o u r s f a i r e p a s s e r u n e c i r c o n f é r e n c e, cette p r o p r i é t é qui nous a p p a r a î t c o m m e e x t r a o r d i n a i r e s e r a a l o r s t o u t e n a t u r e l l e . M a i s il est bon d a n s un cours, m ê m e de m a t h é m a t i q u e s , de f a i r e appel au sens du m e r -veilleux.
b) Démonstration de la propriété.
C'est la p a r t i e essentielle. Alors que d a n s tous les m a n u e l s les a u t e u r s i n d i q u e n t d'une f a ç o n f o r -melle la c o n s t r u c t i o n à effectuer, à savoir m e n e r p a r exemple p a r A la parallèle à BC, il est possible de f a i r e trouve r l o g i q u e m e n t p a r les élèves la cons-t r u c cons-t i o n qui s'impose.
F a i r e r e t r a c e r p a r tous les élèves u n t r i a n g l e quelconque sur leur cahier de cours.
D é m o n t r e r un t h é o r è m e c'est, p a r t a n t d ' a x i o m e s ou de p r o p r i é t é s d é j à connus, a b o u t i r l o g i q u e m e n t à une nouvelle p r o p r i é t é a b s o l u m e n t g é n é r a l e . N o u s a v o n s c o n s t a t é que l a s o m m e des a n g l e s d'un t r i a n g l e d o n n a i t t o u j o u r s u n a n g l e p l a t . D a n s la p r e m i è r e p a r t i e , n o u s a v o n s c o n s t r u i t des a n g l e s a d j a c e n t s en dehors de la figure. -Question : Ne voyez-vous p a s d a n s le t r i a n g l e que vous avez c o n s t r u i t un ou des a n g l e s p l a t s ?
I n f a i l l i b l e m e n t , les élèves en m o n t r e r o n t u n e infi-nité.
Question : P o u r q u o i ne p a s effectue r la c o n s t r u c -tion sur le t r i a n g l e m ê m e ?
Ainsi, l o g i q u e m e n t, les élèves s e r o n t a m e n é s à e f f e c t u e r les c o n s t r u c t i o n s en A p a r exemple. P o u r -quoi ? P a r c e que cela évite d é j à le r e p o r t de l ' a n g l e A l u i - m ê m e ; ou en B, p a r c e que cela évite le r e p o r t de l ' a n g l e B : d'où c o n s t r u c t i o n s simplifiées.
l ' a n g l e B, soit à l'angle C — sur deux figures diffé-r e n t e s — ce qui p e diffé-r m e t de védiffé-rifiediffé-r, d ' u n e p a diffé-r t que les élèves s a v e n t c o n s t r u i r e u n t r i a n g l e éga l à u n t r i a n g l e donné, d ' a u t r e p a r t u n a n g l e é g a l à u n a n g l e d o n n é ( n a t u r e l l e m e n t les c o n s t r u c t i o n s s o n t é g a l e m e n t e f f e c t u é e s avec le plus g r a n d soin au t a b l e a u ) .
I I et I I I .
L e s élèves suivent alors les explications du pro-f e s s e u r a u tableau , qui doit pouvoir pro-f a i r e pro-f o r m u l e r p a r ses élèves la phrase capitale suivante :
P o u r d é m o n t r e r la p r o p r i é t é , il suffirai t donc de d é m o n t r e r : ou bien que l ' a n g l e A;, est éga l à l ' a n g l e C (fig. I I ) ; ou bien que l ' a n g le A, est égal à l ' a n g l e B (fig. I I I ) .
F a i r e r e s s o r t i r ainsi, g r â c e à la construction, la simplification du problème. J u s q u ' i c i , n o u s a v o n s construit sans rien démontrer, et p o u r t a n t d é j à le p r o b l è m e s e p r é s e n t e sous un jour plus simple. T o u t l ' a r t en m a t h é m a t i q u e s réside d a n s la simplification des p r o p r i é t é s à d é m o n t r e r .
E x a m i n o n s la figure I I : P o s i t i on des angles , r i e n de p a r t i c u l i e r ; la figure I I I : les élèves c o n s t a t e n t t r è s r a p i d e m e n t que A;l et C3 o c c u p e nt la position d ' a l t e r n e i n t e r n e — or ils s o n t é g a u x — donc A X est p a r a l l è le à BC.
