IUT Rodez Ann´ee universitaire 2008/2009
Informatique 1◦ann´ee TD de math´ematiques n◦23
TD n
◦23
. Une application aux suites.
Exercice 1 On consid`ere le sous ensemble de R3
d´efini par P = {(x, y, z) ∈ R3
/ 2x + 3y − z = 0}. 1. Montrer que P est un SEV de R3
.
2. (a) Montrer que les vecteurs −→u1 = (1, 0, 2) et −→u2 = (0, 1, 3) forment une famille libre
de P.
(b) Montrer que tout vecteur de P peut s’´ecrire comme une combinaison lin´eaire de −→u1 et −→u2. (On pourra commencer par exprimer les coordonn´ees de −→v en
fonction de x et y uniquement).
(c) Que repr´esente la famille {−→u1, −→u2} pour le SEV P.
(d) Quelles sont les coordonn´ees de tout vecteur −→v = (x, y, z) de P dans la base {−→u1, −→u2} ?
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Exercice 2 L’ensemble des suites de Fibonacci.
On note S = {(un)n∈N} l’ensemble des suites et on d´efinit sur S deux op´erations :
• l’addition ⊕ :
(un)n∈N⊕ (vn)n∈N = (un+ vn)n∈N.
• La multiplication exterieure ∗ :
λ ∗ (un)n∈N= (λun)n∈N.
On admettra que muni de ces deux op´erations, l’ensemble S est un espace vectoriel. (L’´el´ement neutre pour l’addition ⊕ est ´evidement la suite constante ´egale `a 0, que l’on notera (0) et l’inverse d’une suites (un) pour ⊕ est alors la suite (−un)).
D’autre part, on appelle suite de Fibonacci toute suite (un) v´erifiant
(un) :
u0, u1 donn´ees,
un+1 = un+ un−1, ∀n > 1
et on note F l’ensemble des suites de Fibonacci. Un r´esultat du cours nous dit que pour toute suite (un) ∈ F, il existe des r´eels A et B tels que
∀n ∈ N, un= A.φ n + B.ψn (⋆) o`u φ = 1 + √ 5 2 et ψ = 1 −√5
2 . C’est ce r´esultat que nous allons d´emontrer. Formellement, il s’agit de montrer l’´egalit´e de deux ensembles : l’ensemble F d’une part, et l’ensemble des suites v´erifiant (⋆) d’autre part.
1. Montrer que toute suite (un) v´erifiant (⋆) est une suite de Fibonacci. (On a donc
une premi`ere inclusion). 2. Montrons l’inclusion inverse.
(a) Montrer que F est un SEV de S. (b) Parmi les suites de F, on note
(fn) : f0 = 1, f1 = 0, fn+1 = fn+ fn−1, n > 1, et (gn) : g0 = 0, g1 = 1, gn+1 = gn+ gn−1, n > 1.
i. Montrer que la famille {(fn), (gn)} forme une famille libre de F.
ii. Montrer que si (wn) :
w0 = a, w1 = b,
wn+1 = wn+ wn−1
(i.e. (wn) est une suite de F),
alors
∀n ∈ N, wn= afn+ bgn.
iii. Que repr´esente {(fn), (gn)} pour le SEV F ?
iv. En d´eduire la dimension de F.
(c) Montrer que l’ensemble des suites v´erifiant (⋆) est ´egalement un SEV de F. (d) Parmi les suites v´erifiant (⋆), on note
(pn) : pn= φ n
et (sn) : sn = ψ n
. i. Montrer que {(pn), (sn)} forme une famille libre.
ii. Montrer que toute suite v´erifiant (⋆) s’´ecrit comme une combinaison lin´eaire de (pn) et (sn).
iii. En d´eduire la dimension de l’ensemble des suites v´erifiant (⋆). 3. Conclure.
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