C ' e s t là le p o i n t essentiel du c o u r s :• d ' u n e c o n s t r u c t i o n , g r â c e à un réciproque de théorème ( o n applique1 b i e n p l u s s o u v e n t les r é c i p r o q u e s que
les p r o b l è m e s d i r e c t s ) , n o u s a v o n s d é d u i t u n e pro-p r i é t é i m pro-p o r t a n t e . A X est pro-p a r a l l è l e à BC. N o u s n ' a v o n s p a s c o n s t r u i t c e t t e p a r a l l è l e , n o u s avons démontré que A X e s t p a r a l l è l e à BC. L e r e s t e se d é d u i t a i s é m e n t . D a n s la f i g u r e I I I , A , et C3 o c c u p e n t la position d ' a n g l e s c o r r e s p o n d a n t s . P u i s q u e A X est // à BC, ces a n g l e s s o n t é g a u x . L e p r o f e s s e u r doit alors f a i r e r e s s o r t i r l ' a d m i r a b l e logique du r a i -s o n n e m e n t e t la r i g u e u r de c e t t e d é m o n s t r a t i o n b a s é e s u r u n e cons-t r u c cons-t i o n s i m p le que l'on escons-t a m e n é à r é a l i s e r après la constatation de la propriété, c) Applications. 1° F a i r e t r o u v e r les a n g l e s à la b a s e d ' u n t r i a n g l e isocèle c o n n a i s s a n t l ' a n g l e a u s o m m e t . 3° C o m m e n t se s e r v i r de cet i n s t r u m e n t ; 4° E v e n t u e l l e m e n t , d e m a n d e r a u x élèves de cons-t r u i r e u n p e cons-t i cons-t a p p a r e i l en c a r cons-t o n à cons-t i cons-t r e d'exercice. On t r o u v e r a i t bien d ' a u t r e s a p p l i c a t i o n s (en
Languette mobile autour de S etqjipzut coulisser lelong dk AC. Aô • BC L<2 triangle ABC a.st donc constamment
isocèle
A — 27" 3 8 ' 180 • d ' o ù B = C : 2 7 o 3 8 ' ( C e t exercice doit être effectué
• en calcul m e n t a l ) P a r c e t t e a p p l i c a t i o n s t r i c t e m e n t t h é o r i q u e , n o u s s o m m e s a m e n é s à é t u d i e r la « S a u t e r e l l e à bissec-t r i c e ». 1° F a i r e d é c r i r e l ' a p p a r e i l ; 2° F a i r e t r o u v e r p o u r q u o i l ' a n g l e A B X v a u t d e u x f o i s l ' a n g l e A C B ;
t o p o g r a p h i e , d é t e r m i n e r l ' a n g l e sous lequel on voit u n e d i s t a n c e , c o n s t r u c t i o n des f e r m e s en c h a r -p e n t e , etc...).
A i n s i la leçon de g é o m é t r i e a p p a r a î t c o m m e u n e s é a n c e de t r a v a i l m a n u e l et de dessin a u c o u r s d e laquelle t o u t e s les q u a l i t é s que l'on est en d r o i t d ' a t t e n d r e d ' u n b o n d e s s i n a t e u r doiven t ê t r e exigées . C ' e s t à p a r t i r de ces d o n n é e s p r a t i q u e s que le p r o f e s s e u r p o u r r a c o n s t r u i r e des r a i s o n n e m e n t s lo-g i q u e s . Avec d e s élèves d e C e n t r e , f a i r e de la p u r e a b s t r a c t i o n , c ' e s t aller i n c o n t e s t a b l e m e n t v e r s u n échec. P a r contre, p a r t i r du réel, f a i r e t r a v a i l l e r e f f e c t i v e m e n t n o s élèves et les a m e n e r à p a r t i r d e c o n s t r u c t i o n s s i m p l e s a u d é v e l o p p e m e n t logique du r a i s o n n e m e n t n e p e u t que r é u s s i r .
Il f a u t enfin que n o s élèves s e n t e n t p a r les applic a t i o n s n o m b r e u s e s que n o u s leur d o n n o n s ( applic o n s t r u applic -t i o n s g r a p h i q u e s , é -t u d e d ' a p p a r e i l s divers, p r o b l è m e s p r o f e s s i o n n e l s ) que, pour eux, les m a t h é m a t i q u e s sont u n i n s t r u m e n t d e t r a v a i l a u m ê m e t i t r e q u e la lime, le r a b o t ou la p e r c e u s e .
R e n é C E R C E L E T ,
Inspecteur de l'Enseignement Technique,
Strasbourg.
